《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》（何文閣） 第四章教案 4.7.3~4.7.4定積分在幾何中應(yīng)用（二）

課題定積分在幾何中的應(yīng)用（二）課時(shí)1課時(shí)（45min）第36課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：（1）理解微元法思想。（2）掌握應(yīng)用微元法求旋轉(zhuǎn)體的體積以及平面曲線弧長的求法。思政育人目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：微元法思想（定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用）教學(xué)難點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的體積和平面曲線弧長的求法教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)→→→傳授新知（24min）→強(qiáng)化訓(xùn)練（10min）→課堂小結(jié)（3min）→作業(yè)布置（2min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請(qǐng)大家掃描二維碼預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容。【學(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前任務(wù)，使學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請(qǐng)假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問題導(dǎo)入（4min）【教師】提出以下問題：曲線，直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積如何求？曲線在區(qū)間上的弧長如何求？【學(xué)生】思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（24min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識(shí)知識(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體的體積?【教師】對(duì)照教材講解旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．我們先來計(jì)算由曲線，直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，如圖4-15所示．取為積分變量，則，對(duì)于區(qū)間上的任一小區(qū)間，它所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積近似等于以為底面半徑，為高的扁圓柱體的體積，由微元法可知，體積微元為，因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為．類似地，可以得出由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積，如圖4-16所示，其體積微元為，因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為?【學(xué)生】聆聽、理解微元法的思想?【教師】講解例題例3求由拋物線，直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積．例4而成的橢球體的體積．?【學(xué)生】聆聽、理解、板演、對(duì)比老師的講解結(jié)果找出自己的錯(cuò)誤點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)平面曲線的弧長?【教師】對(duì)照教材講解設(shè)曲線弧的方程為，，且在上有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)（也稱曲線是光滑的），下面利用微元法來解決這一曲線弧的長度計(jì)算問題．取為積分變量，在內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間，在這一小區(qū)間上的曲線弧為，這段曲線弧的長度可以用點(diǎn)處曲線切線相應(yīng)的一段近似代替，如圖4-19所示，而這段相應(yīng)的切線段的長度為，于是得到曲線弧的微元為，從而，在上曲線的弧長為．?【學(xué)生】聆聽、理解、記憶公式、做標(biāo)記?【教師】講解例題例5計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧的長度．【學(xué)生】交流，理解，演算，對(duì)比教師的解析過程，查找自己的錯(cuò)誤點(diǎn)通過教師講解和例題分析，使學(xué)生理解定積分在實(shí)際應(yīng)用中的作用，并掌握實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體體積或者求弧度的步驟強(qiáng)化訓(xùn)練（10min）變式訓(xùn)練（5min）【教師】通過課堂例題進(jìn)行變式訓(xùn)練曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積【學(xué)生】黑板板演【教師】巡視糾錯(cuò)使用講練結(jié)合的方式，充分了解學(xué)情課堂達(dá)標(biāo)（5min）【教師】布置練習(xí)題求積分計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧長．【學(xué)生】練習(xí)課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)微元法求旋轉(zhuǎn)體體積以及平面曲線弧長的計(jì)算。掌握公式與．希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固課上所學(xué)知識(shí)，為后面的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。按時(shí)預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，鞏固微元法相關(guān)知識(shí)的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)完成習(xí)題4.7的4.5題【學(xué)生】完成課后任務(wù)通過課后作業(yè)復(fù)習(xí)鞏固學(xué)到的知識(shí)教學(xué)反思從教材處理方面：綜合教材本節(jié)課提出邊講知識(shí)點(diǎn)邊訓(xùn)練的模式，教材