新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重點(diǎn)突破訓(xùn)練第21講 雙曲線（含解析）

第21講雙曲線真題展示2022新高考一卷第21題已知點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和為0．（1）求SKIPIF1<0的斜率；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【思路分析】（1）將點(diǎn)SKIPIF1<0代入雙曲線方程得SKIPIF1<0，由題顯然直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)SKIPIF1<0，與雙曲線聯(lián)立后，根據(jù)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和為0，求解即可；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解析】（1）【解法一】(常規(guī)設(shè)法)：將點(diǎn)SKIPIF1<0代入雙曲線方程得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故雙曲線方程為SKIPIF1<0，由題顯然直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則聯(lián)立雙曲線得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)m+2k?1=0時(shí)，直線l：y=kx?2k+1過點(diǎn)A，不合題意，舍去.,故SKIPIF1<0；【解法二】解法二(平移變換+齊次化):利用坐標(biāo)平移變換SKIPIF1<0將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到SKIPIF1<0，設(shè)新坐標(biāo)系下直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，雙曲線的方程為：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則化齊次聯(lián)立，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，兩邊同時(shí)除以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程的兩根即為直線SKIPIF1<0的斜率，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.【解法三】（齊次化）：仿法一得雙曲線方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴SKIPIF1<0，故將雙曲線方程為SKIPIF1<0變形為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且設(shè)直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0式有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,（兩邊同除以SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是此方程的兩根?！郤KIPIF1<0SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0斜率為?1.（2）【解法一】(計(jì)算AP、AQ)：設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則∠PAQ=2α或2α?π，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或?SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，代入直線SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，∠PAQ=2α，得SKIPIF1<0，仿上得SKIPIF1<0，代入直線SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．【解法二】法二(計(jì)算弦長和高)設(shè)AP的傾斜角為α，則AQ的傾斜角為π?α，∠PAQ=2α或2α?π，由tan∠PAQ=2SKIPIF1<0有SKIPIF1<0QUOTE2tanα1-tan2α，解得tanα=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去，因?yàn)榇藭r(shí)直線AP//雙曲線漸近線，P不存在)，取kAP=QUOTE-2SKIPIF1<0，kAQ=SKIPIF1<0，則AP：y?1=QUOTE-2SKIPIF1<0(x?2)，AQ：y?1=SKIPIF1<0(x?2)，由SKIPIF1<0QUOTEy-1=-2x-2,x2-2y2=2,有SKIPIF1<0QUOTEx=10+423，y=-42+53，由SKIPIF1<0QUOTEy-1=2x-2,PQ：y=?x+SKIPIF1<0，PQ=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,A到PQ的距離h=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故△PAQ的面積為SKIPIF1<0h=SKIPIF1<0.【解法三】（面積坐標(biāo)公式）：仿法二得P,Q坐標(biāo)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0?！驹囶}評(píng)價(jià)】本題考查了直線與雙曲線的綜合，屬于中檔題．知識(shí)要點(diǎn)整理知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.4．焦距：兩焦點(diǎn)間的距離，表示為|F1F2|.知識(shí)點(diǎn)二雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點(diǎn)(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2知識(shí)點(diǎn)三雙曲線的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c間的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知識(shí)點(diǎn)四等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是y＝±x，離心率為eq\r(2).知識(shí)點(diǎn)五直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)，①雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)當(dāng)b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．(2)當(dāng)b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；Δ＝0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；Δ<0?直線與雙曲線有0個(gè)公共點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)六弦長公式若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).試題亮點(diǎn)圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中重要且基本的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)也是高考考查的重點(diǎn)．試題分步設(shè)問，逐步推進(jìn)，注重對(duì)基本概念、基本方法的考查，考查內(nèi)容由淺入深，層次分明，重點(diǎn)突出，能很好地引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教材，試題對(duì)考生的邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及靈活地應(yīng)用解析幾何的基本方法將問題合理轉(zhuǎn)化的能力有一定的要求.因此，試題不僅有利于高校選拔人才，也有利于中學(xué)教學(xué)創(chuàng)新，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有積極的引導(dǎo)作用.三年真題1．已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在C上，且SKIPIF1<0．過P且斜率為SKIPIF1<0的直線與過Q且斜率為SKIPIF1<0的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在SKIPIF1<0上；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析【詳解】（1）右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∵漸近線方程為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴C的方程為：SKIPIF1<0；（2）由已知得直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為零，直線SKIPIF1<0的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為零；若選①③推②，則SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，假若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，即為焦點(diǎn)SKIPIF1<0,此時(shí)由對(duì)稱性可知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，與從而SKIPIF1<0，已知不符；總之，直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為零.設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0,則條件①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，等價(jià)于SKIPIF1<0；兩漸近線的方程合并為SKIPIF1<0,聯(lián)立消去y并化簡整理得：SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0,線段中點(diǎn)為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則條件③SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0；由題意知直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0,∴由SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,代入雙曲線的方程SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0中，得：SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)：SKIPIF1<0,同理：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∴條件②SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0，綜上所述：條件①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，等價(jià)于SKIPIF1<0；條件②SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0；條件③SKIPIF1<0等價(jià)于SKIPIF1<0；選①②推③:由①②解得：SKIPIF1<0,∴③成立；選①③推②：由①③解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴②成立；選②③推①：由②③解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴①成立.2．如圖，SKIPIF1<0為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；(2)過線段SKIPIF1<0上異于O，A的任一點(diǎn)K作SKIPIF1<0的垂線，交橢圓于P，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線SKIPIF1<0上．【答案】(1)橢圓的方程為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0；(2)詳見解析.【詳解】（1）由題可設(shè)橢圓的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)M在雙曲線SKIPIF1<0上.3．如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：SKIPIF1<0．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若SKIPIF1<0，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：SKIPIF1<0，所以由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為焦點(diǎn)，長軸為SKIPIF1<0的橢圓，設(shè)橢圓方程為：SKIPIF1<0，由已知可得：半焦距SKIPIF1<0，長半軸SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)P不為橢圓長軸的頂點(diǎn)，故點(diǎn)P、點(diǎn)M、點(diǎn)N三點(diǎn)組成三角形，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可知：SKIPIF1<0，②將①代入②得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故點(diǎn)P的軌跡是以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為焦點(diǎn)，實(shí)軸為SKIPIF1<0的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：SKIPIF1<0，由已知可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為：SKIPIF1<0.又因?yàn)辄c(diǎn)P又滿足橢圓方程：SKIPIF1<0，所以由方程組：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．(1)證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；(2)如圖，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與雙曲線C的右支交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)．問：是否存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；SKIPIF1<0.(2)存在；SKIPIF1<0.【詳解】（1）證明：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,因?yàn)榇嬖诔?shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（小于2的常數(shù)），故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是以SKIPIF1<0為焦點(diǎn)，實(shí)軸長SKIPIF1<0的雙曲線，SKIPIF1<0，雙曲線方程為SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0,假設(shè)SKIPIF1<0為等腰直角三角形，則SKIPIF1<0

,由②與③得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,由⑤得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0滿足題設(shè)條件．5．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)是SKIPIF1<0，一條漸近線的方程是SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若以SKIPIF1<0為斜率的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，求k的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由題設(shè)得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線方程為SKIPIF1<0．（2）解：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足方程組SKIPIF1<0將①式代入②式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．此方程有兩個(gè)不等實(shí)根，于是SKIPIF1<0，且△SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0．③由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．從而線段SKIPIF1<0的垂直平分線方程為SKIPIF1<0．此直線與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題設(shè)可得SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將上式代入③式得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．6．如圖，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為SKIPIF1<0，其左半部分記為SKIPIF1<0，右半部分記為SKIPIF1<0．(1)分別用不等式組表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若區(qū)域SKIPIF1<0中的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離之積等于SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(3)設(shè)不過原點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與（2）中的曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且與SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)．求證SKIPIF1<0的重心與SKIPIF1<0的重心重合．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)證明見解析【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（3）當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直時(shí)，可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.由于直線SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，于是SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)都為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的重心坐標(biāo)都為SKIPIF1<0，即它們的重心重合；當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.由直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的重心與SKIPIF1<0的重心也重合.綜上所述：SKIPIF1<0的重心與SKIPIF1<0的重心重合.7．如圖，雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為左、右焦點(diǎn)，M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是x軸上的兩點(diǎn)過點(diǎn)A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，作直線SKIPIF1<0交雙曲線于另一點(diǎn)E．證明：直線SKIPIF1<0垂直于x軸．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明歲月解析.【詳解】（1）依題意，令SKIPIF1<0，由雙曲線離心率為SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，而點(diǎn)M在直線SKIPIF1<0，于是得點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求雙曲線方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y得：SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，直線BC：SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線SKIPIF1<0(a>0,b>0)的漸近線方程為SKIPIF1<0，而雙曲線SKIPIF1<0(a>0,b>0)的漸近線方程為SKIPIF1<0(即SKIPIF1<0)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.8．已知SKIPIF1<0是過點(diǎn)SKIPIF1<0的兩條互相垂直的直線，且SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0各有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，【詳解】（1）顯然SKIPIF1<0斜率均存在，則SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，則SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（2）由弦長公式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，9．已知雙曲線C的實(shí)半軸長與虛半軸的乘積為SKIPIF1<0，C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，直線l過SKIPIF1<0且與直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，l與線段SKIPIF1<0的垂直平分線的交點(diǎn)是P，線段SKIPIF1<0與雙曲線C的交點(diǎn)為Q，且SKIPIF1<0，求雙曲線C的方程．【答案】SKIPIF1<0【分析】如圖，以SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，線段SKIPIF1<0的垂直平分線為SKIPIF1<0軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)雙曲線的方程為SKIPIF1<0，可得直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，得到點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，根據(jù)SKIPIF1<0求得點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程即可得到SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，聯(lián)立即可得出．【詳解】解：如圖，以SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，線段SKIPIF1<0的垂直平分線為SKIPIF1<0軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入雙曲線的方程得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求的雙曲線方程為SKIPIF1<0．10．雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為SKIPIF1<0的直線交雙曲線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，求雙曲線的方程.【答案】SKIPIF1<0【詳解】依題意，設(shè)雙曲線的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則雙曲線右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以雙曲線的漸近線為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與雙曲線的其中一條漸近線平行，故與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，故可記為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故所求雙曲線方程為SKIPIF1<0.11．如圖，已知兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都相交，并且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求圓心SKIPIF1<0的軌跡方程，并說出軌跡的名稱．【答案】圓心SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0的軌跡為雙曲線.【分析】設(shè)圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，計(jì)算出圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距離，結(jié)合勾股定理可化簡可得出點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程，可得出其軌跡曲線的形狀.【詳解】解：設(shè)圓心SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以，圓心SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，且圓心SKIPIF1<0的軌跡為雙曲線.12．設(shè)SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若橢圓C上的點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程；(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率都存在，并記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時(shí)，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線SKIPIF1<0寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)見解析【詳解】（1）點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓C上，且到SKIPIF1<0兩點(diǎn)的距離之和等于4，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，橢圓C的方程為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，又K是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)的軌跡方程為SKIPIF1<0（3）類似特性的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線SKIPIF1<0上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率都存在，并記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0時(shí)，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三年模擬1．（2022·陜西·咸陽市高新一中模擬預(yù)測（文））已知焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求弦長SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)8【詳解】（1）設(shè)雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）由（1）得雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，故弦長SKIPIF1<0為8．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）的左,右焦點(diǎn),SKIPIF1<0,若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0點(diǎn)的右支有公共點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的離心率的最小值;(2)當(dāng)雙曲線SKIPIF1<0的離心率最小時(shí),直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點(diǎn),求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）解:由題知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故雙曲線SKIPIF1<0的離心率的最小值為SKIPIF1<0;（2）由(1)知雙曲線SKIPIF1<0的離心率的最小值為SKIPIF1<0,此時(shí)SKIPIF1<0,雙曲線方程為SKIPIF1<0,聯(lián)立得SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，A，B分別是C的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在C上，點(diǎn)SKIPIF1<0，直線AD，BD與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）解：由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵點(diǎn)SKIPIF1<0在C上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴雙曲線方程為SKIPIF1<0．（2）解：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線AD的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線AD的方程與C的方程聯(lián)立，消去y得SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程①的兩根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直線BD的方程為SKIPIF1<0，與C的方程聯(lián)立，消去y得SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程②的兩根為SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，SKIPIF1<0．∴直線PQ的方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．此時(shí)直線PQ過定點(diǎn)SKIPIF1<0．②當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，則直線PQ的方程為SKIPIF1<0，直線PQ過點(diǎn)SKIPIF1<0．綜上，直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)SKIPIF1<0．4．（2022·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離比到SKIPIF1<0的距離大2，點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)過點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率不為0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率的比值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知可得SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0是以點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），根據(jù)題意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0.（2）由題意可得SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，易知SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0的斜率存在時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0