22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì) 重難點專項練習（十大題型）（解析版）

22.1.4《二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)》分層練習考查題型一根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號1．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線（為常數(shù)）關(guān)于直線對稱．下列五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向、與y軸交點以及對稱軸的位置可判斷a、b、c的符號，由此可判斷①正確；由拋物線的對稱軸為，得到，即可判斷②；可知時和時的y值相等可判斷③正確；由圖知時二次函數(shù)有最小值，可判斷④錯誤；由拋物線的對稱軸為可得，因此，根據(jù)圖像可判斷⑤正確．【詳解】①∵拋物線的開口向上，∵拋物線與y軸交點在y軸的負半軸上，由得，，，故①正確；②拋物線的對稱軸為，，，，故②正確；③由拋物線的對稱軸為，可知時和時的y值相等．由圖知時，，∴時，．即．故③錯誤；④由圖知時二次函數(shù)有最小值，，，，故④錯誤；⑤由拋物線的對稱軸為可得，，∴，當時，．由圖知時故⑤正確．綜上所述：正確的是①②⑤，有3個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的對稱軸及頂點位置．熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，二次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與軸交于點．有下列結(jié)論：①；②若點和均在拋物線上，則；③；④．其中正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及與軸交點問題逐項分析判斷即可.【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與軸正半軸交于一點，，.，..故①正確.是關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，.在對稱軸的左邊，在對稱軸的右邊，如圖所示，

.故②正確.圖象與軸交于點，，...故③正確.，.當時，，.，，.故④不正確.綜上所述，正確的有①②③.故選：C.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以及與軸交點.3．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考一模）如圖，二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線，有下列結(jié)論：

①；②；③函數(shù)的最大值為；④當時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4 B．l C．2 D．3【答案】D【分析】由已知可得，由拋物線的對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點坐標，從而可完成解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其對稱軸為直線，∴，∴；由圖象知，拋物線開口向下，則，∴，∴，故①正確；∵，∴②正確；∵，，∴拋物線有最大值，且最大值為，故③正確；由拋物線的對稱性知，拋物線與x軸的另一個交點坐標為，結(jié)合圖象知：當時，，故④錯誤；即正確的結(jié)論有3個；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖．拋物線與x軸交于點和點，與y軸交于點C．下列說法：①；②拋物線的對稱軸為直線；③當時，；④當時，y隨x的增大而增大；⑤（m為任意實數(shù)）其中正確的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，可得，根據(jù)和點可得拋物線的對稱軸為直線，即可判斷②；推出，即可判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷③④；根據(jù)當時，拋物線有最大值，即可得到，即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線與x軸交于點和點，∴拋物線對稱軸為直線，故②正確；∴，∴，∴，故①錯誤；由函數(shù)圖象可知，當時，拋物線的函數(shù)圖象在x軸上方，∴當時，，故③正確；∵拋物線對稱軸為直線且開口向下，∴當時，y隨x的增大而減小，即當時，y隨x的增大而減小，故④錯誤；∵拋物線對稱軸為直線且開口向下，∴當時，拋物線有最大值，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有②③⑤，故選C．【點睛】本題主要考查了拋物線的圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線的性質(zhì)等等，熟練掌握拋物線的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．考查題型二一次函數(shù)與二次函圖象的綜合判斷1．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學?？计谀┖瘮?shù)與在同一直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵，∴經(jīng)過一、三象限；當時，二次函數(shù)開口向上，與y軸的交點在負半軸上，當時，二次函數(shù)開口向下，與y軸的交點在正半軸上，∴只有選項C符合題意；故選：C．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的判斷，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023·安徽六安·校考二模）已知拋物線和直線分別交于A點和B點，則拋物線的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】求出求出交點、的坐標，根據(jù)已知圖象確定，與點的橫坐標的正負，進而推斷新拋物線的圖象的開口方向，對稱軸位置，從而確定答案．【詳解】解：由，得，解得，或，拋物線和直線分別交于點和點，，的橫坐標為：，拋物線的開口向上，交點在第三象限內(nèi)，，，拋物線中，，對稱軸，此拋物線的開口向下，對稱軸在軸的左邊，符合此條件的圖象是C，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知條件確定和點橫坐標的取值．3．（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）在同一坐標系內(nèi)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】令，求出兩個函數(shù)圖象在y軸上相交于同一點，再根據(jù)拋物線開口方向向上確定出，然后確定出一次函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，從而得解．【詳解】解：時，兩個函數(shù)的函數(shù)值，所以，兩個函數(shù)圖象與y軸相交于同一點，故B、D選項錯誤；由A、C選項可知，拋物線開口方向向上，所以，，所以，一次函數(shù)經(jīng)過第一三象限，所以，A選項錯誤，C選項正確．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．4．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由二次函數(shù)的圖像得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)的圖像相比較看是否一致．【詳解】解：A、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項不合題意；B、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項符合題意；C、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項不合題意；D、由拋物線可知，，，，則，由直線可知，，，故本選項不合題意．故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)．考查題型三把y=ax2+bx+c化成頂點式1．（2023·寧夏吳忠·?？级＃佄锞€化為的形式是．【答案】【分析】利用配方法把二次函數(shù)的一般式化成頂點式即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查的是把二次函數(shù)的一般式化為頂點式，掌握“配方法化頂點式”是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京海淀·校考一模）將二次函數(shù)化成的形式，結(jié)果為．【答案】【分析】利用配方法整理即可得解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的三種形式，正確運用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）將二次函數(shù)化成的形式為．【答案】【分析】根據(jù)配方法將一般式轉(zhuǎn)化成頂點式，即可解答．【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題考查了把一般式化成頂點式，熟練運用配方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·廣東湛江·九年級校考期末）將二次函數(shù)化為的形式是．【答案】【分析】利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的三種形式的知識點，解題的關(guān)鍵是掌握配方法．考查題型四二次函數(shù)的平移1．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州白云廣雅實驗學校校考階段練習）把拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，平移后的拋物線的解析式為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移“左加右減，上加下減”可進行求解．【詳解】解：由拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，可知平移后的解析式為；故答案為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的平移是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）將拋物線先向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度所得的拋物線的解析式為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得．【詳解】解：將拋物線先向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度所得的拋物線的解析式為，即，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”．3．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點．【答案】2或4/4或2【分析】先求出拋物線向下平移1個單位長度后與的交點坐標，然后再求出新拋物線經(jīng)過原點時平移的長度．【詳解】解：拋物線向下平移1個單位長度后的解析式為，令，則，解得，，∴拋物線與的交點坐標為和，∴將拋物線向右平移2個單位或4個單位后，新拋物線經(jīng)過原點．故答案為：2或4．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移與幾何變換，利用拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象沿x軸向平移個單位，再沿y軸向平移個單位得到．【答案】右3下1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律進行求解即可．【詳解】解：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象沿軸向右平移3個單位，再沿軸向下平移1個單位得到，故答案為：右，3，下，1．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考查題型五已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸1．（2023·山東濟寧·校聯(lián)考三模）某二次函數(shù)圖象經(jīng)過，，，那么該圖象的對稱軸的解析式為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知，點和點關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸對稱，根據(jù)對稱軸，即可求得答案．【詳解】解：∵點和點關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸對稱，∴對稱軸．故答案為：．【點睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱性求二次函數(shù)的對稱軸，注意抓住圖象上點的特征，選用適當?shù)姆椒ń獯穑?．（2023春·江蘇常州·九年級?？计谀┒魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點，則．【答案】2【分析】根據(jù)題意可得二次函數(shù)的對稱軸為直線，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如果一條拋物線經(jīng)過點和，那么該拋物線的對稱軸是直線．【答案】【分析】根據(jù)的坐標，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對稱軸，即可得出．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點和，∴拋物線的對稱軸是直線，故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對稱軸，求出拋物線的對稱軸是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·貴州黔東南·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的x、y的部分對應(yīng)值如下表所示：x…012…y…04664…則該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線．【答案】【分析】根據(jù)圖表找出函數(shù)值相等時對應(yīng)的自變量即可求出對稱軸．【詳解】解：由圖表可知：時，，時，，二次函數(shù)的對稱軸為，故答案為：．【點睛】題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．考查題型六根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值1．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？茧A段練習）點均在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是．【答案】【分析】先確定拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵點在二次函數(shù)的圖象上，∴對稱軸為直線，∵，∴拋物線開口向下，∴時，y隨x的增大而減小，∵均在二次函數(shù)的圖象上，∴關(guān)于對稱軸的對稱點也在二次函數(shù)的圖象上，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）點，，均在二次函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)得到對稱軸為直線，結(jié)合，得到的對稱點，根據(jù)拋物線開口向下時，對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，結(jié)合，得到．【詳解】因為二次函數(shù)，所以對稱軸為直線，因為，所以的對稱點，根據(jù)拋物線開口向下時，對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，且，所以．故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線的對稱軸，對稱點，增減性，熟練掌握對稱性和增減性是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎獟佄锞€的對稱軸為，若點，，，請比較，，的大?。ㄓ谩?lt;”連接）【答案】【分析】先求出C關(guān)于對稱軸的對稱點，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是直線，則當時，y隨x的增大而減小，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)C關(guān)于對稱軸的對稱點為，則，解得：，∴．∵拋物線圖象的開口向上，對稱軸是直線，∴當時，y隨x的增大而減?。?，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了對二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行推理是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┰O(shè)是拋物線上的三點，則、、的大小關(guān)系為（用＜號連接）．【答案】【分析】把點的坐標分別代入可求得、、的值，比較大小可求得答案．【詳解】∵是拋物線上的三點，∴，，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握函數(shù)圖象上點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．考查題型七用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習）已知拋物線經(jīng)過三點．求這條拋物線的表達式．【答案】【分析】用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：把點，，代入得：，解得：，∴這條拋物線的解析式為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．2．（2020秋·廣東東莞·九年級東莞市光明中學?？茧A段練習）拋物線與y軸交于點．(1)求m的值；(2)判斷點是否在拋物線上，并說明理由．【答案】(1)(2)點不在拋物線上．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出m的值即可；（2）把點的坐標代入即可判斷．【詳解】（1）解：把代入得，，則m的值是．（2）解：點不在拋物線上．理由如下：把代入得，，把代入得，，所以點不在拋物線上．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線經(jīng)過點，點，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，點是拋物線的頂點，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知得出點，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）根據(jù)解析式化為頂點式求得，待定系數(shù)法求得直線的解析式，過點作軸于點，交于點，則，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，點，且．∴，即，設(shè)拋物線解析式為，將代入得，解得：，∴拋物線解析式為（2）解：∵，∴,如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，面積問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)將該拋物線向下平移n個單位，使得平移后的拋物線經(jīng)過點，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把點代入可求出b，從而得解；（2）根據(jù)拋物線向下平移n個單位，得到新拋物線的解析式，再將點代入可求出n的值．【詳解】（1）解：把點代入得：，解得，∴拋物線的解析式為：（2）拋物線向下平移n個單位后得：，把點代入得：解得：即n的值為1．【點睛】本題考查待定系數(shù)法和拋物線的平移，掌握待定系數(shù)法和拋物線的平移是解題的關(guān)鍵．考查題型八y=ax2+bx+c的最值1．（2023春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考開學考試）如圖，拋物線的圖象與x軸交于點A，，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)若當，取得最大值時，求m的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可進行求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．【詳解】（1）解：把點，代入拋物線得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：由（1）可知拋物線解析式為，則有拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，拋物線有最大值，即為；∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)經(jīng)過和．(1)求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸．(2)當時，求該二次函數(shù)的最大值和最小值．【答案】(1)；對稱軸直線(2)當時，有最大值；當時，有最小值【分析】（1）先將和分別代入求出二次函數(shù)的表達式，再根據(jù)對稱軸公式作答即可；（2）先確定開口方向，再根據(jù)對稱軸確定最大值和最小值即可．【詳解】（1）∵經(jīng)過和，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為；∴對稱軸為直線；（2）由（1）可知的開口向上，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線在內(nèi)，∴當時，有最小值；∵直線距直線最遠，∴當時，有最大值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）已知k是常數(shù)，拋物線的對稱軸是y軸，并且與x軸有兩個交點．(1)求k的值；(2)當時，函數(shù)的最大值與最小值分別為多少？【答案】(1)(2)當時，函數(shù)的最大值為0，當時，函數(shù)的最小值為【分析】（1）由對稱軸是y軸得：，解出的值，再根據(jù)與x軸有兩個交點，選擇合適的值即可．（2）開口向上，判斷出對稱軸在中，故在對稱軸處取最小值，端點處取最大值．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是y軸，∴，解得，又∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∴．（2）解：由（1）可知，拋物線的解析式為，∴拋物線的開口向上，與y軸交于，，當時，y隨x的增大而減小，∴當時，函數(shù)的最大值為0，當時，函數(shù)的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)釋解題關(guān)鍵．4．（2023秋·四川南充·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，開口向上．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)此二次函數(shù)有最______值（填“大”或“小”）為______．【答案】(1)(2)??；4【分析】（1）把點坐標代入解析式求解即可；（2）將（1）中結(jié)果化為頂點式即可求解.【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．∴，∴，∵開口向上，∴，∴二次函數(shù)的解析式為：；（2）∵，拋物線開口向上，∴二次函數(shù)有最小值為4，故答案為：??；4．【點睛】本題考查了拋物線解析式的確定，一般式與頂點式的轉(zhuǎn)化，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.考查題型九利用二次函數(shù)對稱性求最短路徑1．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點過點且平行于軸的直線交拋物線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）求的面積；（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使得的周長最小？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）6；（3）存在，，理由見解析．【分析】（1）將點代入函數(shù)解析式求解即可確定函數(shù)解析式；（2）當時，，可確定點B的坐標，然后由對稱軸及軸，可得點C的坐標，據(jù)此得出，，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)B、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，可得點P為直線AC與拋物線對稱軸的交點，此時，的周長最小，設(shè)直線AC的解析式為，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，然后聯(lián)合對稱軸求解即可確定點P的坐標．【詳解】解：（1）將代入中，得：，解得：拋物線的解析式：；當時，，∴，由（1）知，拋物線的對稱軸：，∵軸，∴點、關(guān)于對稱軸對稱，則，，，；（3）如圖所示：點B、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴點P為直線AC與拋物線對稱軸的交點，此時，的周長最小，設(shè)直線AC的解析式為，代入、，得：，解得，直線：；點P為直線AC與拋物線對稱軸的交點，∴，解得，．【點睛】題目主要考查利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點及二次函數(shù)的基本性質(zhì)等，熟練掌握運用二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．（1）求點A，點B和點C的坐標；（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求PB+PC的值最小時的點P的坐標．【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，）【分析】（1）利用二次函數(shù)圖像與x軸交點時，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B兩點坐標，圖像與y軸相交，x=0，帶入可以求出y值，即可求出C點坐標；（2）有題可知本問考查的是“兩定一動”，故需要利用“將軍飲馬”的方法進行解題，B點關(guān)于對稱軸的對稱點為A點，連接AC，AC與對稱軸的交點即為P點，求出AC所在直線解析式，之后求出與對稱軸交點即為P點坐標．【詳解】解：（1）由y＝0，得x2+x-2＝0解得x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），由x＝0，得y＝-2，∴C（0，-2）．（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P．設(shè)直線AC為y＝kx+b，則﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．對稱軸為x＝，當x＝時，y＝-2＝，∴P（，）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)，以及“兩定一動”的動點問題，熟練掌握二次函數(shù)中的綜合運用是解題的關(guān)鍵．3．如圖是拋物線的一部分，該部分與軸、軸分別交于點(1)求的值；(2)若點是該拋物線的對稱軸上的點，則的最小值為___________，此時點的坐標為___________．【答案】(1)(2)，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】（1）解：∵與軸、軸分別交于點∴，解得，∴；（2）解：∵，∴對稱軸為直線，∵,設(shè)關(guān)于對稱的點為，連接，∴，，∴，∴當三點共線時最小，最小值為，∵，設(shè)經(jīng)過的直線解析式為，∴，解得，∴，令，解得，即．故答案為：，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)拋物線的對稱性求線段和的最小值，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)點是拋物線對稱軸上的一個動點，當?shù)闹底钚r，點的坐標為___________；(3)拋物線對稱軸上是否存在一點，使得﹖若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，再把代入求出的值即可；（2）連接交于點，點即為所求，設(shè)，代入直線即可求解；（3）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，求出拋物線的對稱軸及頂點坐標，設(shè)出點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點的坐標，所以可得出的面積，進而得出點的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵過點，∴，解得，∴拋物線的解析式為，即；（2）如圖，連接交于點，連接∵點是拋物線對稱軸上的一個動點，，∴對稱軸為，根據(jù)對稱軸可得關(guān)于對稱軸,∴，當三點共線時，最小，∵，，設(shè)直線的解析式為，,解得,∴直線的解析式為，設(shè)，當時，，∴,∴當?shù)闹底钚r，點的坐標為;（3）解：∵拋物線的解析式為；∴其對稱軸，頂點的坐標為，∵點在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)，∵，，∴設(shè)過點、的直線解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∴直線與軸的交點的坐標為，∴，∴，∵，∴，解得，當點在點上方時，，解得，∴此時；當點在點下方時，，解得，∴此時，綜上所述，可得：或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求二次函數(shù)解析式、根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求求線段和的最小值，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵在明確題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解答問題．考查題型十二次函數(shù)綜合應(yīng)用1．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸的兩個交點分別為點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點在該拋物線上，當?shù)拿娣e為時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）將點，的坐標分別代入，求出，；（2）以為底，求出的高，即點的縱坐標的絕對值，進而將的縱坐標代入拋物線的表達式，求解其橫坐標．【詳解】（1）解：點，在拋物線上，，解得，拋物線的解析式為．（2）解：，，．又，，即．①令，該方程無解，不符合題意；②令，解得，．或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與三角形面積的綜合，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線經(jīng)過點，，頂點為C．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)求以A、B、C為頂點的的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）過點C作軸于點D，先求出點C的坐標，再根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：把點，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點C作軸于點D，∵，∴點C的坐標為，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東濟南·九年級?？茧A段練習）如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點，與x軸交于．(1)求此二次函數(shù)的表達式；(2)在拋物線上有一點P，滿足，求P點的坐標．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）把、代入解析式，可得出二次函數(shù)解析式；（2）利用三角形的面積可得出P點的縱坐標，再代入二次函數(shù)解析式可求出點P的橫坐標，即可得出點P的坐標．【詳解】（1）將、代入解析式得，解得，，所以二次函數(shù)解析式：；（2）∵，，∴P點的縱坐標為：，當，解得：，此時當時，解得：，此時或∴點P的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式與圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是正確求出二次函數(shù)的表達式．4．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)連接，，拋物線上是否存在一點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）把，兩點代入解析式即可求解；（2）先求出C點坐標，再根據(jù)求出，代入解析式即可求解．【詳解】（1）把，兩點代入，得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）當時，，所以，∴，∵，∴，∴，∴或，把代入拋物線表達式得，解得（舍去）或2；把代入拋物線表達式得，解得，綜述所述，點的坐標為或或．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法及三角形的面積公式的應(yīng)用．1．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，其中點的橫坐標為，點的橫坐標為，拋物線過點．過作軸交拋物線另一點為點．以長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；(2)將矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應(yīng)點落在拋物線上．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；②直線交拋物線于點，交拋物線于點．當點為線段的中點時，求的值；③拋物線與邊分別相交于點，點在拋物線的對稱軸同側(cè)，當時，求點的坐標．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）根據(jù)題意得出點，,待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)得出，根據(jù)點的對應(yīng)點落在拋物線上，可得，進而即可求解；②根據(jù)題意得出，求得中點坐標，根據(jù)題意即可求解；③連接，過點作于點，勾股定理求得，設(shè)點的坐標為，則，將代入，求得，求得，進而根據(jù)落在拋物線上，將代入，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，點的橫坐標為，點的橫坐標為，代入拋物線∴當時，，則，當時，，則,將點，,代入拋物線，∴解得：∴拋物線的解析式為；（2）①解：∵軸交拋物線另一點為點，當時，，∴，∵矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應(yīng)點落在拋物線上∴，整理得∵∴∴；②如圖所示，

∵,∴,∵∴，由①可得，∴,的橫坐標為，分別代入，∴，∴∴的中點坐標為∵點為線段的中點，∴解得：或（大于4，舍去）③如圖所示，連接，過點作于點，

則，∵∴，設(shè)點的坐標為，則，將代入，，解得：，當，∴，將代入解得：，∴或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點A，與軸交于點，拋物線經(jīng)過A、兩點，與軸的另一交點為點．

(1)填空：___________，___________；(2)點為直線上方拋物線上一動點．①連接、，設(shè)直線交線段于點，求的最大值；②過點作于點，連接，是否存在點，使得中的，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①最大值為；②【分析】（1）根據(jù)線求出點A，，代入到拋物線即可求解；（2）①過作軸交于點，過作軸交于點，根據(jù)拋物線和直線解析式可求出點B、N的坐標，從而求出，再表示出點D、M的坐標，根據(jù)即可求出；②過點作軸，交y軸于點，交直線于點G，根據(jù)條件證明，利用求解即可．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點A，與軸交于點，當時，，當時，，∴，，把，代入拋物線得：，解得；（2）①解：過作軸交于點，過作軸交于點，如圖，

由（1）得：拋物線解析式為，令，解得：，，∴，在中，令，得，∴，，設(shè)，則，∴，∵軸，軸，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴當時，取最大值，最大值為；②存在點，使得中的，過點作軸，交y軸于點，交直線于點G，如圖，

∵軸，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，設(shè)，∴，，∵，，∴，，∴，∴，解得：，∴；【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識是關(guān)鍵．3．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設(shè)的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個