數(shù)值計算方法試題及答案

數(shù)值計算方法試題一填空題（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（）次。2、迭代格式局部收斂的充分條件是取值在（）。3、已知是三次樣條函數(shù)，則=()，=（），=（）。4、是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則()，()，當時()。5、設(shè)和節(jié)點則和。6、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為，5個節(jié)點的求積公式最高代數(shù)精度為。7、是區(qū)間上權(quán)函數(shù)的最高項系數(shù)為1的正交多項式族，其中，則。8、給定方程組，為實數(shù)，當滿足，且時，SOR迭代法收斂。9、解初值問題的改進歐拉法是階方法。10、設(shè)，當（）時，必有分解式，其中為下三角陣，當其對角線元素滿足（）條件時，這種分解是唯一的。二、選擇題（每題2分）1、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（）。（1）,(2),(3),(4)2、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1），（2），（3），（4），3、有下列數(shù)表x012f(x)-2-12所確定的插值多項式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二階中點公式求解初值問題，試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長的取值范圍為（）。(1),(2),(3),(4)三、1、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：192530382、（15分）用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算時，(1)

試用余項估計其誤差。（2）用的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算出該積分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；(2)對應迭代格式；（3）對應迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。選一種迭代格式建立Steffensen迭代法，并進行計算與前一種結(jié)果比較，說明是否有加速效果。2、（8分）已知方程組，其中，（1）

列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）

求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫出SOR迭代法。五、1、（15分）取步長，求解初值問題用改進的歐拉法求的值；用經(jīng)典的四階龍格—庫塔法求的值。2、（8分）求一次數(shù)不高于4次的多項式使它滿足,,,,六、（下列2題任選一題，4分）1、

數(shù)值積分公式形如（1）

試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)，推導余項公式，并估計誤差。2、

用二步法求解常微分方程的初值問題時，如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的。數(shù)值計算方法試題二一、判斷題：（共16分，每小題２分）１、若是階非奇異陣，則必存在單位下三角陣和上三角陣，使唯一成立。（）２、當時，Newton－cotes型求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精確度的次數(shù)為。（）４、矩陣的２－范數(shù)＝９。（）5、設(shè)，則對任意實數(shù)，方程組都是病態(tài)的。（用）（）6、設(shè)，，且有（單位陣），則有。（）7、區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的直交多項式是存在的，且唯一。（）8、對矩陣A作如下的Doolittle分解：，則的值分別為2，2。（）二、填空題：（共20分，每小題2分）1、設(shè)，則均差__________，__________。2、設(shè)函數(shù)于區(qū)間上有足夠階連續(xù)導數(shù)，為的一個重零點，Newton迭代公式的收斂階至少是__________階。３、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到__________階的連續(xù)導數(shù)。4、向量,矩陣，則__________，__________。5、為使兩點的數(shù)值求積公式：具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點應為__________，__________。6、設(shè)，，則（譜半徑）__________。（此處填小于、大于、等于）7、設(shè)，則__________。三、簡答題：（9分）1、

方程在區(qū)間內(nèi)有唯一根，若用迭代公式：，則其產(chǎn)生的序列是否收斂于說明理由。2、

使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技術(shù)3、

設(shè)，試選擇較好的算法計算函數(shù)值。四、（10分）已知數(shù)值積分公式為：，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。五、（8分）已知求的迭代公式為：證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。六、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式為什么其代數(shù)精度是多少七、（9分）設(shè)線性代數(shù)方程組中系數(shù)矩陣非奇異，為精確解，，若向量是的一個近似解，殘向量，證明估計式：（假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容）。八、(10分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有四階連續(xù)導數(shù)，試求滿足下列插值條件的一個次數(shù)不超過3的插值多項式，并導出其余項。012012-1133

九、(9分)設(shè)是區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的直交多項式序列，為的零點，是以為基點的拉格朗日(Lagrange)插值基函數(shù)，為高斯型求積公式，證明：（1）當時，（2）（3）十、（選做題8分）若，互異，求的值，其中。數(shù)值計算方法試題三一、（24分）填空題(1)

(2分)改變函數(shù)()的形式，使計算結(jié)果較精確。(2)

(2分)若用二分法求方程在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分次。(3)

(2分)設(shè)，則(4)

(3分)設(shè)是3次樣條函數(shù)，則

a=,b=,c=。(5)

(3分)若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用個求積節(jié)點。(6)

(6分)寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式

，迭代矩陣為，

此迭代法是否收斂。(7)

(4分)設(shè),則，。(8)

(2分)若用Euler法求解初值問題，為保證算法的絕對穩(wěn)定，則步長h的取值范圍為二.(64分)(1)

(6分)寫出求方程在區(qū)間[0,1]的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2)

(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。(3)

(10分)求在區(qū)間[0,1]上的1次最佳平方逼近多項式。(4)

(10分)用復化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。(5)

(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：

(6)

(8分)求方程組的最小二乘解。(7)

(8分)已知常微分方程的初值問題：

用改進的Euler方法計算的近似值，取步長。三．(12分，在下列5個題中至多選做3個題)(1)

(6分)求一次數(shù)不超過4次的多項式p(x)滿足：

，，，，(2)

(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：

(3)

(6分)用冪法求矩陣的模最大的特征值及其相應的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于，取特征向量的初始近似值為。(4)

(6分)推導求解常微分方程初值問題

的形式為,i=1,2,…,N

的公式，使其精度盡量高，其中,,i=0,1,…,N,

(5)

(6分)求出用差分方法求解常微分方程的邊值問題

所得到的三對角線性方程組。數(shù)值計算方法試題三一、（24分）填空題(1)

(2分)改變函數(shù)()的形式，使計算結(jié)果較精確。(2)

(2分)若用二分法求方程在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分次。(3)

(2分)設(shè)，則(4)

(3分)設(shè)是3次樣條函數(shù)，則

a=,b=,c=。(5)

(3分)若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用個求積節(jié)點。(6)

(6分)寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式

，迭代矩陣為，

此迭代法是否收斂。(7)

(4分)設(shè),則，。(8)

(2分)若用Euler法求解初值問題，為保證算法的絕對穩(wěn)定，則步長h的取值范圍為二.(64分)(1)

(6分)寫出求方程在區(qū)間[0,1]的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(2)

(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。(3)

(10分)求在區(qū)間[0,1]上的1次最佳平方逼近多項式。(4)

(10分)用復化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。(5)

(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：

(6)

(8分)求方程組的最小二乘解。(7)

(8分)已知常微分方程的初值問題：

用改進的Euler方法計算的近似值，取步長。三．(12分，在下列5個題中至多選做3個題)(1)

(6分)求一次數(shù)不超過4次的多項式p(x)滿足：

，，，，(2)

(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：

(3)

(6分)用冪法求矩陣的模最大的特征值及其相應的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于，取特征向量的初始近似值為。(4)

(6分)推導求解常微分方程初值問題

的形式為,i=1,2,…,N

的公式，使其精度盡量高，其中,,i=0,1,…,N,

(5)

(6分)求出用差分方法求解常微分方程的邊值問題

所得到的三對角線性方程組。數(shù)值計算方法試題一答案一、填空題（每空1分，共17分）1、（10）2、（）3、=(3)，=（3），=（1）4、(1)、()、()5、6、6、97、08、9、210、（）、（）二、選擇題（每題2分）1、（(2)）2、（（1））3、（（1））4、（（3））三、1、（8分）解：解方程組其中解得：所以，2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），，故收斂；（2），，故收斂；（3），，故發(fā)散。選擇（1）：，，，，，，Steffensen迭代：計算結(jié)果：，，有加速效果。2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，SOR迭代法：五、1、（15分）解：改進的歐拉法：所以；經(jīng)典的四階龍格—庫塔法：，所以。2、（8分）解：設(shè)為滿足條件的Hermite插值多項式，則代入條件得：六、（下列2題任選一題，4分）1、解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項式滿足其中則有：，2、解：所以主項：該方法是二階的。數(shù)值計算方法試題二答案一、判斷題：（共10分，每小題２分）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）二、填空題：（共10分，每小題2分）1、、02、__二___3、__二___4、_16、90__5、6、=7、0三、簡答題：（15分）1、

解：迭代函數(shù)為2、

答：Gauss消去法能進行到底的條件是各步消元的主元素全不為0，如果在消元過程中發(fā)現(xiàn)某個主元素為0，即使，則消元過程將無法進行；其次，即使主元素不為0，但若主元素的絕對值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元的乘數(shù)絕對值很大，勢必造成舍入誤差的嚴重擴散，以致于方程組解的精確程度受到嚴重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免主元素=0或很小的情況發(fā)生，從而不會使計算中斷或因誤差擴大太大而使計算不穩(wěn)定。3、

解：四、解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。

五、證明：故對一切。又所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。

六、解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為。其代數(shù)精度為1。七、證明：由題意知：又所以。八、解：設(shè)所以由得：所以令，作輔助函數(shù)則在上也具有4階連續(xù)導數(shù)且至少有4個零點：反復利用羅爾定理可得：，所以九、證明：形如的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精度2n+1次，它對取所有次數(shù)不超過2n+1次的多項式均精確成立1）2）因為是n次多項式，且有所以()3）取，代入求積公式：因為是2n次多項式，所以故結(jié)論成立。十、解：數(shù)值計算方法試題三答案一.(24分)(1)(2分)(2)(2分)10(3)(2分)(4)(3分)3-31(5)(3分)477(6)(6分)收斂(7)(4分)991(8)