第三全微分及其應用

第三節(jié)全微分一元函數y=f(x)

的增量概念：考慮二元函數z=f(x,y)關于x

的偏增量關于y

的偏增量全增量一元函數y=f(x)

的微分概念：若函數的增量：能表示為：則稱函數y=f(x)在點

x

處是可微的，并稱

為函數的微分當例如：存在時，考慮邊長分別為x

和y

的矩形的面積：當兩邊長分別取得增量和時的改變量

第一部分是的線性函數

第二部分

第一部分是的線性函數

第二部分定義：如果函數z=f(x,y)的全增量可以表示為其中A

、B

與

x,

y

無關(僅與x,y

有關)則稱z=f(x,y)在點(x,y)處可微，并稱Ax+B

y

為z=f(x,y)

在點(x,y)處的全微分，記作dz

或證明：定義：如果函數z=f(x,y)的全增量可以表示為則稱z=f(x,y)在點(x,y)處可微，記作問題1：函數

z=f(x,y)在什么條件下可微？問題2：在可微的條件下，A=？，B=？如果

z=f(x,y)

在點(x,y)可微，必存在，證明：因為z=f(x,y)在點(x,y)可微，故且z=f(x,y)

在點(x,y)

處的微分可表示為定理1（必要條件）則函數在該點(x,y)處的兩個一階偏導數（1）令，得（2）令，同理得：所以，當函數可微時，全微分可寫成若分別取z=x

和z=y

，則記分別稱為z=f(x,y)在點(x,y)處對

x

和

y

的偏微分。疊加原理：二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和。疊加原理也適用于二元以上的多元函數的情形。如設u=f(x,y,z)則有（1）對于一元函數，可微可導；幾點說明：（2）對于多元函數，可微一定連續(xù)，（3）對于多元函數，若可微，則偏導數一定存在，問題3：對于多元函數，偏導數存在，函數是否一定可微？例1但f(x,y)在點(0,0)處不可微。證明：證明：用反證法證明函數在點(0,0)處不可微。如果f(x,y)在點(0,0)處可微，則必有由定理1即有例1但f(x,y)在點(0,0)處不可微。因此必有但當即有與k有關矛盾！所以函數在點(0,0)處不可微。上述例子有兩個重要性（1）它具體說明了即使函數在某點處的各個偏導數存在，也不能保證函數在該點可微。（2）它給出了證明函數在某點不可微的一般方法。定理2（可微的充分條件）:如果

z=f(x,y)

的偏導數

在點(x,y)

的某鄰域內連續(xù)，則z=f(x,y)

在點(x,y)

處可微。問題1：函數

z=f(x,y)在什么條件下可微？多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微函數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導數存在例2：計算解：在點(2,1)處的全微分。全微分的計算當函數可微時，全微分可表示為所以全微分的計算實際上就是偏導數的計算問題。例3：計算函數的全微分解：解解答思考題：若f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內有定義

若f(x,y)在點(0,0)處可微，則必有若f(x,y)在點(0,0)處不可微，則表達式可以存在，但它不代表函數在(0,0)處的微分。作業(yè)習題93:1(1,3),2,4,5定義：如果函數z=f(x,y)的全增量可以表示為其中A

、B

與

x,

y

無關(僅與x,y

有關)則稱z=f(x,y)在點(x,y)處可微，并稱Ax+B

y

為z=f(x,y)

在點(x,y)處的全微分，記作dz

或內容回顧定理1（必要條件）：如果

z=f(x,y)

在點(x,y)處可微，則函數在該點(x,y)處的兩個一階偏導數