專題5 函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題（解析版）

專題5函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【題型二】反比例函數(shù)中k的幾何意義【題型三】二次函數(shù)圖像的變換【題型四】二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系【題型五】從函數(shù)觀點看一元二次方程的解【題型六】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式二、最新?？碱}組練【題型一】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【典例分析】如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，，當時，的取值范圍是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】先把代入，求出n值，再根據(jù)圖象直接求解即可．【詳解】解：把代入，得，解得：，∴，∵圖象交于、兩點，∴當時，或．故選：D．【提分秘籍】基本規(guī)律（1）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)，構(gòu)建方程；（2）解方程，求出x的值即為一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像交點的橫坐標。（3）將x的值代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值或范圍?！咀兪窖菥殹?．一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于，，，兩點，則當時，的取值的范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)點和點的坐標，可求出的值，畫出函數(shù)圖象．結(jié)合函數(shù)圖象特征，即可得知當或時，，由此得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意可畫出函數(shù)圖象，如下所示：由圖象可知，當或時，．故選：A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的圖象，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，則這個函數(shù)圖象的另一個交點為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點對稱，即可求解．【詳解】解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點對稱，兩函數(shù)圖象交于點，∴這個函數(shù)圖象的另一個交點為，故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型二】反比例函數(shù)中k的幾何意義【典例分析】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)與矩形一邊交于點E，且點E為線段中點，若的面積為3，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)所給的三角形面積等于長方形面積減去三個直角三角形的面積，然后即可求出D或E的橫縱坐標的積即是反比例函數(shù)的比例系數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)B點的坐標為，則D的坐標為，∵E為線段的中點，∴，∵D、E在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵，解得：，故選：D．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是利用過某個點，這個點的坐標應(yīng)適合這個函數(shù)解析式；所給的面積應(yīng)整理為和反比例函數(shù)上的點的坐標有關(guān)的形式，本題屬于中等題型．【提分秘籍】基本規(guī)律1.過反比例函數(shù)圖像上任意一點向其中任意一坐標軸做垂線，函數(shù)圖像的該點、垂足與坐標原點三點構(gòu)成的三角形面積。2.過反比例函數(shù)圖像上任意一點分別向兩坐標軸做垂線，函數(shù)圖像的該點、兩垂足與坐標原點四點構(gòu)成的矩形面積?！咀兪窖菥殹?．如圖，過反比例函數(shù)的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接、，設(shè)和的面積分別是、，比較它們的大小，可得（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，直接求出、的值即可進行比較．【詳解】解：由于A、B均在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，則；．故．故選：B．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義，找到相關(guān)三角形，求出的一半即為三角形的面積．2．如圖，在中，軸，點B、D在反比例函數(shù)的圖象上，若的面積是20，則k的值是（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，軸，設(shè)，則，即可得到，即可求出，再根據(jù)平行四邊形面積公式進行求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵軸，∴軸，設(shè)，∴，∴，∴，∴，∵的面積是20，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，平行四邊形的性質(zhì)，正確用含k的式子表示出是解題的關(guān)鍵．【題型三】二次函數(shù)圖像的變換【典例分析】（2023年江蘇省徐州市九年級聯(lián)盟中考一模數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【詳解】解：∵將二次函數(shù)的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，∴所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為．故選：C【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的平移規(guī)律，找出平移后二次函數(shù)圖像的頂點坐標或掌握“左加右減，上加下減”，是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】基本規(guī)律1.在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”。概括成八個字“左加右減，上加下減”。2.沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）。3.沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）。【變式演練】1．將拋物線向右平移（）個單位得到一條新拋物線，若點，在新拋物線上，且，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平移的規(guī)律得到新的拋物線的對稱軸，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到解答．【詳解】解：∵拋物線，∴拋物線向右平移（）個單位得到一條新拋物線的解析式為：，∴新拋物線的對稱軸為：，開口方向向上，∵點，在新拋物線上，且，∴，∴,故選：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移的坐標特征，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．通過平移的圖象，可得到的圖象，下列平移方法正確的是（

）A．向左移動2個單位，向上移動3個單位 B．向右移動2個單位，向上移動3個單位C．向左移動2個單位，向下移動3個單位 D．向右移動2個單位，向下移動3個單位【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，而平移后拋物線的頂點坐標為∴平移方法為向左平移2個單位，再向下平移3個單位．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型四】二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系【典例分析】如圖，二次函數(shù)的對稱軸為直線，下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由題意知，當時，；將和分別代入，計算求解可得的關(guān)系，然后進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，當時，；當時，，即，，∴，即，∴A錯誤，故不符合要求；B正確，故符合要求；當時，，即，，∴，即，，∴C、D錯誤，故不符合要求；故選B．【點睛】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號．解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合確定的關(guān)系．【提分秘籍】基本規(guī)律1.開口方向：a＞0時，開口向上，否則開口向下。2.對稱軸：時，對稱軸在y軸的右側(cè)；當時，對稱軸在y軸的左側(cè)。3.與x軸交點：時，有兩個交點；時，有一個交點；時，沒有交點。4.當x＝1時，函數(shù)y＝a+b+c；5.當x＝-1時，函數(shù)y＝a-b+c；6.當a+b+c＞0時，x＝1與函數(shù)圖象的交點在x軸上方，否則在下方；7.當a-b+c＞0時，x＝-1與函數(shù)圖象的交點在x軸的上方，否則在下方?！咀兪窖菥殹?．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①時，y隨x的增大而增大；②；③；④，其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：∵拋物線的対稱軸，且，∴當時，y隨x的增大而增大，∴①錯誤；由圖像可知，，則，故②正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，∵対稱軸，∴，∴∴即∴∴∴③錯誤；當時，∴，當時，∴，∴∴④正確，所以正確的結(jié)論有2個，故選：B【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點確定．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑥ D．①③④⑤【答案】D【分析】根據(jù)圖象開口方向，對稱軸，與y軸的交點即可得到a、b、c的符號，判斷①對錯；根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸得到x軸的另一個交點為，進而得到時，，即可判斷②對錯；根據(jù)交點坐標得到，進而得到，再利用對稱軸得到，從而求得，即可判斷③對錯；根據(jù)圖象與y軸的交點，得到，進而得到，；根據(jù)交點坐標得到，進而得到，即可判斷⑤對錯．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口向上，，對稱軸為直線，在y軸右側(cè)，、異號，圖象與y軸的交點在y軸負半軸，，，①正確；函數(shù)的圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為，由圖象可知，時，，，②錯誤；函數(shù)的圖象與x軸交于點，，，對稱軸為直線，，，，，，③正確；函數(shù)的圖象與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），，，，，④正確；函數(shù)的圖象與x軸交于點，，，，⑤正確，正確結(jié)論有①③④⑤，故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)解題關(guān)鍵．【題型五】從函數(shù)觀點看一元二次方程的解【典例分析】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，兩點，對稱軸是直線，下列說法正確的是（

）A． B．當時，的值隨的增大而增大C．點的坐標為 D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對每一項判斷即可．【詳解】解：∵由圖可知：二次函數(shù)開口向下，∴，故項不符合題意；∵由圖象可知：當，隨增大而減小，故不符合題意；∵點，對稱軸是直線，∴點，故不符合題意；∵當時，，∴當時，，故符合題意．故選．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況。

(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根。

【變式演練】1．已知二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】二次函數(shù)與x軸有兩個交點即二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象與x軸有兩個交點，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，熟知二次函數(shù)與x軸有兩個交點即二次函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．2．方程的近似根可以看作是下列哪兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】逐項分析即可．【詳解】A、由得：，則方程可看作函數(shù)和的圖象的交點，故錯誤；B、由得：，則方程可看作函數(shù)和的圖象的交點，故正確；C、由得：，則方程可看作函數(shù)和的圖象的交點，故錯誤；D、由得：，則方程可看作函數(shù)和的圖象的交點，故錯誤；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，正確變形是關(guān)鍵．【題型六】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式【典例分析】已知，二次函數(shù)的圖像過點，頂點是，則此二次函數(shù)的表達式是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為，頂點是，則，把代入，即，，那么．【詳解】根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入，即，，那么，故選：A．【點睛】本題主要考查是二次函數(shù)的頂點式、一般式等知識內(nèi)容，熟練掌握二次函數(shù)的頂點式，頂點是是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】基本規(guī)律1.先設(shè)出函數(shù)解析式：一次函數(shù)：；反比例函數(shù)：；二次函數(shù)頂點式：；二次函數(shù)一般式：。2.然后從函數(shù)圖像上找已知點代入所設(shè)解析式，一次函數(shù)找兩個點，構(gòu)建二元一次方程組求解；反比例函數(shù)找一個點，代入即可；二次函數(shù)，頂點式找兩個點，一般式找三個點?！咀兪窖菥殹?．已知拋物線過點，，且它與x軸只有一個交點，則d的值是（）A． B． C．4 D．16【答案】A【分析】根據(jù)點A、B的坐標易求該拋物線的對稱軸是直線．故設(shè)拋物線解析式為，直接將代入，通過解方程來求d的值．【詳解】解：∵拋物線過點，，∴對稱軸是直線，又∵拋物線與x軸只有一個交點，∴設(shè)拋物線解析式為，把代入，得．故選：A．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點．解答該題的技巧性在于找到拋物線的頂點坐標，根據(jù)頂點坐標設(shè)拋物線的解析式．2．若點關(guān)于軸的對稱點在一次函數(shù)的圖象上，則的值（）A． B．2 C． D．6【答案】B【分析】先求得點關(guān)于y軸的對稱點，再把對稱點代入一次函數(shù)即可得出b的值．【詳解】解：關(guān)于y軸的對稱點為，把代入一次函數(shù)，得，解得：，故選：B．【點睛】本題考查了點關(guān)于坐標軸變化規(guī)律，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解點關(guān)于坐標軸對稱的變化規(guī)律是本題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，點A在雙曲線上，點B，C在x軸上，延長CD至點E，使，連接BE交y軸于點F，連接CF，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【分析】設(shè)交軸于點，交于點，設(shè)，，利用平行線分線段成比例推出和長度，從而求出長度，即可求出的面積.【詳解】解：設(shè)交軸于點，交于點，設(shè)，則.在雙曲線上，..四邊形為矩形，..，.，，，，..故答案選：B.2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，點B在y軸的正半軸上，點C在反比例函數(shù)的圖像上，菱形OABC的面積為4，則k的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】過點C作于點D，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得，，根據(jù)菱形的面積，可得的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可得k的值．【詳解】解：過點C作于點D，如圖所示：在菱形中，，∴，∵菱形的面積為4，點B在y軸的正半軸上，∴的面積為2，∴的面積為1，∴，∴，∵，∴，故選：B．3．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與軸、軸分別相交于點A、，過點作，使．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)．則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的對應(yīng)點落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（

）A．6 B． C． D．4【答案】B【分析】過點C作軸，垂足為D，則是等腰直角三角形，根據(jù)，確定點C的坐標，第一次旋轉(zhuǎn)的坐標，根據(jù)第二次旋轉(zhuǎn)坐標與點C關(guān)于原點對稱，第三次旋轉(zhuǎn)坐標與第一次坐標關(guān)于原點對稱，確定循環(huán)節(jié)為4，計算的余數(shù)，確定最后的坐標，利用橫坐標縱坐標計算即可．【詳解】如圖，過點C作軸，垂足為D，如圖所示：把，代入得：，解得：，∴，把，代入得：，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴點，第一次旋轉(zhuǎn)的坐標為，第二次旋轉(zhuǎn)坐標與點C關(guān)于原點對稱為，第三次旋轉(zhuǎn)坐標與第一次坐標關(guān)于原點對稱為，第四次回到起點，∴每4次一個循環(huán)，∴，∴第2024次變化后點的坐標為，∴，故B正確．故選：B．4．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達中學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點，點在雙曲線上，且，分別過點A，點B作x軸的平行線，與雙曲線分別交于點C，點D，若的面積為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過設(shè)點法，設(shè)出、、、，表示出的面積，再借助整體換元思想，令，求出t值即可．【詳解】解：如圖所示，分別過點A、B作y軸垂線，交點分別為G、F，過點B作x軸垂線，交點為E，設(shè)、，則、，，，則令，則，代入，則，解得，（舍）則的值為．故選：C．5．（2023·江蘇蘇州·?？家荒＃佄锞€先向左平移2個單位、再向下平移1個單位后，得到（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以先求原拋物線的頂點坐標，再根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出平移后的拋物線的頂點坐標，即可求出解析式．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為：，∴拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得新拋物線的頂點坐標為：，∴所得新拋物線的解析式為：．故選：D．6．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？家荒＃┮阎P(guān)于的方程，若為正實數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．有三個不等實數(shù)根 B．有兩個不等實數(shù)根C．有一個實數(shù)根 D．無實數(shù)根【答案】C【分析】先整理方程，把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象交點問題，然后在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出大致圖象即可得解．【詳解】解：方程整理得：，∴原方程的解的個數(shù)等于等于函數(shù)的圖象與的圖象的交點的個數(shù)，∵，∴函數(shù)的圖象的最低點為，∴函數(shù)的圖象位于第一、二象限，∵為正實數(shù)，∴，∴函數(shù)的圖象位于第二、四象限，如圖，∴兩函數(shù)圖象一定有一個交點．故選：C7．如圖是二次函數(shù)的圖像一部分，其對稱軸是x=-1，且過點（-3，0），說法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是拋物線上兩點，則；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由開口方向確定a的符號；由拋物線與y軸的交點確定c的符號；由對稱軸確定b的符號，判斷①③；利用圖像得出與x軸的另一交點，進而得出a+b+c=0，即可判斷②，x=2時，y＞0，判斷④；根據(jù)函數(shù)增減性，判斷⑤．【詳解】∵二次函數(shù)的圖像開口向上，∴a＞0，∵二次函數(shù)的圖像交y軸的負半軸于一點，∴c＜0，∵對稱軸是直線x=-1，∴-=-1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，2a-b=0，故①②正確；∵拋物線的對稱軸為x=-1，且過點（-3，0），∴拋物線與x軸另一交點為（1，0）．∵當x＞-1時，y隨x的增大而增大，∴當x=2時y＞0，即4a+2b+c＞0，故③錯誤；∵關(guān)于直線x=-1的對稱點的坐標是，又∵當x＞-1時，y隨x的增大而增大，3＞，∴，故④正確．綜合上述可得：①②④正確，共計3個．故選：C．8．（2023·江蘇揚州·校考一模）已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表所示，以下結(jié)論正確的是（

）x…0123…y…30m3…A．拋物線的開口向下 B．當時，y隨x增大而增大C．當時，x的取值范圍是 D．方程的根為0和2【答案】D【分析】根據(jù)表格確定對稱軸的位置，進而求出的值，畫出二次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進行判斷即可．【詳解】解：由表格可知：和的函數(shù)值相同，均為，∴拋物線的對稱軸為直線，∴和的函數(shù)值相等，即：，根據(jù)五點作圖法，得到二次函數(shù)的圖象如下：由圖可知：拋物線開口向上，時，隨值的增大而減小，時，隨值的增大而增大，當時，x的取值范圍是或，拋物線與軸交于，∴方程的根為0和2；綜上：選項錯誤，不符合題意，選項正確，符合題意；故選D．二、填空題9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）請寫出一個函數(shù)的表達式，使其圖象是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線：______．【答案】【分析】已知對稱軸，根據(jù)頂點坐標，開口方向，可寫出滿足條件的二次函數(shù)解析式．【詳解】解：根據(jù)題意，得二次函數(shù)的頂點坐標為，根據(jù)頂點式，得，設(shè)，，則函數(shù)的表達式為（本題答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．10．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于，兩點，則的值為_______．【答案】【分析】一次函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，交點分別在第一、三象限，如圖所示，化為相反數(shù)，互為相反數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像有交點，如圖所示，∴交點，的關(guān)系是，互為相反數(shù)，互為相反數(shù)，∴，故答案為：．11．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．已知二次函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”，則的取值范圍為___________．【答案】【分析】由題意可得，橫、縱坐標相等的點在函數(shù)的圖象上，則二次函數(shù)與有兩個交點，即有兩個不相等的根，利用判根公式求解即可．【詳解】解：由題意可得，橫、縱坐標相等的點在函數(shù)的圖象上，∴二次函數(shù)與有兩個交點，即有兩個不相等的根，∴，∴，解得，，故答案為：．12．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）將拋物線向下平移2個單位長度后，經(jīng)過點，則的值是__________.【答案】3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移得出平移后的表達式，再將點代入，得到，最后將變形求值即可．【詳解】解：將拋物線向下平移2個單位長度后，表達式為：，平移后的拋物線經(jīng)過點，將點代入，得：，即，，故答案為：3．13．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作軸，垂足為H，連接，已知的面積是6，則k的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義進行求解即可．【詳解】解：∵點A是反比例函數(shù)圖象上一點，，的面積是6，∴，∴，由∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過第二象限，∴，故答案為：．14．（2023·江蘇無錫·一模）如圖，已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交于、兩點，點是第三象限反比例函數(shù)上一點，且點在點的左側(cè)，線段交軸的正半軸于點，若的面積是，則點的坐標是______．【答案】【分析】過作軸的平行線交于點，聯(lián)立正比例函數(shù)與反比例函數(shù)求得，，得到的解析式為，利用的面積即可求得點的坐標【詳解】聯(lián)立，解得：，，設(shè)，：，則，解得：，，：過作軸的平行線交于點，則，，即：，解得，，．三、解答題15．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與y軸交于點，與x軸交于點．(1)求與的值；(2)點是x軸正半軸上一點，若，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，將相應(yīng)點代入表達式解方程即可得到答案；（2）過點作軸，垂足為，如圖所示，得到，，從而，利用代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與y軸交于點，與x軸交于點把，代入，得，解得，把，代入，得；把，代入，得，解得；（2）解：過點作軸，垂足為，如圖所示：，，∵一次函數(shù)的圖像與y軸交于點，即當時，，，∴，∵，，∴，∴．16．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）已知直線過點．點為直線上一點，其橫坐標為．過點作軸的垂線，與函數(shù)的圖象交于點．(1)求的值；(2)①求點的坐標（用含的式子表示）；②若的面積等于3，求出點的橫坐標的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由直線過點，代入直線解析式即可求解；（2）①根據(jù)題意可求點P的縱坐標為，由軸，可得點的縱坐標為，由點Q在函數(shù)的圖象上，可求點Q的橫坐標即可；②根據(jù)點P，Q的坐標可求的長，利用三角形面積公式，即可．【詳解】（1）解：∵直線過點，∴，即．（2）解：①∵在直線上且橫坐標為，∴點的縱坐標為，∵軸，∴點的縱坐標為．∵點在函數(shù)的圖象上，∴點的橫坐標為．∴點的坐標為．②∵，，∴，∵中邊上的高，∴，∵的面積等于3，∴，∴（舍），，∴點的橫坐標為．17．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點和點，與軸交于點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)連接，，在直線上是否存在點，使的面積是面積的？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）將、兩點代入反比例函數(shù)解析式，，，可得，解得的值，即可求出、兩點的坐標，用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）令，求出點坐標，根據(jù)、、三點坐標求出的面積，再得到的面積，設(shè)，利用三角形面積求出的值即可．【詳解】（1）由題意，得，解得，，，把代入，得，反比例函數(shù)表達式為，把，代入，得，，一次函數(shù)表達式為；（2）令，則得，，點的坐標為，，，設(shè)，則，得，，解得：或，故或．18．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，與y軸交于點B，與反比例函數(shù)的圖象交于點，過B作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點D，連接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面積．【答案】(1)4，6，；(2)【分析】（1）先把點A坐標代入直線解析式求出b的值，即求出直線解析式，進而求出點C的坐標，再把點C的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k的值；再根據(jù)圖象法求出不等式的解集即可；（2）先求出點B的坐標，進而求出點D的坐標，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】（1）解：把代入到直線中得：，∴，∴直線解析式為，把點代入到直線中得：，∴，∴，把代入到反比例函數(shù)中得：，∴；由函數(shù)圖象可知，當時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，∴不等式的解集是，故答案為：4，6，；（2）解：由（1）得反比例函數(shù)解析式為在中，令，則，∴，在中，令，則，∴，∴，∴．19．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點，點是反比例函數(shù)圖像上的一動點．過點作軸，垂足為，交直線于點．(1)求與的值；(2)若的面積是2，求此時點的坐標．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把點A坐標代入正比例函數(shù)解析式求出點A的坐標，再把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出k的值即可得到答案；（2）設(shè)，則，則，再分如圖1所示，當點P在點G上方時，如圖2所示，當點P在點G下方時，求出對應(yīng)的，并據(jù)此建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把點代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；（2）解：由（1）得反比例函數(shù)解析式為，設(shè)，則，∴，∵是反比例函數(shù)圖像上的一動點．，∴，如圖1所示，當點P在點G上方時，∵的面積是2，∴，∴，解得（負值舍），∴；如圖2所示，當點P在點G下方時，則，∴，∴，；綜上所述，點P的坐標為或．20．（2023·江蘇徐州·一模）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于和兩點，一次函數(shù)圖象分別交軸，軸于兩點．(1)求這兩個函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)請直接寫出當時自變量的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；(3)或．【分析】（1）把的坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可求出反比例函數(shù)的解析式，把的坐標代入求出的坐標，把、的坐標代入一次函數(shù)即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）求出的坐標，求出和的面積，即可求出答案；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和、的坐標即可得出答案．【詳解】（1）解：把代入得：，反比例函數(shù)的解析式是，代入反比例函數(shù)得：，的坐標是，把、的坐標代入一次函數(shù)得：，解得：，一次函數(shù)的解析式是；（2）解：把代入一次函數(shù)的解析式是得：，解得，，；（3）解：從圖象可知：當時自變量的取值范圍是或．21．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，直線與雙曲線交于點和點，過點A作軸，垂足為C．(1)求直線和雙曲線的解析式；(2)連接，求的面積．(3)在x軸上找一點P，使的值最大，請直接寫出滿足條件的點P的坐標．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）把點代入反比例函數(shù)，求出反比例函數(shù)解析式，把代入反比例函數(shù)解析式求出n，再將A、B代入一次函數(shù)解析式，解方程求出解析式即可；（2）根據(jù)題意求出C點坐標，利用三角形面積公式求解即可；（3）作點關(guān)于的對稱點，連接，,根據(jù)對稱性和三角形三邊的關(guān)系可知當A、、P三點共線時，有最大值，利用A、坐標求出直線解析式，求出x軸交點，即為所求．【詳解】（1）解：把點代入得：，∴，∴雙曲線的解析式為，把點代入得，，∴，把A，B代入得，解得：，，∴直線的解析式為；（2）解：作軸，交延長線于D，∵，軸，垂足為C∴點C的坐標為，∴．∵，∴∴的面積．（3）解：如圖：在x軸上任取一點P，作點關(guān)于x軸的對稱點，連接，，根據(jù)對稱性和三角形三邊的關(guān)系得：當A、、P三點共線時，有最大值，為：設(shè)過、的直線解析式為：，則：，解得：直線的解析式為；當時解得：，22．（2023·江蘇泰州·一模）如圖，，，點A，B分別在函數(shù)（）和（）的圖象上，且點A的坐標為．(1)求，的值：(2)若點C，D分在函數(shù)（）和（）的圖象上，且不與點A，B重合，是否存在點C，D，使得，若存在，請直接出點C，D的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）過點A作AE⊥y軸交于點E，過點B作BF⊥y軸交于點F，將點A代入即可求得，證明△AOE≌△BOF，從而求得點B坐標，將點B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C與B關(guān)于x軸對稱，A與D關(guān)于x軸對稱即可求得坐標．【詳解