高數(shù) 弧微分與曲率

第十二節(jié)曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長(zhǎng)有關(guān)主要內(nèi)容:一、曲線弧的微分二、曲率與曲率半經(jīng)弧微分與曲率

第二章2021/5/91一、曲線弧的微分設(shè)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),其圖形為

AB,弧長(zhǎng)2021/5/92則弧長(zhǎng)微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:稱(chēng)為曲線的弧微分公式。2021/5/93例1求正弦曲線解因?yàn)?，所以?

求第一象限內(nèi)星形線的弧微分。所以的弧微分。解因?yàn)?021/5/94二、曲率與曲率半經(jīng)在光滑弧上自點(diǎn)M

開(kāi)始取弧段,其長(zhǎng)為定義弧段上的平均曲率點(diǎn)

M

處的曲率注意:

直線上任意點(diǎn)處的曲率為0!對(duì)應(yīng)切線轉(zhuǎn)角為2021/5/95例1.

求半徑為R

的圓上任意點(diǎn)處的曲率.解:

如圖所示,可見(jiàn):R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.2021/5/96有曲率近似計(jì)算公式故曲率計(jì)算公式為又曲率K的計(jì)算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由2021/5/97說(shuō)明:(1)若曲線由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線方程為則若曲線在點(diǎn)M處的曲率K不為零，稱(chēng)為曲線在點(diǎn)M處的曲率半經(jīng)。

2021/5/98例2求曲線在點(diǎn)處的曲率半徑。解方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，整理得兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，整理得將點(diǎn)代人（1）得將點(diǎn)代人（2）得故曲線在點(diǎn)處的曲率半徑2021/5/99例3.

我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停說(shuō)明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車(chē)平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)且

l<<R.

其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長(zhǎng)度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化.2021/5/910例3.

我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且

l<<R.

處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長(zhǎng)度,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)解:顯然2021/5/911內(nèi)容小結(jié)1.弧長(zhǎng)微分或2.曲率公式3.曲率半徑2021/5/912作業(yè)P1661；2；4;5.2021/5/913例4.

求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K

最大最小求駐點(diǎn):2021/5/914設(shè)從而

K

取最大值.這說(shuō)明橢圓在點(diǎn)處曲率計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:最大.2021/5/915例5設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即