無錫市太湖格致中學2021-2022學年九年級上學期12月月考數(shù)學試題（解析版）VIP

第33頁/共33頁太湖格致中學2021-2022學年九年級12月月考初三數(shù)學2021.12一．選擇題1.下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：A、y=3x-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、y=ax2+bx+c，當時，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、s=2t2-2t+1是二次函數(shù)，符合題意；D、y=x2+中不是整式，故y=x2+不是二次函數(shù)，不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)定義：一般地，把形如（a、b、c是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項．x為自變量，y為因變量．2.已知⊙O的半徑為5cm，若點A到圓心O的距離為4cm，則點A（）A.在⊙O內 B.在⊙O上 C.在⊙O外 D.與⊙O的位置關系無法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點A與⊙O的位置關系．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離為4cm，4＜5，∴點A在⊙O內，故選A．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵在于能夠熟知：一點到圓心的距離如果等于半徑，則這點在圓上；如果一點到圓心的距離小于半徑，則這點在圓內；如果一點到圓心的距離大于半徑，則這點在圓外．3.如圖，正五邊形內接于，則的度數(shù)是（）A.36° B.26° C.30° D.45°【答案】A【解析】【分析】連接OD，OE，求出∠DOE=72°，再根據(jù)圓周角定理即可求出的值.【詳解】解：如圖所示，連接OD，OE，∵ABCDE是正五邊形，∴∠DOE==72°，∴=∠DOE=36°，故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識.4.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分對應值如表，則方程ax2+bx+c＝0的解是（）x﹣3﹣2﹣1012y﹣12﹣50343A.x1＝x2＝﹣1 B.x1＝﹣1，x2＝0 C.x1＝﹣1，x2＝2 D.x1＝﹣1，x2＝3【答案】D【解析】【分析】先由對稱性判斷出對稱軸是x=1，再根據(jù)對稱性和一根是x=－1，判斷出另一根是x=3，從而得解．【詳解】∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于（－1,0），對稱軸是：直線x=1，∴拋物線與x軸的另一交點是（3,0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根是x1＝﹣1，x2＝3．故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像性質及與一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數(shù)圖像性質及與一元二次方程的關系是解決本題的關鍵．5.二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y＝ax+c在同一坐標系中的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察兩圖象，分別確定的取值范圍，即可求解．【詳解】解：A、拋物線圖象，開口向下，即，而一次函數(shù)圖象自左向右呈上升趨勢，則，相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；B、拋物線圖象與軸交于負半軸，即，而一次函數(shù)圖象與軸交于正半軸，，相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；C、拋物線圖象，開口向上，即，而一次函數(shù)圖象自左向右呈下降趨勢，即，相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；D、拋物線圖象，開口向下，即，一次函數(shù)圖象自左向右呈下降趨勢，即，兩圖象與軸交于同一點，即相同，故本選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握二次函數(shù)決定拋物線的開口方向，決定拋物線與軸的交點位置是解題的關鍵．6.如圖，圓錐的底面半徑r為6cm，高h為8cm，則圓錐的側面積為（）A.30πcm2 B.48πcm2 C.60πcm2 D.80πcm2【答案】C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圓錐的母線長，再通過圓錐側面積公式可以求得結果．【詳解】∵h＝8，r＝6，可設圓錐母線長為l，由勾股定理，l＝＝10，圓錐側面展開圖的面積為：S側＝×2×6π×10＝60π，所以圓錐的側面積為60πcm2．故選：C．【點睛】本題主要考查圓錐側面積的計算公式，解題關鍵是利用底面半徑及高求出母線長即可．7.如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當⊙與直線只有一個公共點時，點A的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】當⊙與直線只有一個公共點時，則此時⊙A與直線相切，（需考慮左右兩側相切的情況）；設切點為，此時點同時在⊙A與直線上，故可以表示出點坐標，過點作，則此時，利用相似三角形的性質算出長度，最終得出結論．【詳解】如下圖所示，連接，過點作，此時點坐標可表示為，∴，，在中，，又∵半徑為5，∴，∵，∴，則，∴，∴，∵左右兩側都有相切的可能，∴A點坐標為，故選：D．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．8.點P(m，n)在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上．則m﹣n的最大值等于（）A. B.4 C.﹣ D.﹣【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可以得到a的值以及m和n的關系，然后將m、n作差，利用二次函數(shù)的性質，即可求出m﹣n的最大值．【詳解】解：∵點P（m，n）在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴當m＝時，m﹣n取得最大值，此時m﹣n＝﹣，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．9.如圖，拋物線y＝﹣x2+1與x軸交于A，B兩點，D是以點C(0，﹣3)為圓心，2為半徑的圓上的動點，E是線段BD的中點，連接OE，則線段OE的最大值是（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】連接AD，令y＝0，則，得OE是△ABD的中位線，當A、C、D三點共線，且點C在AD之間時，AD最大，即可求解．【詳解】解：連接AD，如圖，令y＝0，則，解得，則A（?4，0），B（4，0），∴O是線段AB的中點，∵E是線段BD的中點，∴OE為△ABD的中位線，∴，設圓的半徑為r，則r＝2，當A、C、D三點共線，且點C在AD之間時，AD最大，此時OE最大，，∴線段OE的最大值是．故選：B．【點睛】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點以及三角形中位線的性質，解題的關鍵是根據(jù)圓的基本性質，確定AD的最大值．10.如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的圓心在原點，半徑為，P(m，n)為⊙O上一點，過點A(﹣6，5)，B(0，5)的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）同時也過點P，當代數(shù)式||取得最大值時，拋物線的二次項系數(shù)a的值為（）A. B. C.或 D.2【答案】C【解析】【分析】過點作軸于點，則，，當代數(shù)式||取得最大值時，則取得最大值此時，與相切，切點為,連接,根據(jù)題意，求得，即可求得點的坐標，進而根據(jù)不共線三點求拋物線解析式即可求得的值【詳解】解：如圖，過點作軸于點，則，在中，當代數(shù)式||取得最大值時，則取得最大值此時，與相切，切點為,連接,在中，中,過點A(﹣6，5)，B(0，5)的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）同時也過點P，則解得同理可得過點A(﹣6，5)，B(0，5)的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）同時也過點P，則解得綜上所述或故選C【點睛】本題考查了切線性質，求拋物線解析式，解直角三角形，根據(jù)代數(shù)式求得最大值時找到點的坐標是解題的關鍵，注意過圓外一點可作2條圓的切線．二．填空題11.二次函數(shù)y＝x2﹣3的頂點坐標是________．【答案】(0，-3)【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式已經(jīng)是頂點式直接解答即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)的頂點坐標為（0，-3），故答案為：（0，-3）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，要熟悉頂點式的意義，并明確：的頂點坐標為（0，k）．12.如圖，等腰△ABC的頂角∠BAC＝50°，以AB為直徑的半圓分別交BC，AC于點D，E．則的度數(shù)是____度．【答案】50【解析】【分析】連接AD，由AB為直徑可得出AD⊥BC，由AB＝AC利用等腰三角形的三線合一即可得出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°，再根據(jù)圓周角定理即可得出弧DE的度數(shù)．【詳解】連接AD，如圖所示．∵AB為直徑，∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．∴弧DE的度數(shù)＝2∠EAD＝50°．故答案為50．【點睛】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．13.已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，則點B的坐標為_____．【答案】（5，0）【解析】【分析】先求出拋物線的對稱軸，然后再根據(jù)拋物線的對稱性得出點B的坐標【詳解】解：∵拋物線y＝ax2﹣4ax+c的對稱軸為：，又∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，∴點B的坐標為（5，0）．故答案為：（5，0）．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．14.如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點，利用圖象解題即可【詳解】拋物線與直線交于，兩點，當時，拋物線在直線的下方，即的解集為故答案為：【點睛】本題考查二次函數(shù)與不等式（組），二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．15.如圖，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且ABC的三邊都與⊙O相切，則AO＝________．【答案】【解析】【分析】連接OD、OE、OF，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出OD，根據(jù)切線長定理求出AD，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：設⊙O與△ABC三邊的切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，則OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，OD=OE=OF，由勾股定理得，，∴×AC×BC=×AC×OD+×BC×OE+×AB×OF，即×6×8=×（6+8+10）×OD，解得，OD=2，設AD=x，則CD=6-x，根據(jù)切線長定理得，AF=AD=x，CE=6-x，則BE=8-（6-x）=2+x，∴BF=BE=2+x，則x+2+x=10，解得，x=4，在Rt△AOD中，，故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形的內切圓與內心，掌握切線長定理、勾股定理是解題的關鍵．16.如圖，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延長線上取一點C，使得DC＝BD，在直線AD左側有一動點P滿足∠PAD＝∠PDB，連接PC，則線段CP長的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】如圖，取AD的中點O，連接OP、OC，然后求出OP、OC的長，最后根據(jù)三角形的三邊關系即可解答．【詳解】解：如圖，取AD的中點O，連接OP、OC∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠PAD+∠ADP=90°，即∠APD=90°，∵AO=OD，∴PO=OA=AD，∴∴OP=，∵BD=CD=4，OD=，∴∵PC≤OP+OC，∴PC≤，∴PC的最大值為．故填：．【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質、勾股定理等知識點，解題的關鍵在于正確添加常用輔助線，進而求得OP、OC的長．17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰△ABO的頂點A在y軸上，AB＝OB，tan∠AOB＝2，拋物線y＝﹣x2+bx+2過點A．（1）若點O關于AB中點的中心對稱點也恰好在拋物線y＝﹣x2+bx+2上，則b＝________；（2）若將△ABO繞點A按逆時針方向旋轉45°，得到，點在拋物線y＝﹣x2+bx+2上，則b＝________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）如圖1，過點B作BC⊥x軸于C，根據(jù)x=0可求得點A的坐標，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得BC=2，即點B的坐標（2，1），然后將點B的坐標代入拋物線的解析式求出b的值即可；（2）如圖2，過點B'作B'H⊥AB于H，過H作GM⊥y軸于G，過點B'作B'M⊥GM于M，可證△AHB'是等腰直角三角形，得AH=B'H=，再證△AGH≌△HMB'{AAS），根據(jù)三角函數(shù)可得AG=HM=，GH=B'M=，確定點B'的坐標，最后代入拋物線的解析式求出b的值即可．【詳解】解：（1）如圖1，過點B作BC⊥x軸于C，當x=0時，y=2，∴A（0，2）∵AB=0B，∴∵∴BC=2∴B（2，1）∵AB的中點坐標為（1，），∴點O關于AB中點的中心對稱點的坐標為（2，3），∵該點也恰好在拋物線y=-x2+bx+2上，∴-4+2b+2=3，解得b=；故答填；（2）如圖2，過點B'作B'H⊥AB于H，過H作GM⊥y軸于G，過點B'作B'M⊥GM于M，由（1）得：AB=，由旋轉的性質可得：AB'=AB=，∠BAB'=45°，∵∠AHB'=90°，∴△AHB'是等腰直角三角形，∴∵∠AGH=∠GAH+∠AHG=∠AHG+∠MHB'=90°，∴∠GAH=∠MHB'，∵∠AGH=∠M=90°，AH=B'H，∴△AGH≌△HMB'{AAS），∴GH=B'M，HM=AG，∵，∴AG=HM=，GH=B'M=，∴∴∵該點也恰好在拋物線y=-x2+bx+2上，∴，解得b=．故答填．【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合運用，主要考查了等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質和判定、三角函數(shù)的定義、三角形全等的性質和判定等知識點，確定點B和B'的坐標是解答本題的關鍵．18.如圖1是護眼學習臺燈，該臺燈的活動示意圖如圖2所示．燈柱BC＝6cm，燈臂AC繞著支點C可以旋轉，燈罩呈圓弧形（即和）．在轉動過程中，AD（EF）總是與桌面BH平行．當AC⊥BH時，AB＝46cm，DM⊥MH，測得DM＝37.5cm（點M在墻壁M上，且MH⊥BH）；當燈臂AC轉到CE位置時，F(xiàn)N⊥MH測得FN＝13.5cm，則點E到桌面BH的距離為_____cm．若此時點C，F(xiàn)，M在同一條直線上，的最低點到桌面BH的距離為35cm，則EF所在圓的半徑為_____cm．【答案】①38；②.．【解析】【分析】（1）過點E作EP⊥BH，垂足為H，延長FE交AB于點G，根據(jù)GE+FN=DM，AC=CE=AB-BC，在直角三角形EGC中，求得CG，證明四邊形EGBP是矩形，可得EP=CG+BC；（2）可證四邊形AMNG是矩形，得MN=AG，證明△GFC∽△NFM，求得EF的長，作EF的垂直平分線OR，交BH于R，交于點Q，交EF于點K，利用垂徑定理，勾股定理解答即可．【詳解】（1）過點E作EP⊥BH，垂足為H，延長FE交AB于點G，∵AC⊥BH，MH⊥BH，∴AG∥MN，∵DM⊥MH，F(xiàn)N⊥MH，∴AM∥GN，∴四邊形AGNM是平行四邊形，∴四邊形AGNM是矩形，∴AM=GN，∴AD+DM=GE+EF+FN，∵AD=EF，DM=37.5，F(xiàn)N=13.5∴GE=DM-FN=24，∵AC⊥BH，AB＝46，BC=6，∴AC=CE=40，在直角三角形EGC中，CG=32，∵BG⊥EG，GB⊥BP，EP⊥BH，∴四邊形EGBP是矩形，∴EP=BG=CG+BC=32+6=38；故答案為：38．（2）由（1）知，四邊形AMNG是矩形，∴MN=AG=AB-BG=46-38=8，∵MN∥GC，∴△GFC∽△NFM，∴，∴FG=4FN=4×13.5=54，∴EF=FG-EG=54-24=30，作EF的垂直平分線OR，交BH于R，交于點Q，交EF于點K，設點O為圓心，根據(jù)題意，得EK=15，∵EP⊥PR，KR⊥PR，EK⊥KR，∴四邊形EPRK是矩形，∴EP=KR=38，∵QR=35，∴KQ=3，設OE=OQ=x，則OK=x-3，在直角三角形OEK中，，∴，解得x=．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的相似，矩形的判定與性質，勾股定理，垂徑定理，構造輔助線，構造出直角三角形，是解題的關鍵．三．解答題19.如圖，已知A，B，C均在⊙O上，請用無刻度的直尺作圖．（1）如圖1，若點D是AC的中點，試畫出∠B的平分線；（2）若∠A＝40°，點D在弦BC上，在圖2中畫出一個含50°角的直角三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接OD并延長與圓O交于點E，連接BE即為所求；（2）連接BO并延長交圓O于N，延長AD交圓O于M，連接NM，BM，則△BMN即為所求；【詳解】解：如圖所示，連接OD并延長與圓O交于點E，連接BE即為所求；∵D是AC的中點，∴，∴∠ABE=∠CBE，即BE平分∠ABC；（2）如圖所示，連接BO并延長交圓O于N，延長AD交圓O于M，連接NM，BM，則△BMN即為所求；∵∠A=40°，∴∠BNM=∠A=40°，∵BN是圓的直徑，∴∠BMN=90°，∴∠NBM=90-∠BNM=50°，∴△BMN是含50°的直角三角形．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理等等；解題的關鍵在于能夠熟練掌握圓的相關知識．20.已知二次函數(shù)．（1）如果二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；（2）如圖，二次函數(shù)圖像過點A（3，0），與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數(shù)圖像的對稱軸交于點P，求點P的坐標．【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2）【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，得到△＞0于是得到m的取值范圍；（2）把點A（3，0）代入二次函數(shù)的解析式得到m的值，于是得到二次函數(shù)的解析式，再求出直線AB的解析式和對稱軸方程x=1聯(lián)立成方程組，即可得到結果．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，∴△=，∴m＞﹣1；故答案為：m＞﹣1；（2）∵二次函數(shù)的圖像過點A（3，0），∴，∴m=3，∴二次函數(shù)的解析式為：，令x=0，則y=3，∴B（0，3），設直線AB的解析式為：，∴，解得：，∴直線AB的解析式為：，∵拋物線的對稱軸為：x=1，∴，解得：，∴P（1，2）．21.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，，AC為直徑，DE⊥BC，垂足為E．（1）求證：CD平分∠ACE；（2）若AC=9，CE=3，求CD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【詳解】分析:（1）根據(jù)圓內接四邊形的性質得到∠DCE=∠BAD，根據(jù)圓周角定理得到∠DCE=∠BAD，證明即可；（2）證明△DCE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，計算即可．詳解:（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，∵=，∴∠BAD=∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠ADC，∵∠DCE=∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=3．點睛:本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角是解題的關鍵．22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點B，求平移后拋物線的表達式；（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點D，交線段BC于點P、Q，（點P在點Q右側），平移后拋物線的頂點為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．【答案】（1）y＝x2﹣2x，頂點C的坐標是（1，﹣1）；（2）y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣5）2﹣1；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，化成頂點式即可求得頂點坐標；（2）根據(jù)圖象上點的坐標特征求得B（4，0），然后分兩種情況討論求得即可；（3）設向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式為y＝x2﹣2x﹣1．求得頂點坐標，然后解直角三角形即可求得結論．【詳解】（1）由題意，拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴拋物線的表達式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的頂點C的坐標是（1，﹣1）．（2）∵直線與x軸交于點B，∴點B的坐標是（4，0）．①將拋物線y＝x2﹣2x向右平移2個單位，使得點A與點B重合，此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣3）2﹣1．②將拋物線y＝x2﹣2x向右平移4個單位，使得點O與點B重合，此時平移后的拋物線表達式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）設向下平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x+n，得點D（0，n）．∵DP∥x軸，∴點D、P關于拋物線的對稱軸直線x＝1對稱，∴P（2，n）．∵點P在直線BC上，∴．∴平移后的拋物線表達式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新拋物線的頂點M的坐標是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由題意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質，三角函數(shù)的定義等，正確求得平移后的解析式是解題的關鍵．23.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．以AB上某一點O為圓心作⊙O，使⊙O經(jīng)過點A和點D．（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半徑；②設⊙O與AB邊的另一個交點為E，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積．（結果保留根號和π）【答案】（1）BC與⊙O相切，理由見解析；（2）①⊙O的半徑為2．②S陰影=．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得：連接OD，先根據(jù)角平分線的性質，求得∠BAD＝∠CAD，進而證得OD∥AC，然后證明OD⊥BC即可；（2）設⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積的計算可以求得結果．【詳解】解（1）相切．理由如下：如圖，連接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC．又∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC與⊙O相切；（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB＝6，OB＝2OD．又OA＝OD＝r，∴OB＝2r，∴2r＋r＝6，解得r＝2，即⊙O的半徑是2；②由①得OD＝2，則OB＝4，BD＝2，S陰影＝S△BDO－S扇形ODE＝×2×2－＝2－π．【點睛】本題考查了切線的判定，含有30°角的直角三角形的性質，扇形的面積等知識點的應用，解題的關鍵是掌握一定的推理能力．24.如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是⊙O上的點，且OD∥BC，AC分別與BD、OD相交于點E、F．（1）求證：點D為中點；（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的長；（3）若⊙O的半徑為5，∠DOA＝80°，點P是線段AB上任意一點，試求出PC+PD的最小值．【答案】（1）見解析；（2）DF=2；（3）5【解析】【分析】（1）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明OF⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理得到點D為的中點；（2）證明OF為△ACB的中位線得到OF＝BC＝3，然后計算OD﹣OF即可；（3）作C點關于AB的對稱點C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，利用兩點之間線段最短得到此時PC+PD的值最小，再計算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如圖，然后根據(jù)等腰三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系求出DH，從而得到PC+PD的最小值．【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴＝，即點D為的中點；（2）解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF，而OA＝OB，∴OF為△ACB的中位線，∴OF＝BC＝3，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；（3）解：作C點關于AB的對稱點C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，∵PC＝PC′，∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，∴此時PC+PD的值最小，∵＝，∴∠COD＝∠AOD＝80°，∴∠BOC＝20°，∵點C和點C′關于AB對稱，∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如圖，則∠ODH＝30°，則C′H＝DH，在Rt△OHD中，OH＝OD＝，∴DH＝OH＝，∴DC′＝2DH＝5，∴PC+PD的最小值為5．【點睛】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握圓周角定理和垂徑定理，以及最短路徑的解法是解題的關鍵．25.“武漢加油!中國加油!”疫情牽動萬人心，每個人都在為抗擊疫情而努力．某廠改造了條口罩生產線，每條生產線每天可生產口罩個．如果每增加一條生產線，每條生產線就會比原來少生產個口罩．設增加條生產線后，每條生產線每天可生產口罩個．直接寫出與之間的函數(shù)關系式；若每天共生產口罩個，在投入人力物力盡可能少的情況下，應該增加幾條生產線?設該廠每天可以生產的口罩個，請求出與的函數(shù)關系式，并求出增加多少條生產線時，每天生產的口罩數(shù)量最多，最多為多少個?【答案】（1）；（2）應該增加5條生產線．（3）當增加7或8條生產線時，每天生產的口罩數(shù)量最多，為6120個．【解析】【分析】（1）根據(jù)“每增加一條生產線，每條生產線就會比原來少生產個口罩”即可求出y與x的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)題意，列出一元二次方程即可求出結論；（3）根據(jù)題意，即可求出與的函數(shù)關系式，然后利用二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：（1）由題意可得：；（2）由題意可得：解得：∵盡可能投入少，∴舍去答：應該增加5條生產線．（3）=∴∵＜0，開口向下，∴當x=時，w最大，又∵x為整數(shù)，所以當x=7或8時，w最大，最大值為6120．答：當增加7或8條生產線時，每天生產的口罩數(shù)量最多，為6120個．【點睛】此題考查的是一次函數(shù)、一元二次方程和二次函數(shù)的應用，掌握實際問題中的等量關系是解決此題的關鍵．26.如圖，在平面直角坐標系中，點是一次函數(shù)圖象上兩點，它們的橫坐標分別為其中，過點分別作軸的平行線，交拋物線于點，（1）若求的值；（2）點是拋物線上的一點，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）的最小值為【解析】【分析】（1）利用函數(shù)圖象上點的坐標特征用a表示點A、B的坐標以及點C、D的坐標，再用a表示AD、CB的長，根據(jù)AD=BC，列方程即可求解；（2）作出如圖的輔助線，設點E（，），求得點M的坐標為（，），再求得EM，根據(jù)得到二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可求解．【詳解】（1）∵點A、B是一次函數(shù)圖象上兩點，它們的橫坐標分別為，，∴點A的坐標為（a，a），點B的坐標為（a+3，a+3），將x=a，代入得：，將x=a+3，代入得：，∴點D的坐標為（，），點C的坐標為（，），∴AD=，CB=()，∵AD=BC，∴，解得：；（2）設點E（，），過E作EM垂直于軸交AB于點M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分別為F，G，如圖：∵點M在直線上，∴點M的坐標為（，），∴EM，∴，∵，∴當時，的最小值為．【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質、三角形的面積、方程思想以及數(shù)形結合思想等知識．27.已知，足球球門高米，寬米（如圖1）在射門訓練中，一球員接傳球后射門，擊球點A距離地面米，即米，球的運動路線是拋物線的一部分，當球的水平移動距離為6米時，球恰好到達最高點D，即米．以直線為x軸，以直線為y軸建立平面直角坐標系（如圖2）．（1）求該拋物線的表達式；（2）若足球恰好擊中球門橫梁，求該足球運動的水平距離；（3）若要使球直接落在球門內，則該球員應后退m米后接球射門，擊球點為（如圖3），請直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）；（2）10.2米；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點坐標是（6，4.4），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）求出當y=2.44時x的值，再檢驗即得答案；（3）先求出y=0時，x的值，取正，減去恰好擊中球門橫梁時，足球的水平距離即可．【詳解】解：（1）拋物線的頂點坐標是，設拋物線的解析式是：，把代入得，解得，則拋物線是；（2）球門高為2