2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)全冊測試練習(xí)【含答案】

必修四全冊測試

150分

、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

.已知復(fù)數(shù)Z]=2—ai（aWR）對應(yīng)的點在直線x—3y+4=0上，則復(fù)數(shù)Z2=a+2\對應(yīng)的點在

（）

.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

.設(shè)機(jī)、〃是兩條不同的直線，夕是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

.若加〃a,n//則機(jī)〃〃B.若〃z〃a,則a〃4

.若加〃m.La,則〃J_aD.若根〃a,a邛,貝lj

.Z\A3C的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為小b,c,若8=120。，sinC=^-,c=2,則

△A8C的面積等于（）

.eqB.2小C.eqD.eq

.已知等腰直角三角形ABC中，NC=：,AC=2<2,。為AB的中點，將它沿CQ翻折，使

點A與點8間的距離為2加，此時三棱錐C-A8。的外接球的表面積為（）

.57rB.447tC.3TTD.12K

./XABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且acosB=（2c—力cosA,則角A的大小為（）

.eqB.eqC.eqD.eq

.唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱

的組合體（如圖2）.當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的

半徑為R厘米）固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值范圍為（）

.eqB.eq

.eqD.eq

.如圖，在正四面體P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、。的中點，下面四個結(jié)論不成立

的是（）

.BC〃平面PD尸

.￡>F_L平面B4E

.平面平面PAE

.平面PDELL平面A8C

.中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿

正好處在坡度15。的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰

角分別為60。和30。，第一排和最后一排的距離為1麗米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同

一個水平面上.要使國歌結(jié)束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升旗的速度應(yīng)為（米/秒）（）

.eqB.eq

.eqD.eq

、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.）

.設(shè)/為直線，a,夕是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（）

.若/〃a,l//p,則a〃/?B.若LLa,lYp,則a〃夕

.若/_La,l//p,貝iJa〃￡D.若a邛,I//a,貝I

0.下面給出的四個結(jié)論正確的為（）

.若復(fù)數(shù)zGR,則錯誤！WRB.若復(fù)數(shù)z滿足錯誤！GR,則zWR

.對于復(fù)數(shù)Z,有那=外.對于復(fù)數(shù)Zl，Z2，若3+z3=0,則Zl=Z2=0

1.已知銳角△ABC,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=4,ZB=60°,則邊b的可

能取值為（）

.2B.3C.4D.5

2.已知空間中兩條直線”，人所成的角為50。，P為空間中給定的一個定點，直線/過點P且

與直線。和直線匕所成的角都是J（0°<6W90。），則下列選項正確的是（）

.當(dāng)。=15。時，滿足題意的直線/不存在B.當(dāng)9=25。時，滿足題意的直線/有且僅有1條

.當(dāng)6=40。時，滿足題意的直線/有且僅有2條D.當(dāng)。=60。時，滿足題意的直線/有且僅有

3條

、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,且a=3,b=4,c=6,則。ccosA+accosB

+ahcosC的值是.

4.公元一世紀(jì)的我國經(jīng)典數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一道名題，就是“引葭赴岸”問題，

題目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適馬岸齊，問水深，葭長各幾

何？”題意是：有一正方形池塘，邊長為一丈（10尺），有棵蘆葦長在它的正中央，高出水面部

分有1尺長，把蘆葦拉向岸邊，恰好碰到沿岸（池塘一邊的中點），則水深為尺.

5.歐拉公式e*=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的

定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)

嗎

為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，對e?4表示的復(fù)數(shù)z,則|z|=.

jr

6.在△ABC中，ZABC=y邊BC在平面a內(nèi)，頂點A在平面a外，直線AB與平面a所成

角為。若平面ABC與平面a所成的二面角為?則sin6=.

、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

7.（10分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinB+1=bsinA+2cosc

1）求角C的大??；

2）若a=2,a2+/>2=2c2,求△ABC的面積.

8.（12分）如圖，直三棱柱ABC-AIBIG中,M,N分別為A|B,81G的中點.

1）求證：MN〃平面AiACG；

2）已知AiA=AB=2,BC=&ZCAB=90°,求三棱錐G-4B4的體積.

9.（12分）已知函數(shù)/（x）=siiwsin錯誤！一錯誤!（xGR）.

1）求./錯誤!的值和_/（x）的最小正周期；

2）設(shè)銳角△4BC的三邊”，6,c所對的角分別為4,B,C,且僧誤!=錯誤!，a=2,求6+c

的取值范圍.

0.（12分）如圖，OC_L平面48C,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,ZACB=120°,P,Q

分別為AE,AB的中點.

1）證明：PQ〃平面AC。；

2）求AD與平面ABE所成角的正弦值.

1.（12分）法國數(shù)學(xué)家費馬被稱為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，很多數(shù)學(xué)定理以他的名字命名.對^

ABC而言，若其內(nèi)部的點P滿足NAPB=NBPC=NCB4=120。，則稱P為AABC的費馬點.如

圖所示，在AABC中，已知NBAC=45。，設(shè)P為△ABC的費馬點，且滿足NPBA=45。，PA

=2.

1）求△以C的面積;

2）求PB的長度.

2.（12分）如圖1所示，在長方形ABC。中，A8=2,AD=\,E為CO的中點，以AE為折痕,

把△￡）?!￡；折起到△￡>'4E的位置（如圖2所示），且平面O'AE_L平面ABCE.

1）求證：AD'±BE；

2）求四棱錐。'-ABCE的體積；

3）在棱E。'上是否存在一點P,使得》B〃平面弘C,若存在，求出點P的位置，若不存在,

請說明理由.

圖2

必修四全冊測試

.答案：B

析：復(fù)數(shù)zi=2—ai對應(yīng)的點為（2,~a）,它在直線x—3y+4=0上，故2+3a+4=0,解得a

=-2,于是復(fù)數(shù)Z2=-2+2i,它對應(yīng)點的點在第二象限，故選B.

較索?C

析：由于m//a,n//a,則〃〃2〃，團(tuán)與〃可能相交也可能異面，所以A不正確；tn//a9m//[f,

則a〃夕，還有a與4可能相交，所以B不正確；m//n,mLa,則〃_La,滿足直線與平面垂

直的性質(zhì)定理，所以C正確.〃?〃％a邛,則加，兒也可能加〃夕，也可能夕=A,所以

D不正確.

.答案：A

歷

析：*?B—120°,sinC=7,c=2,

由L-正t■弦芬定…e理而b萬=而c7，r可/日付,'c=-s/in不B=巾r-，

由余弦定理爐=/+/—248。S8,可得7=a2+4-2XaX2X(-3，整理得a2+2a-3=0,

解得a=l,或一3(舍去)，

SA*BC=￡，必sinC=；X1X巾義^^=乎.

.答案：D

析：等腰直角三角形ABC中，/C=：,AC=2也，解得AB=4.

于CD_L4O,CD±BD,易得CD_L平面ABD,

4與點8間的距離為2吸，

以AU+BUMA#,則AO_LB。，

以將三棱錐C-A8Q放到棱長為2的正方體中，

以(2R)2=22+22+22,解得R=小，S衰=4兀=2=12兀

■答案：C

析：因為acosB=(2c—b)cos4,

正弦定理得sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA,

以sinC(1—2cosA)=0.

1JT

為OVCV兀，所以sinOO,所以cosA=].又OVAV兀，所以A=g.

.答案：D

析：設(shè)圓柱的高度與半球的半徑分別為/?,R,貝I5=2兀g+2兀R/?,則兀穴/?=2—兀/?2,

27

以酒杯的容積丫=下網(wǎng)十久川人=下R3+錯誤!R=一錯誤!R3+錯誤!RW錯誤!兀/吐

s

h>0,所以受一兀/?2>0,

q5

以小〈資春腦解得錯誤!WR<錯誤!.

.答案：D

析：設(shè)AEAO尸=0,由。/〃BC,可得BC〃平面PDF,故A正確.若P0_L平面ABC,垂

足為。，則。在AE上，貝?。荨?gt;F_LP。，XDF1AE,故￡>F_L平面B4E,故B正確.由。F_L平

面以E可得，平面平面物E,故C正確.,.?。凡￡平面以E,DFU平面ABC,平面

力EJ_平面ABC,：平面朋EA平面PDE=PE,且PE與平面ABC不垂直，二平面PDE與平

面43c不垂直，故D錯誤.

?答案：B

析：如圖所示，依題意知NAEC=45。，ZACE=180°-60°-15°=105°,

NE4C=180°-45°-105°=30°.

CFAC

正弦定理知.美“=.優(yōu)”,

sinZEACsinZAEC

AC=烹*Xsin45°=20（米），

在RtZ\ABC中，AB=ACsin/ACB=20X坐=1即（米）.

國歌長度約為46秒，

升旗手升旗的速度應(yīng)為喀=智（米/秒）.

.答案：ACD

析：A中a,￡也可相交，A不正確；由垂直同一直線的兩平面平行知，B正確；C中，a,￡

垂直，不正確；D中/與￡也可平行或/U尸，不正確.

0.答案：AB

析：若復(fù)數(shù)ZWR,則z虛部為0,所以它的共物復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實數(shù)，選項A正確；

11a—bi1

設(shè)z=a+bi,則二二「不二下匚^^區(qū)由二￡R得到人=0,所以z￡R,選項B正確；對于復(fù)數(shù)

za~\~b\6r十。z

Z,例如z=i,則|z|2=l,z2=-1,不滿足|z|2=z2,選項C不正確；對于復(fù)數(shù)Z],Z2,例如Z]

=1,Z2=i,滿足z?+z鄉(xiāng)=0但是不滿足Z1=Z2=O,選項D不正確.

1.答案：CD

析：在AABC中，c=4,ZB=60°,

4X坐r-

品=會,得〃=號瞿=號=煞?由于°<C￥，可得sinCC(?！?，即有Q2小

b=4,則匕=c,即B=C=60。，ZXABC為等邊三角形，成立；

b=5,可得sinC=￥e錯誤！，且b>c,即8>C,

為30。<(<60。,即有60°VA<90°,成立.

2.答案：ABC

析：如圖，過點P作4i〃a,b\//b,則相交直線ai,"確定一平面a.ai與加夾角為50。，

直線方即/與G,6所成角均為8角，

圖/繞尸轉(zhuǎn)動保持與"I,歷夾角相等，

/在a內(nèi)為a,8夾角平分線時，。最小為25。，

以AB正確，當(dāng)9為40。和60。時直線/都有2條，所以C正確，D錯.

3.答案：y

序+d—CT\\

析：因為COSA=-------------,所以〃CCOSA=/(Z?2+C2——〃2)?同理,1CCOS5=](。2+/——/?),abcos

?16]

C=2(ci2+b2—c2).所以bccosA+accosB+abcosC=2(^2+b2+c2)=~.

4.答案：12

析：如圖所示，。4=08,AC=1,

C.LOA,BC=|xiO=5.

水深OC=x尺，則葭長為x+1尺.

RtZXOBC中,?+52=(X+1)2,

得x=12.

水深。。=12尺.

5.答案：1

2019

占所*丁i

42019,..2019

析：由魏意，e=cos~7T+isin4JL=

3兀.3兀yf2y[2.

os彳十ismq-=—2十2L

以團(tuán)=錯誤！=1.

3

6.答案：]

析：如圖，過A作A。，明垂足是O,過。作OOLBC,交BC于D,連接AD,

AD1BC,J平面ABC與平面a所成的二面角為乙4。。=小

ABO是直線A8與平面。所成角，即NA8O=],設(shè)AO=小，

△ABC中，NA8C=W，BD=^AB,AD=^AB,A0=^AD=^AB,

7.解析：（1）因為由正弦定理得卷=備，

以asinB=6sinA,

2cosC=1,cosC-21

7t

0<C<7t,C—y

2）由余弦定理得（r=a2+b2—ab,

4+/=2（4+〃-26）,解得b=2.

SAABC=3"加inC=：X2X2Xsin尹小.

8.解析：（1）證明：如圖，設(shè)K是5c的中點，連接KMKM,分別在△ABC,△BICIC中

利用三角形中位線定理可得：

K//AC,KN//CC\,

MKCNK=K,平面MNK〃平面AAiGC,

MNU平面MNK,：.MN//平面A\ACC\.

2）VZCAB=90°,AB=2,BC=鄧,

AC^BCZ-AB1=\,則SMBC=1,

ABC-4BIG是直棱柱，高為AAi=2,

棱柱A8C-A山iG的體積為VABC-A\B\C\=2.

VQ-ABA?^VABC-A?B,Ci=1.

9.解析：⑴函數(shù)於）=sinx-sin錯誤!一錯誤!（xGR）.

以/錯誤!=錯誤！X錯誤!一錯誤!=錯誤!<x）=sinA錯誤!一錯誤！

1—CCS9jr-八11

—「+竽sin2x—；=；sin錯誤！，所以函數(shù)段）的最小正周期為兀

2）設(shè)銳角△A8C的三邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,且摩誤!=錯誤!，

以sin錯誤！=錯誤！，解得人=錯誤!.

用正弦定理-4=3=/不，

smAsinBsinC

得6=錯誤!sin8,c=錯誤!sin錯誤!，

以6+c=錯誤!錯誤!=4sin錯誤!，由于錯誤！，解得錯誤!<B<錯誤!，所以B+錯誤！G錯誤!,

所以6+ce（2小，4].

0.解析：（1）證明：因為P,。分別為AE,AB的中點，

以PQ//EB.又DC〃EB,因此PQ〃OC,

「如平面AC。，從而PQ〃平面ACD

2）如圖，連接CQ,DP,因為。為4B的中點，且4c=BC,所以

為DCJ■平面ABC,EB//DC,

以E8_L平面ABC,因此CQ_LE8.

CQ_L平面ABE.

（1）有尸Q〃OC,又PQ=3EB=DC,

以四邊形CQPO為平行四邊形，故DP/ICQ.

此。P_L平面ABE,ND4P為AQ和平面ABE所成的角，

RtZ\O%中，4力=小，DP=\,

inZDAP—

此AD和平面ABE所成角的正弦值為坐.

1.解析：⑴由已知得