考點(diǎn)10 二次函數(shù)中6大特殊圖形的存在性問題-解析版

考點(diǎn)10二次函數(shù)中6大特殊圖形的存在性問題1等腰三角形的存在性解決方法畫弧法：以等腰三角形確定邊兩端點(diǎn)分別為圓心，確定邊長度為半徑畫弧，與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，另外確定邊的垂直平分線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。2直角三角形的存在性的解決方法①運(yùn)用勾股定理：a2+b2=c2②運(yùn)用剝離法（參照?qǐng)A證明玻璃法的運(yùn)用）3平行四邊形的存在性問題的解決方法利用線段長解析式=定值長（平行四邊形對(duì)邊平行且相等）列方程求值線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為。2.平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD。即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等。4相似三角形的存在性問題的解決方法相似三角形存在性問題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定的對(duì)應(yīng)角；①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)；②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來推導(dǎo)邊的大?。虎谌魞蓚€(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后用相似來列方程求解。5菱形的存在性問題的解決方法菱形依據(jù)，有一組鄰邊相等的平行四邊是是菱形。對(duì)比于平行四邊形的判定，還有鄰邊相等條件，因此，相比較于平行四邊形(AC作為對(duì)角線），坐標(biāo)系中還需要滿足以下三個(gè)等式：X解題方法：(在平行四邊形的基礎(chǔ)上增加對(duì)角線垂直或者鄰邊相等)(1)選定點(diǎn)、半動(dòng)點(diǎn)組成的三角形，三邊作為對(duì)角線再分類討論；(2)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程：；（AC為對(duì)角線時(shí)）(3)對(duì)角線垂直：或者鄰邊相等：X6矩形的存在性問題的解決方法1兩點(diǎn)間坐標(biāo)公式;2平行四邊形頂點(diǎn)公式;3矩形的判別：對(duì)角線相等的平行四邊形平面四點(diǎn)坐標(biāo)A（XA，YA），B（XB，YB），C（XC由以上得到矩形判別公式：（以AC，BD為對(duì)角線為例）X二、公式解讀：上式中①和②式子是判定平行四邊形依據(jù)，③式為對(duì)角線相等，從而判定為矩形。由上可以知矩形最多可以有三個(gè)未知量，帶入以上方程組可以得到一個(gè)三元一次方程組，可解。由三個(gè)未知量，則可以判別出矩形至少有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，最多可以有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)。兩個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)+一個(gè)半動(dòng)點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)。注釋：（半動(dòng)點(diǎn)是橫縱坐標(biāo)其中一個(gè)已知，一個(gè)未知）求解方法：確定半動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)----分類討論-----列出公式求解。考點(diǎn)1等腰三角形的存在性解決方法考點(diǎn)2直角三角形的存在性的解決方法考點(diǎn)3平行四邊形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)4相似三角形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)5菱形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)6矩形的存在性問題的解決方法考點(diǎn)1等腰三角形的存在性解決方法1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）拋物線y＝ax2+bx+3過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），頂點(diǎn)為C．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)D，連接AC，若△DAC是等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)，（1，4）；(2)（4，0）或或【分析】（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解；（2）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)D（m，0），根據(jù)勾股定理可得，，然后分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∵，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）；（2）解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)D（m，0），∵A（-1，0），C（1，4），∴EA=2，EC=4，DE=m-1，，∴，，當(dāng)AD=CD時(shí)，，解得：m=4；當(dāng)AC=CD時(shí)，，解得：m=3（舍去）或m=-1（舍去），當(dāng)AC=AD時(shí)，，解得：或綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0）或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，并且與y軸交于點(diǎn)C．(1)求此拋物線的解析式；(2)直線BC的解析式為；(3)若點(diǎn)M是第一象限的拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)M作x軸的垂線交BC于點(diǎn)N，設(shè)MN的長為h，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式及h的最大值；(4)在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)證明；如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)h與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：，h的最大值為4(4)在x軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)或，使以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，理由見解析【分析】（1）把A(﹣1，0)，B(4，0)代入拋物線解析式，即可求解；（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，即可求解；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)，點(diǎn)，從而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（4）分三種情況：當(dāng)PC=BC時(shí)，當(dāng)PB=BC時(shí)，當(dāng)PC=PB時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)，設(shè)直線BC的解析式為，把點(diǎn)B(4，0)，代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為；（3）解：如圖，∵點(diǎn)M是第一象限的拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為t，∴點(diǎn)，∵M(jìn)N⊥x軸，∴點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，h的值最大，最大值為4；（4）解：在x軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P，使以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，理由如下：當(dāng)PC=BC時(shí)，∵OC⊥BP，∴OP=OB，∵點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)；當(dāng)PB=BC時(shí)，∵B(4，0)，，∴OC=4，OB=4，∴，∴，∵點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)；當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P位于BC的垂直平分線上，∵OB=OC=4，∴點(diǎn)O位于BC的垂直平分線上，∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意，舍去；綜上所述，在x軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)或，使以B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·天津·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)用配方法求該拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷△ABC的形狀，并說明理由；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)O、點(diǎn)C、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形構(gòu)成等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0）(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2），為等腰直角三角形，理由見解析(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），，或【分析】（1）把代入到得，，解得，，又因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，即可得；（2）配方得，即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2），根據(jù)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)得，，，則AC=BC，又因?yàn)椋?，即可得，從而得出是等腰直角三角形；?）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，OC=OP，為等腰三角形，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，2），當(dāng)時(shí)，，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在OC的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)P交x軸于點(diǎn)D，在中，根據(jù)勾股定理得，，解得，即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上，即可得．【詳解】（1）解：把代入到得，解得，，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（-1，0），B（3，0）．（2）解：===∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-2），為等腰直角三角形，理由如下：∵A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），∴，，，∴AC=BC，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，OC=OP，為等腰三角形，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在OC的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)P交x軸于點(diǎn)D，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），，或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與三角形的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．4．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)是軸上一點(diǎn)，且是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，或，．【分析】（1）將代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）分兩種情形討論，①若，②若，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過，，得：拋物線的解析式：（2）由拋物線解析式得：，，，由勾股定理得：，若是以為腰的等腰三角形，且在軸的正半軸，①若，則，②若，則，，，綜上所述：，【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2直角三角形的存在性的解決方法5．（2022秋·四川廣安·九年級(jí)校考期中）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線，為y軸上一點(diǎn)，直線與拋物線交于另一點(diǎn)D．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)試在線段下方的拋物線上求一點(diǎn)E，使得的面積最大，并求出最大面積；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得是直角三角形？如果存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)．(2)，的面積S有最大值．(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法，建立方程組求解；（2）運(yùn)用待定系數(shù)法，確定直線解析式為，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，求解得，過點(diǎn)E作軸，交于點(diǎn)G，設(shè)，的面積：，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得的面積有最大值，．（3）存在．設(shè)點(diǎn)，則；；；分情況討論：①若，②若，③若，根據(jù)勾股定理，建立方程求解得點(diǎn)F的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：由題意，，解得∴．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則解得∴直線解析式為．聯(lián)立直線與拋物線解析式，得，解得，∴過點(diǎn)E作軸，交于點(diǎn)G，設(shè)，，則的面積∴∴當(dāng)時(shí)，，的面積有最大值．此時(shí)，，∴．

（3）解：存在．設(shè)點(diǎn)，則；；；①若，則，∴，解得，∴；

②若，則，∴，解得，∴；

③若，則，∴，解得，∴或

綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，函數(shù)圖象交點(diǎn)與方程組的聯(lián)系，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東潮州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，且的面積為5．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)在直線的圖象下方，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)為直角三角形時(shí)，直接寫出的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】1）先確定直線的解析式，再利用三角形的面積，確定點(diǎn)的D的坐標(biāo)，即可確定拋物線的解析式．（2）設(shè)，直線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，且解析式為，確定方程組，確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，計(jì)算，根據(jù)構(gòu)造新的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的最值計(jì)算即可．（3）分三種情況求解，比較大小即可．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，∴，，，解得，∴直線解析式為，設(shè)，∵的面積為5，∴，∴，解得，∴，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）如上圖，∵拋物線的解析式為，∴設(shè)，直線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，且解析式為，根據(jù)題意，得，解得，故解析式為，∴，∴，∴，∵，∴有最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，∴．（3）如圖，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；故；∵，，，設(shè)∴，∴，解得，故；當(dāng)時(shí)，∵，，設(shè)，

∴，∴，解得，故；∵，∴，故當(dāng)為直角三角形時(shí)，的最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，分類思想，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．7．（2021春·廣東梅州·九年級(jí)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過，，與x軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；(3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為(2)(3)存在，,,【分析】（1）直接把點(diǎn)，代入求出、的值即可得出拋物線的解析式；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)；得出，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后分三種情況討論：①；②；③．由勾股定理得到關(guān)于的方程，解方程求出的值即可．【詳解】（1）解：將，代入得解得

∴二次函數(shù)的解析式為（2）將代入得，解得∴點(diǎn)∵點(diǎn)直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖所示：

則由，得直線的解析式為：∴設(shè)，則點(diǎn)∴∴∵，將代入可得最大面積為；（3）解：存在，，，，，對(duì)稱軸是直線．，，．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分三種情況：①如果，那么，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如果，那么，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；③如果，那么，則，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．綜上所述，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)該拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于直線下方，連接、．①在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，若為直角三角形，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)①或；②或．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，，先根據(jù)拋物線和直線的解析式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用面積公式構(gòu)造方程求解即可；②分與兩種情況，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得，∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；（2）解：①過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，，

∵拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，，，∵，的面積為，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，或，；②設(shè)，，由①得，，，，∴，，，∵軸軸，∴是以為直角的直角三角形，∴是銳角，∵點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于直線下方，∴在的內(nèi)部，即,∴是銳角，即是不存在的情形，

當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴或，解得（舍去）或（舍去）或（舍去），當(dāng)時(shí)，，∴，∴∴（舍去）或，綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，勾股定理，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握勾股定理及數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3平行四邊形的存在性問題的解決方法9．（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D．連接．

(1)求拋物線的解析式：(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，或或(3)或或或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況：以C為頂點(diǎn)，即；以D為頂點(diǎn)，即，利用勾股定理及等腰三角形的定義建立方程即可完成；（3）分三種情況：當(dāng)是對(duì)角線時(shí)；當(dāng)是對(duì)角線時(shí)；當(dāng)是對(duì)角線時(shí)；分別設(shè)點(diǎn)E與F的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，∴，解得：，∴所求拋物線解析式為；（2）解：存在由拋物線解析式知，其對(duì)稱軸為直線，，設(shè)，則，，，①以C為頂點(diǎn)，即時(shí)；則，解得：或（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)，②以D為頂點(diǎn)，即時(shí)，則，解得：，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；（3）解：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，①當(dāng)是對(duì)角線時(shí)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：或（舍去），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)；②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為或；③當(dāng)是對(duì)角線時(shí)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：或（舍去），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)；綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理等知識(shí)，本題有一定的綜合性，注意分類討論．10．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中中，已知拋物線L：和線段，其中點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線L與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線L的頂點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)Q在拋物線L上，且與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接，求證：為等腰直角三角形；(3)在（2）的條件下，射線交x軸于點(diǎn)F，連接，四邊形是否能構(gòu)成平行四邊形？如果能，請(qǐng)求m的值；如果不能，說明理由；(4)若拋物線L與線段只有一個(gè)交點(diǎn)．請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍________．【答案】(1)(2)見解析(3)能構(gòu)成平行四邊形，(4)或【分析】（1）設(shè)的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入解析式計(jì)算即可；（2）分別求出的坐標(biāo)即可證明；（3）利用平行四邊對(duì)邊平行且相等，結(jié)合平移求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)F在x軸上計(jì)算即可；（4）先求出直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，再求出直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，分別經(jīng)過，點(diǎn)的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)的解析式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入解析式得，，解得∴直線的解析式為（2）∴頂點(diǎn)當(dāng)時(shí)，∴頂點(diǎn)∵C、Q都在拋物線上，且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∴，則∴∴，且∴∴為等腰直角三角形；（3）四邊形能構(gòu)成平行四邊形．理由如下：∵，，∴向右平移5個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度得到，∴當(dāng)向右平移5個(gè)單位長度，再向上平移5個(gè)單位長度得到時(shí)，四邊形是平行四邊形，∵F在x軸上，∴；（4）聯(lián)立，整理得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為，在線段上；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)拋物線過時(shí)，，解得，此時(shí)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，都在線段上；當(dāng)拋物線過時(shí)，，解得，此時(shí)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，只有一個(gè)點(diǎn)在線段上；綜上所述，拋物線L與線段只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．11．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知拋物線過點(diǎn)，，，其頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)N，E為直線AC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作交拋物線于點(diǎn)F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或(3)能，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）先求出的垂直平分線的表達(dá)式，再聯(lián)立線段垂直平分線和拋物線的表達(dá)式，得到關(guān)于的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，②當(dāng)點(diǎn)在線段（或）延長線上時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可由得關(guān)于的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．如圖，設(shè)為線段的中點(diǎn)，∵，∴直線為線段的垂直平分線，直線與拋物線必有兩個(gè)交點(diǎn)，且都是滿足條件的點(diǎn)．∵，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)的解析式為，將點(diǎn)代入得，，即直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．（3）能，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．將配方，得，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由，得對(duì)稱軸為，∵，，∴直線的方程為，聯(lián)立，得，點(diǎn)在直線上，設(shè)，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)上方，則，∵，∴，解得或（舍），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)在線段（或）延長線上時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)下方，則，∵，∴，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，綜上所述：滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用線段垂直平分線的性質(zhì)；解（3）的關(guān)鍵是平行四邊形的性質(zhì)得出關(guān)于的方程，要分類討論，以防遺漏．12．（2023秋·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，試探究為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；(3)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可得到結(jié)論；（2）如圖所示：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，列方程即可得到結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程求得，（不合題意，舍去），②當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理列方程求得：，，于是得到結(jié)論．【詳解】（1），令，得：，解得：，，令得，，∴，，．（2）當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴點(diǎn)，，直線為，由題可得，，則，解得，（舍去），因此當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．（3）當(dāng)時(shí)，有，即解得：，（舍去），∴有；當(dāng)時(shí)，有，即解得：，，∴有，；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，方程思想和分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．考點(diǎn)4相似三角形的存在性問題的解決方法13．（2021·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線W與x軸交于A(1，0)，M(﹣3，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B(0，3)，拋物線W關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形為拋物線L．(1)求拋物線W的表達(dá)式；(2)如果E是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，D是拋物線L的頂點(diǎn)，那么在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAD與△EBO是相似三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3，過程見解析；(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0），過程見解析．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出W的表達(dá)式；（2）根據(jù)（1）得出點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)為（m，0），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出m即可得出P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線W與x軸交于A（1，0），M（﹣3，0）兩點(diǎn)，∴設(shè)y＝a（x﹣1）（x+3），代入點(diǎn)B（0，3），得3＝a×（﹣1）×3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；（2）解：存在符合條件的P點(diǎn)，如下圖，求解過程如下：由（1）知W的頂點(diǎn)為（﹣1，4），得L的頂點(diǎn)D（1，4），∵E是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，A（1，0），∴E（﹣1，0），綜上可知，OE=1，BO=3，AD=4，設(shè)P（m，0），則∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=，若△PAD∽△EBO，則，則，解得m＝或m＝，∴P1（，0）或P2（，0），若△DPA∽△EBO，則，則，解得m＝13或﹣11，∴P3（﹣11，0）或P4（13，0），綜上，P的坐標(biāo)為P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是要會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，牢記相似三角形的性質(zhì)．14．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)和點(diǎn)，連接，線段上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作的平行線交直線于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）移動(dòng)點(diǎn)P，求線段的最大值；（3）如圖2，過點(diǎn)E作y軸的平行線交于點(diǎn)F，連接，若以點(diǎn)C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和是相似三角形，求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為：；（2）ED最大值為；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）或（，0）．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）先待定系數(shù)法求BC的函數(shù)解析式為：，過點(diǎn)E作EF∥y軸交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G，證明△DFG～△BCO，再證△EDG∽△CAO，則DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要線段DE的最大，只要求EF的最大值．設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（e，），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（e，），然后表示出EF，結(jié)合最值的性質(zhì)，即可得到答案；（3）△CPD與△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分兩種情況討論：①△DPC∽△DEF，易得P與O重合，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）；②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，過點(diǎn)B作BQ⊥CB交CP于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QM⊥BO于點(diǎn)M，在Rt△CBQ中．，證明△OCB∽△MBQ，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，），用待定系數(shù)法求直線CQ的解析式為：y=+2，當(dāng)y=0時(shí)，x=，即得點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）．【詳解】解：（1）把點(diǎn)A（-1，0）點(diǎn)B（3，0）和點(diǎn)C（0，2）代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c，得，，解得，，∴二次函數(shù)的解析式為：；（2）設(shè)BC的函數(shù)解析式為：y=mx+n，把點(diǎn)C（0，2）和B（3，0）代入，得，，解得，，∴BC的函數(shù)解析式為：，過點(diǎn)E作EF∥y軸交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G，∴∠GFD=∠BCO，∵∠BOC=∠DGF，∴△DFG～△BCO，∴，∵AC∥EP，DG∥AO，∴∠GDE=∠OAC，∵∠COA=∠EGD=90°，∴△EDG∽△CAO，∴，設(shè)GF=2k，則DG=3k，EG=6k，∴ED=，∴ED=EF，要線段DE的最大，只要求EF的最大值．設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（e，），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（e，），∴EF===；當(dāng)時(shí)，EF最大=，∴ED最大=EF=；（3）∵△CPD與△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分兩種情況討論：①△DPC∽△DEF，∴點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，∠PCD=∠EFD，∴CP∥EF，即P與O重合，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）；②△DCP∽△DEF，∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴∠DEF=∠PCD，∵∠DEF=∠ACO，∴∠DCP=∠ACO，∴tan∠DCP=tan∠ACO=；過點(diǎn)B作BQ⊥CB交CP于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QM⊥BO于點(diǎn)M，在Rt△CBQ中，，∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°，∴∠MBQ=∠OCB，∵∠COB=∠BMQ，∴△OCB∽△MBQ，∴，∴BM=OC=1，MQ=BO=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，），設(shè)CQ的關(guān)系為：，解得：，∴直線CQ的解析式為：，當(dāng)y=0時(shí)，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0），綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）或（，0）；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)待定系數(shù)法求關(guān)系式，三角形相似的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，熟練運(yùn)用化斜為直的解題策略，15．（2023春·海南?？凇ぞ拍昙?jí)海口市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)在第二象限的拋物線上．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，作交y軸于點(diǎn)F．①求出四邊形的周長l與m的函數(shù)表達(dá)式，并求l的最大值；②當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③是否存在點(diǎn)P，使得以P、E、C為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①，②；③存在，或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求出，再根據(jù)，利用平行線分線段成比例求出，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出l關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；②若四邊形是菱形，則，據(jù)此得出方程，解方程可得答案；③分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，可得，據(jù)此得出方程，解方程求出t的值即可；當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出t的值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，∴，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：①設(shè)，代入、得：，解得：，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，l的最大值為；②要使四邊形是菱形，則有，∴，整理得，解得，（舍去），∴當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；③存在，分兩種情況討論：（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)軸．∴，即，解得，（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得，（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Р作軸交直線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求m的值；(3)當(dāng)Р點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在y軸上是否存在點(diǎn)，使得以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)Р與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng))，若存在，直接寫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)或或(3)存在，，或，或，或，【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分，三種請(qǐng)況討論求解即可；（3）分點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)，以及分，，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)和，設(shè)，把，代入得：，解得：，∴；設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線的解析式為：；（2）∵點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Р作軸交直線于點(diǎn)M，∴，∵，∴，∵為等腰三角形，①當(dāng)時(shí)：，解得：（負(fù)值已舍去）；②當(dāng)時(shí)：，解得：（舍去）或；③當(dāng)時(shí)：，解得：；綜上：或或；（3）存在；∵點(diǎn)Р與點(diǎn)C相對(duì)應(yīng)∴或；①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，∵，，，∴，，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，

∴，∴，即：，解得：（負(fù)值已舍掉）；∴，∴，∴，即：，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，在點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)作軸，則：，

∴，，∴，即：，解得：（不合題意，舍去）；當(dāng)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖，

則：，∴，即：，解得：（負(fù)值已舍去），且滿足分式方程；∴，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)：則：，，當(dāng)，，

∴，∴，即：，解得：（負(fù)值已舍掉）；∴，∴，∴，即：，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，

過點(diǎn)作軸，則：，∴，∴，，∴，即：，解得：（負(fù)值已舍去），且滿足分式方程；∴，；綜上：，或，或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5菱形的存在性問題的解決方法17．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式；(2)將拋物線L向右平移3個(gè)單位長度得到新的拋物線，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，試判斷在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)，，根據(jù)題意分兩種情況討論：當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，或；當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，或，注意取舍．【詳解】（1）將代入中，得解得∴拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖，∵拋物線，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，在中，令，可得，∴．∵，∴．①當(dāng)時(shí)，，解得，∴或，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，∴在直線上，不合題意，需舍去，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為;②當(dāng)時(shí)，，解得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．綜上，在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．18．（2023·陜西咸陽·校考二模）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，軸交所在直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）由可得，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，令，即可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分兩種情況：①當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)為菱形的一條邊時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：，，，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：存在，、，，，設(shè)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，，解得，所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，則，①當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖1所示．

，四邊形是菱形，，菱形為正方形，，，解得或0（舍去）．，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)為菱形的一條邊時(shí)，如圖2所示．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，四邊形是菱形，，，，，，解得，當(dāng)為菱形的一條邊時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上可知，存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．19．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，直線與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．將直線沿射線方向向下平移n個(gè)單位，平移后的直線與直線交于點(diǎn)F，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．

(1)求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的解析式；(2)當(dāng)是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求出n的值；(3)直線上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；直線BC的解析式為；直線AC的解析式為(2)(3)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）分別求出、、的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（2）先求平移后的直線解析式為，則，再由勾股定理可得方程，求出或（舍；（3）先求，，當(dāng)、為鄰邊時(shí)，與為菱形的對(duì)角線，軸，可得，，再將點(diǎn)代入直線的解析式中求出的值，即可求；當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，此時(shí)，，再將點(diǎn)代入直線的解析式中求出的值，即可求．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得或，，，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為；（2），拋物線的對(duì)稱軸為直線，，平移后的直線解析式為，，，，，是以為斜邊的直角三角形，，解得或（舍；（3）存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：當(dāng)時(shí)，解得，，，當(dāng)、為鄰邊時(shí)，與為菱形的對(duì)角線，，軸，，，，解得，；當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，，，，，解得，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直線平移的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·山西長治·九年級(jí)校考階段練習(xí)）綜合與探究：圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)），若，P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，作于點(diǎn)F．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及二次函數(shù)的表達(dá)式．(2)當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，過點(diǎn)P作的平行線．交線段于點(diǎn)M，在直線上是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】(1)根據(jù)直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，確定從而確定，結(jié)合確定，選擇方式求解析式即可．(2)設(shè)，結(jié)合直線得到，確定，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，用表示周長，借以構(gòu)造二次函數(shù)，用函數(shù)思想求最值即可．(3)根據(jù)菱形的定義，分點(diǎn)N在直線上部和下部兩種情形，運(yùn)用待定系數(shù)法和平移思想求解即可．【詳解】（1）∵直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，故拋物線的解析式為．（2）∵拋物線的解析式為，直線，∴設(shè)，則，∴，∵直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，∴，∴，∴，∵軸,,∴，∴，∴的周長為∵，∴的周長有最大值，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，故點(diǎn)．（3）存在，或．理由如下：∵過點(diǎn)P作的平行線．交線段于點(diǎn)M，直線，∴設(shè)，∵∴四邊形是菱形，，∵，∴，解得∵M(jìn)在第一象限，∴，故；∵四邊形是菱形，∴，故把點(diǎn)M沿著方向平移，平移方式與點(diǎn)C向點(diǎn)A的平移方式相同即可，∵，故點(diǎn)C向左平移1個(gè)單位長度，向下平移3個(gè)單位長度，

故向左平移1個(gè)單位長度，向下平移3個(gè)單位長度即可得到符合題意的點(diǎn)N，此時(shí)點(diǎn)即；∵過點(diǎn)P作的平行線．交線段于點(diǎn)M，直線，∴設(shè)，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，解得∵M(jìn)在第一象限，∴，故；∵四邊形是菱形，∴，故把點(diǎn)M沿著方向平移，平移方式與點(diǎn)C向點(diǎn)A的平移方式相同即可，∵，故點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位長度，向上平移3個(gè)單位長度，

故向右平移1個(gè)單位長度，向上平移3個(gè)單位長度即可得到符合題意的點(diǎn)N，此時(shí)點(diǎn)，即；故存在這樣的點(diǎn)N，且或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，菱形的判定和性質(zhì)，平移思想，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線的解析式，菱形的判定和性質(zhì)，平移思想，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6矩形的存在性問題的解決方法21．（2021春·廣東汕頭·九年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接，若點(diǎn)橫坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)點(diǎn)在第一象限的拋物線上，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在動(dòng)點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或【分析】（1）將、代入列方程組求出的值，即可得到拋物線的解析式；（2）連接，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由待定系數(shù)法求值直線的解析式，由點(diǎn)在第一象限的拋物線上，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為，得，，根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，分兩種情況：四邊形是矩形，且以為一邊，作軸于點(diǎn)，可證明，則，四邊形是矩形，且以為對(duì)角線，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，可證明，得，則，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：如圖2，連接，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，在拋物線中，當(dāng)時(shí)，則，解得：，，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，，，且，，與的函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：存在，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，如圖3，四邊形是矩形，且以為一邊，作軸于點(diǎn)，

，則，，在拋物線中，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，解得（不符合題意，舍去），如圖4，四邊形是矩形，且以為對(duì)角線，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

，則，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，整理得，解得，（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)與方法，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．22．（2023·吉林白城·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b、c為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，直接寫出m的取值范圍；(3)當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，將拋物線B、P兩點(diǎn)之間的部分（包括B、P兩點(diǎn)）記為圖象G，設(shè)圖象G上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為h．①求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式；②點(diǎn)Q在此拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)時(shí)，以B、P、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，且BP為矩形的一邊，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)①；②點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）將點(diǎn)，代入之中得到關(guān)于，的方程組，解方程組求出，即可得到拋物線的解析式；（2）先求出拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，再根據(jù)拋物線的開口向下可得出當(dāng)點(diǎn)在軸下方的拋物線上時(shí)，的取值范圍；（3）①先求出拋物線的點(diǎn)為，對(duì)稱軸為，點(diǎn)，分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)，點(diǎn)為最低點(diǎn)，點(diǎn)為最高點(diǎn)，據(jù)此可求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)，此時(shí)最高點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，最低點(diǎn)為，據(jù)此可求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)，此時(shí)最高點(diǎn)為點(diǎn)，最低點(diǎn)為，據(jù)此可求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；②由①可知當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可求出點(diǎn)，再求出直線的解析式為，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)在軸上方、當(dāng)點(diǎn)在軸的下方；設(shè)點(diǎn)，利用勾股定理列式計(jì)算可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，又∵拋物線的開口向下，∴當(dāng)點(diǎn)在軸下方的拋物線上時(shí)，的取值范圍是：或；（3）解：①，∴拋物線的點(diǎn)為，對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上，且橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況討論如下：當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)為最低點(diǎn)，點(diǎn)為最高點(diǎn)，，其中，當(dāng)，此時(shí)最高點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，最低點(diǎn)為，其中；當(dāng)，此時(shí)最高點(diǎn)為點(diǎn)，最低點(diǎn)為，，其中，綜上所述：與之