高中2-3正態(tài)分布

6連續(xù)型隨機(jī)變量與正態(tài)分布

正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.

正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛

德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動?用一個釘板作賭具。

街頭請看

也許很多人不相信，玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻?，不少人總想碰碰運(yùn)氣，然而中大獎的概率實(shí)在是太低了。

下面我們在計(jì)算機(jī)上模擬這個游戲：街頭賭博高爾頓釘板試驗(yàn)

平時，我們很少有人會去關(guān)心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗(yàn)次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。高爾頓釘板試驗(yàn)這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。正態(tài)分布的定義是什么呢？對于連續(xù)型隨機(jī)變量，一般是給出它的概率密度函數(shù)。

一、正態(tài)分布的定義

若

X的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？

由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點(diǎn)。正態(tài)分布請看演示二、正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對稱”.

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達(dá)式，得出正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)呢？容易看到，f(x)≥0即整個概率密度曲線都在x軸的上方;故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達(dá)到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當(dāng)x→

∞時，f(x)→0,用求導(dǎo)的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x=μ

σ這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下再復(fù)習(xí)一下。根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖。下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態(tài)密度曲線可見，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)。請同學(xué)們想一想，實(shí)際生活中具有這種特點(diǎn)的隨機(jī)變量還有那些呢？

除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.

正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：例1

將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面5800次，認(rèn)為這枚硬幣不均勻是否合理?試說明理由.解:設(shè)X為10000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，采用正態(tài)近似,np=5000,np(1-p)=2500,若硬幣是均勻的，X~B(10000，0.5),近似正態(tài)分布N(0,1).即=1-Φ(16)≈0此概率接近于0，故認(rèn)為這枚硬幣不均勻是合理的.P(X≥5800)=1-P(X<5800)近似正態(tài)分布N(0,1).

例2

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?解:設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.再看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子:因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98184設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01.P(X<h)