隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

一、一個方程的情形二、方程組的情形2021/5/91顯函數(shù)隱函數(shù)顯化問題：1.滿足什么條件，方程能夠確定函數(shù)？2.對于不能或難以顯化的隱函數(shù)如何求偏導(dǎo)？2021/5/92一、一個方程的情形隱函數(shù)存在定理1在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有設(shè)函數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，

且能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)

則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒，它滿足條件，并有

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2021/5/93定理證明略.推導(dǎo)求導(dǎo)公式：兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則復(fù)合函數(shù)2021/5/94例1驗(yàn)證方程在點(diǎn)的某解令則連續(xù),鄰域內(nèi)能唯一確定一個可導(dǎo),且時的隱函數(shù)并求這函數(shù)的一階和二的值.階導(dǎo)數(shù)在2021/5/95注：在點(diǎn)(1,0)的鄰域內(nèi)方程不能唯一確定一個可導(dǎo)函數(shù).依定理知方程的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個可導(dǎo)的函數(shù)在點(diǎn)2021/5/96一階導(dǎo)數(shù)：2021/5/97例2

設(shè)方程確定一個隱函數(shù)解令由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,得

則求方程兩邊對x求導(dǎo)，另解解出注意到2021/5/98隱函數(shù)存在定理2

的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)則方程在點(diǎn)的某偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件并有且2021/5/99兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則推導(dǎo)求偏導(dǎo)公式：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式2021/5/910解令則例3

2021/5/911具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù).例4解則2021/5/912解例5兩邊全微分：2021/5/913二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理3設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比式）連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)不為零，2021/5/914則方程組在點(diǎn)唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的它們滿足條件并有的某一鄰域內(nèi)恒能函數(shù)2021/5/9152021/5/916解1直接代入公式；解2運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)并移項(xiàng),得例62021/5/917將所給方程的兩邊對求導(dǎo)，用同樣方法得在的條件下，解方程組，得2021/5/918（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則小結(jié)2021/5/9192021/5/920思考題已知，其中為可微函數(shù)，求2021/5/921思考題解答2021/5/922作業(yè)