2021考研數學章節(jié)練習答案解析-《數學-高數》-第一講 第三節(jié) 連續(xù)

,xsin—,x<0,,?.一+

設n/(v)={X，當a=時,/(x)連續(xù)?

a+x2,x>0,

［參考答案］

x=0時，/(x)=a

又limf(x)=limxsin—=0,liinf(x)=liina+x2=a.

x->0-x->0-xx->0*

綜上可得，<7=0.

1_

己知函數p=5--,則X=0是f(x)的間斷點.

ex+1

［參考答案］

21

ex-1ex-1

lim=--=-1.lim=—=1

x^r±x”1

ex+1ex+1

所以工=0是/(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點.

ex-1,x<0,

設f(x)=<x+a.0?x<1,求的值，使得/(x)在x=0和

Z?+sin(x-l),x>1,

x=1處連續(xù).

因為函數在x=0和x=l處連續(xù)，

故可得x=0和x=1左右極限分別相等且等于該點的函數值,

lim(x+n)=lim(ex-1)=n,

即卜*x->o-

lim(Z?+sin(x-1))=lim(x+n)=1+a.

工x->r

［參考答案］解方程組得叫0力”

確定函數1，=一^?的間斷點及間斷類型.

1-歷

由歹=」_【可得，間斷點為X=O,K=1.

l-e1-1

又因為limv=lim------=-oo.limv=lim------=+s,

fx->(rJL-i-?o--

l-e1^1-e1-1

故可得x=0為函數的第二類間斷點中的無窮間斷點；

因為limv=lim------=1.limv=iim------=0,

x—>i**x->i*x->r*x—>i~—

l-e1-1l-e1-x

故可得x=l為函數的第一類間斷點中的跳躍間斷點.

［參考答案］

5

求/(A)=S111Y的間斷點并判別其類型.

|x|(x-l)

/(x)=--)\的間斷點為x=0,，=1.

|x|(x-D

d「siiixsiiix_1?

乂lull--------------=lini-----------=Imi-------=-1,

X->O*IXI(X-1)x->0*X(X-1)xTTX-]

IXI(X-1)xM-x(x-l)x-^)-X-1

所以x=0是原函數/(x)的第一類間斷點中的跳躍間斷點.

vsiiix「siiix..siiil

IA|為lim--------=lun-------=Inn----=+s,

x->r|x|(x-1)x-4*x(x-l)x->rx-1

「sinx「siiix「siiil

Inn--------=lun-------=lim----=一℃.

x->r|x|（x-l）x"工（工-1）xMx-1

「公」一、所以x=l是原函數/（x）的第二類間斷點中的無窮間斷點.

［參考答案］

6

設函數/&）=高急有無窮間斷點x=°及可去間斷點'=】'

試確定常數〃及人

因為函數/（K）=.有無窮間斷點x=0.

（工一做工-1）

故x=0時，分子不為0.分母為0,

所以6°-匕。0.（0-。）（0-1）=0,解得a=0.

函數/（X）=/Y,、有可去間斷點x=1，

（x-^Xx-1）

故x=l時，分子分母為同階無窮小或無窮大.

由題可知工=1時，分母為0,故分子也為0.

即e-b=0,也即是b=e.

［參考答案］

7

己知函數f(X)=1(8SX)r,X<。，在工=0處連續(xù)，求”的取值.

a,x>0

由題可知，lim/(x)=lim/(x)=/(O).

x->0*x->0-

又limf(x)=a.lim/(x)=lim(cosx)-T=lime-rlncosT=1.

x->o*x-?o-工一>0-x->(r

［參考答案］故可得〃=L

8

1_丫2”

試討論函數=三'的連續(xù)性’若有間斷點’判別其類型?

n

1_r^1_A

當|x|<1時，lim——-x=lim----x=x；

31+z8]+o

22n

i_v"_Y

當I">1時,lim——-x=lim=-x=-x；

XHI+Lx*工2”

1-X1-1

當|x|=1時，lim——~^x=lim----x=0.

31+.Lf°l+l

-x,IX|>1,

綜上可得，f(x)=0,|x|=1.

X,|x|<l.

因為lim/(A)=lim(-x)=-l.lim/(x)=limx=1,

x—>1*x—x->i-x—>r

故X=1為函數的跳躍間斷點，屬第一類間斷點；

因為lim/(A)=limx=-1.limf(x)=lim(-x)=1,

x->-rx->-rxT-r

故x=-l為函數的跳躍間斷點，屬第一類間斷點.

［參考答案］

9

/.xwO.

4-COSX討論八工）在x=o處的連續(xù)性.

設f(x)=<

五,x=0.

左極限limf(x)=lim