九年級(jí)培優(yōu)平行四邊形輔導(dǎo)專題訓(xùn)練附答案_第1頁
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文檔簡介

如圖①:將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)處,折痕為EF,若小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點(diǎn)A的直線折疊,使得AC落在AB邊上,折痕為AD,展開紙片(如圖②);再次折疊該三角形紙片,使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合,折痕為EF,展平紙片后得到ΔAEF(如圖③).小明認(rèn)為ΔAEF是等腰三角形,你同意嗎?請(qǐng)說明理重合,展開紙片,此時(shí)恰好有MP=MN=PQ(如圖④),求人MNF的大小.【答案】(1)125°;(2)同意;(3)60°【解析】試題分析1)根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得人AEB=70°,根據(jù)折疊重合的角相等,得人BEF=人DEF=55°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到人EFC=125°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到所以AE=AF,即ΔAEF為等腰三角形.(2)保證點(diǎn)A始終在直線MN上,正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ(0<θ<90°),過點(diǎn)B作的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.②如圖3,當(dāng)點(diǎn)O、B兩點(diǎn)分別在直線MN兩側(cè)時(shí),此時(shí)①中結(jié)論是否依然成立呢?若成立,請(qǐng)直接寫出結(jié)論;若不成立,請(qǐng)寫出變化后的結(jié)論并證明.③當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時(shí),線段AF、【答案】(1)AB=2OE2)①AF+BF=2OE,證明見解析;②AF﹣BF=2OE證明見解析;③BF【解析】試題分析1)利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論;(2)①過點(diǎn)B作BH⊥OE于H,可得四邊形BHEF是矩形,根據(jù)矩形的對(duì)EF=BH,BF=HE,根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH,然后利用“角角邊”證明ΔAOE和ΔOBH全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OH=AE,OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證;可得EF=BH,BF=HE,根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH,然后利用“角角邊”證明ΔAOE和ΔOBH全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OH=AE,OE=BH,再根據(jù)AF-EF=AE,整理即可得證;③同②的方法可證.12∴AB=2OE,(2)①AF+BF=2OE:四邊形ABCD為正方形:AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE.②AF﹣BF=2OE:四邊形ABCD是正方形:AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE,∴∠AOE+∠AOG=90°.∵AE﹣EF=AF,EF=OG=OE,AE=BG=AF+EF=OE+AF,∴BF﹣AF=BG+GFAE﹣EF)=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE,(2)如圖2,當(dāng)b>2a時(shí),點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,請(qǐng)給與(3)如圖3,當(dāng)b<2a時(shí)2)中的結(jié)(2)存在,理由見解析;(3)不成立.理由如下見解析.【解析】是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,則可求得∠BMC=90°;(2)由∠BMC=90°,易證得ΔABM∽△DMC,設(shè)AM=x,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比2﹣bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定Δ>0,即可確定方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且兩根均大于零,符合題意;(3)由(2當(dāng)b<2a,a>0,b>0,判定方程x2﹣bx+a案.:()::AB=AM=MD=DC=a,:AMAB2﹣bx+a2=0,:Δ=b2﹣4a2>0,:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且兩根均大于零,符合題意,(3)不成立.﹣bx+a2=0,:Δ=b2﹣4a2<0,:當(dāng)b<2a時(shí),不存在人BMC=90°,即(2)中的結(jié)論不成立.作平行四邊形ABFD,連接AF.(2)①將CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖②,連接AE,請(qǐng)判斷程中,當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形時(shí),直接寫出線段AE的長度.;(【解析】【分析】EKF≌EDA再證明AEF是等腰直角三角形即可;②分兩種情形a、如圖③中,當(dāng)AD=AC時(shí),四邊形ABFD是菱形.b、如圖④中當(dāng)AD=AC時(shí),四邊形ABFD是菱形.分別求解即可.【詳解】:AB=DF,AB=AC,:AC=DF,:AE=EF,::AF=2AE.故答案為AF=2AE.::ZDKE=ZABC=45,:ZEKF=180-ZDKE=135,EK=ED,:ZEKF=ZADE,ZDKC=ZC,:DK=DC,DF=AB=AC,:KF=AD,在EKF和EDA中,|lKF=AD:EKF≌EDA,:EF=EA,ZKEF=ZAED,:ZFEA=ZBED=90,::AF=2AE.②如圖③中,當(dāng)AD=AC時(shí),四邊形ABFD是菱形,設(shè)AE交CD于H,易知如圖④中當(dāng)AD=AC時(shí),四邊形ABFD是菱形,易知【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),尋找全等的條件是解題的難點(diǎn),屬于中考??碱}型.AD,BC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),連結(jié)BE,DF.(2)當(dāng)∠DOE等于多少度時(shí),四邊形BFDE為菱形?請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析;(2)當(dāng)∠DOE=90°時(shí),四邊形BFED為菱形,理由見解析.【解析】:((2)首先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形,進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED,即可得出答案.:():在ΔEOD和ΔFOB中,::,:,:,:考點(diǎn):平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);菱形的判定.(3)當(dāng)ΔACE為直角三角形時(shí),求邊BC的長.2--x2)2)人AEC=105°;(3)邊BC的長為【解析】試題分析1)過A作AH工BC于H,得到四邊形ADCH為矩形.在ΔBAH中,由勾股定理即可得出結(jié)論.則則可得到結(jié)論.解ΔABH即可得到結(jié)論.②當(dāng)人CAE=90°時(shí),易知ΔCDA…ΔBCA,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論.試題解析:解1)過A作AH工BC于H.由人D=人BCD=90°,得四邊形ADCH為矩形.2,:人AEC=70°+35°=105°.22點(diǎn)睛:本題是四邊形綜合題.考查了梯形中位線,相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握梯形中常見的輔助線作法.7.(1)如圖①,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線EF工BD,交(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖②,點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上,且BG=BI,連(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖③,當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時(shí),點(diǎn)E是對(duì)角出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量【解析】【分析】(2)IH=3FH.只要證明ΔIJF是等邊三角形即可.2=AG2+CE2.如圖3中,將ΔADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔDCM,先證【詳解】在ΔDOE和ΔBOF中,|〈OD=OB,:四邊形EBFD是菱形.在ΔDHJ和ΔGHF中,〈DH=GH,:ΔMEJ是等邊三角形,在ΔBIF和ΔMJI中,|:IH工JF,:ΔJIF是等邊三角形,,:2=AG2+CE2.理由:如圖3中,將ΔADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔDCM,在ΔDEM和ΔDEG中,〈經(jīng)EDG=經(jīng)EDM,|lDG=DM【點(diǎn)睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形,學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想思考問題.8.圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于(1)中等腰直角三角形MON面積的4倍,并將正方形ABCD分割成以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)全等的直角三角【答案】(1)作圖參見解析;(2)作圖參見解析.【解析】(2)根據(jù)勾股定理畫出圖形即可.(2)等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示;于是根據(jù)勾股(2)若AE=BD,求∠EDF的度數(shù).【答案】(1)四邊形BCGD是矩形,理由;(【解析】【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及矩形的判定解答即可;(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)解答即可.【詳解】:AD工BD,:AD工BD,AEPDBEBP【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),折疊性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定,主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力,題目綜合性比較強(qiáng),有一定的難度(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到正方形OE′F′G′,如圖(3)在(2)的條件下,正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點(diǎn)N,如圖3,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<180°),若ΔAON是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出α的值.【答案】(1)證明見解析2)證明見解析3)α的值是22.5°或45°或112.5°或135°【解析】【分析】1(1)由四邊形OEFG是正方形,得到ME=-GE,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到212人AOD=人COD=90°,由四邊形OEFG是正方形,得到OG′=OE′,人E′OG′=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(3)分類討論,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】::112:CD=GE,:將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到正方形OE′F′G′,在ΔAG′O與ΔODE′中,:AG′工DE′;∴α=90°-45°=45°;∴∠ANO=∠AON=67.5°,∴α=∠ANO+90°=112.5°;∴α=90°+45°=135°,Ⅲ、當(dāng)AN=AO時(shí),旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90°=67.5+90=157【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運(yùn)用,有一定的綜合性,分類討論當(dāng)ΔAON是等腰三角形時(shí),求α的度數(shù)是本題的難點(diǎn).),(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示位置時(shí),請(qǐng)有怎樣的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論不必證明.【答案】(1)OE=OF.理由見解析2)補(bǔ)全圖形如圖所示見解析,OE=OF仍然成【解析】【分析】12(3)根據(jù)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng),需要分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí),當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí),分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可.【詳解】|||2(3)CF=OE+AE或CF=OE-AE.②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA延長線上時(shí).【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定,解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等,利用矩形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件,根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決.CGCE接寫出x的取值范圍.【答案】(15,-2)ΔEBG是直角三角形,理由詳見解析3)-4)S=-x2﹣—x+48(0≤x≤—).【解析】【分析】(1)①利用面積法求出CE,再利用勾股定理求出EF即可;②利用直角三角形斜邊中線(2)根據(jù)直角三角形的判定方法:如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,則這個(gè)三角形是直角三角形即可判斷;(4)利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可;【詳解】ADAD2+AB2ΔBCD212=-.:DE=BE,12CMENCEEF4,::BH=FH=CH,:EH=HG=HF=HC,:BH=EH=HG,:ΔEBG是直角三角形.,:CGBC63.CEDC84CGCD3-CECB4SCECE2:矩形CEFG=2=─矩形ABCD矩形ABCD:CE2=(--x)2+)2矩形ABCD:S矩形CEFG=--42+2].:矩形CEFG的面積S=-x2--x+48(【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造相似三角形或直角三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.),(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí),在備用圖上畫出符合要求的大致圖形,并判斷上述(1)中的結(jié)論是否仍然成立(只需寫出結(jié)論,不需要證明);能,試說明理由.2【解析】求出BO的長即可.(2)根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形,同理可得(1)中的結(jié)論仍然成立.出符合要求的AP的長.:PB=PE.:BO=PF.2,:222(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長線上時(shí),符合要求的圖形如圖3所示.22若ΔPEC為等腰三角形,則EP=EC.∴∠PEC=90°,與∠PEC>90°矛盾,∴∠CPE=∠CEP=22.5°.∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°.∴∠ABP=67.5°,∴∠ABP=∠APB.∴AP=AB=1.點(diǎn)睛:本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識(shí),有一定的綜合性,而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵.14.已知△ABC,以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.若變化,說明變化的規(guī)律.【答案】(1)120°;(2)①25;②25【解析】:(解1AE=AB,AD=AC,AC=AD(2)①如圖2,以AB為邊在ΔABC外作正三角形ABE,連接CE.:EC=BD.:EC=BD=6,:EC2=EB2+B

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