2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)微專(zhuān)題第五章雙正方形問(wèn)題探究

微專(zhuān)題雙正方形問(wèn)題探究典例如圖1,在正方形ABCD和正方形ECGF中,B,C,G三點(diǎn)共線,AH∥DG,連接AF,FH.(1)求證:△AFH為等腰直角三角形.(2)若AF與CE相交于點(diǎn)M,且AB=3,EF=5,求EM的長(zhǎng).變式1如圖1,連接BE,求BE與DG之間的關(guān)系.變式2如圖2,連接BE.當(dāng)DG垂直平分BE時(shí),求ABEF的值變式3如圖2,設(shè)正方形ABCD的面積為S1,以DE,EF為鄰邊的矩形面積為S2.若S1=S2,K為CG的中點(diǎn).求證:EK=BK.變式4如圖3,若P,Q分別為AF,FG的中點(diǎn),連接PQ,AB=5,EF=7,求PQ的長(zhǎng).變式5如圖3,當(dāng)D為CE的中點(diǎn)時(shí),連接AE,AG,EG,判斷△AEG的形狀.變式6如圖4,連接AG,EG.若AG平分∠EGB,AG與CE相交于點(diǎn)P,求ABEF的值變式7如圖4,若AB=1,EF=2,求陰影部分的面積.變式8如圖5,連接BE,與AF交于點(diǎn)N,連接CN,CF,求證:CN⊥AF.【答案】(1)∵AD∥GH,AH∥DG,∴四邊形ADGH為平行四邊形,∴AH=DG,AD=HG.∵CD=AD=HG,∠DCG=∠HGF=90°,CG=GF,∴△DCG≌△HGF(SAS),∴FH=DG,∠CDG=∠GHF,∴AH=FH.∵AH∥DG,∴∠AHB=∠DGC.∵∠CDG+∠DGC=90°,∴∠GHF+∠AHB=90°,∴∠AHF=90°,∴△AFH為等腰直角三角形.(2)∵四邊形ABCD,ECGF為正方形,∴∠ADC=∠FEC=90°,∴AD∥EF,∴EMDM=EFAD,∴△∵AB=3,EF=5,∴ED=2.設(shè)EM的長(zhǎng)為x,∴DM的長(zhǎng)為2－x.∴x2-經(jīng)檢驗(yàn),x=54是原分式方程的解∴EM的長(zhǎng)為54變式1解:延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)N.∵四邊形ABCD與四邊形ECGF為正方形,∴∠DCB=∠ECG=90°,EC=CG,BC=DC,∴△ECB≌△GCD(SAS),∴BE=DG,∠CEB=∠CGD.∵∠CEB+∠CBE=90°,∴∠CGD+∠CBE=90°,∴∠BNG=90°,∴BE⊥DG,∴BE與DG垂直且相等.變式2解:連接EG,不妨設(shè)EF=b.∵四邊形ABCD與四邊形ECGF為正方形,∴EG=2b.設(shè)AB=a,∴BG=a+b.∵DG垂直平分BE,∴EG=BG=a+b.∴a+b=2b,∴變式3證明:取CG的中點(diǎn)K,連接EK.設(shè)EF=b,AB=a.∴S1=a2,S2=(b－a)×b=b2－ab.∵S1=S2,∴a2=b2－ab,解得a=5b-b2∵K為CG的中點(diǎn),∴CK=b2在Rt△ECK中,CE2+CK2=EK2,∴EK=b2∴BK=BC+CK=5b∴EK=BK.變式4解:連接AG.∵P為AF的中點(diǎn),Q為FG的中點(diǎn),∴PQ為△FAG的中位線,∴PQ=12AG∵AB=5,EF=7,∴BG=12,∴在Rt△ABG中,AG=AB2∴PQ=132變式5解:連接BD.∵D為CE的中點(diǎn),∴DE=DC.∵四邊形ABCD為正方形,∴AB=DE.∵AB∥DE,∴四邊形ABDE為平行四邊形,∴∠AED=∠ABD=45°.∵四邊形ECGF為正方形,∴∠CEG=45°,∴∠AEG=∠AED+∠CEG=90°,∴△AEG為直角三角形.變式6解:解法1:延長(zhǎng)BA,GE交于點(diǎn)M,連接AC.∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ABC=90°,CE∥MB,∠MGB=45°,∴△MBG為等腰直角三角形,∠M=45°,∴ME∥AC.∵AM∥CE,∴四邊形AMEC為平行四邊形,∴AM=EC=EF.過(guò)點(diǎn)B作BI∥AG,交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)I.∴∠AGE=∠I,∠AGB=∠GBI.∵AG平分∠EGB,∴∠AGE=∠AGB,∴∠I=∠GBI,∴BG=GI.∵AG∥BI,∴ABAM∴ABEF解法2:過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥EG于點(diǎn)Q.設(shè)CG=a,BC=b,∴EG=2a.∵AG平分∠EGB,PC⊥BG,PQ⊥EG,∴PQ=PC.又∵PG=PG,∴Rt△PQG≌Rt△PCG(HL),∴QG=CG=a,∴EQ=EG－QG=(2－1)a.∵∠CEG=45°,∠PQE=90°,∴PC=PQ=EQ=(2－1)a.∵AB∥EC,∴△PCG∽△ABG,∴PCCG=∴ABEF變式7解:∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ADC=∠DCG=90°.∵AD∥CG,∴△ADP∽△GCP,∴DPAD設(shè)DP=x,∴CP=1－x.有x1∴S陰影=12變式8證明:易證△ABH≌△DCG,△BCE≌△DCG,∴∠1=∠3.∵∠2+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°,∴AH⊥BE.由(1)知∠HAF=45°