專題03 角平分線-2021-2022學年八年級數(shù)學下學期期末考試好題匯編（北師大版）（解析版）

專題03角平分線考向一：考向一：角平分線的性質(zhì)考向二：角平分線的判定考向三：作角平分線角平分線的性質(zhì)1．（2020·貴州遵義·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于點D，若，△ABD的面積為60，則CD長(

)A．12 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，再由△ABD的面積為60，可得DE=6，即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∵，△ABD的面積為60，∴，解得：DE=6，∴CD=6．故選：C【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵．2．（2022·河南南陽·八年級期末）OC為∠AOB的平分線，M為OB上一點，P為OC上一點，如果OM=3，PM=2，OP=，那么點Р到射線OA的距離為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)即可解答.【詳解】解：根據(jù)題意作圖如下：△OMP中，OP2=13，OM2=9，PM2=4，∵OP2=OM2+PM2，∴PM⊥OB，由角平分線的性質(zhì)可得：點P到射線OA的距離等于點P到射線OB的距離，∴點Р到射線OA的距離為2，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；掌握其性質(zhì)是解題關鍵．3．（2022·河南·永城市教育體育局教研室八年級期末）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PA2，則PQ的長不可能是（

）A．4 B．3.5C．2 D．1.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂線段最短得出當PQ⊥OM時，PQ的值最小，此時根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PQ=PA，再逐一判斷即可．【詳解】解：當PQ⊥OM時，PQ的值最小，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2，∴PQ=PA=2，所以的最小值為2，所以A，B，D不符合題意，D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，垂線段最短的應用，求解PQ最小值是解此題的關鍵．4．（2022·全國·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°，其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】∵∠B、∠C的角平分線交于點F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，設∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF與△CEF為等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，△ADE的周長為AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，∵只有當△ABC是等腰三角形時，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，∴②③正確，①④不正確，∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正確．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關鍵．5．（2022·云南紅河·八年級期末）如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點，，，垂足分別為，，，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先連接CD，BD，由∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，易得CD=BD，DF=DE，繼而可得AF=AE，易證得Rt△CDF≌Rt△BDE，則可得BE=CF，繼而求得答案．【詳解】如圖，連接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分線，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11cm，AC=5cm，∴BE=3cm．故應選D．【點睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關鍵在于注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．6．（2022·河南周口·八年級期末）如圖，的三條角平分線交于點，邊、、的長分別是40、30、20，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過O分別作OE⊥CB，F(xiàn)O⊥AB，OD⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EO＝DO＝FO，再根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．【詳解】解：過O分別作OE⊥CB，F(xiàn)O⊥AB，OD⊥AC，∵BO是∠ABC平分線，∴EO＝FO，∵CO是∠ACB平分線，∴EO＝DO，∴EO＝DO＝FO，∵S△ABO＝AB?FO，S△BCO＝CB?EO，S△CAO＝AC?DO，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．故選：B【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關鍵是掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等．7．（2022·湖北宜昌·八年級期末）如圖，在中，，是的平分線，，，則的面積是__．【答案】9【解析】【分析】如圖，作于，由角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)計算求解即可．【詳解】解：如圖，作于∵是的平分線，∴∴故答案為：9．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在中，，的平分線與的外角平分線交于點，則的度數(shù)為___________.（用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】如圖，過點E作三邊的垂線，垂足分別為D，F(xiàn)，G，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得EF=DE，然后根據(jù)角平分線的判定證得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得∠EBA=，∠BAE=，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求解．【詳解】解：過點E作于點D，于點F，于點G，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴，∴AE也是∠BAC外角的平分線，∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==，∴∠AEB==．故答案為：．【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，正確理解三角形的有關性質(zhì)是解本題的關鍵．9．（2021·海南省直轄縣級單位·八年級期末）如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OB于點C，已知PC＝5，則點P到OA的距離是________.【答案】5【解析】【分析】過P作PD⊥OA于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PD=PC，已知PC=5，所以PD=5，即可求解．【詳解】過P作PD⊥OA于D，如圖，即點P到OA的距離為DP的長度，∵OP平分∠AOB，∴OP為的角平分線，又∵角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，PC=5，∴DP=PC=5，故答案為：5．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．10．（2022·廣東江門·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，AB//CD，M為的中點，且平分．求證：平分．【答案】見解析【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出BM=NM，再根據(jù)M為BC的中點，即可得到MN=CM，再根據(jù)∠C=90°=∠MND，可得DM平分∠ADC．【詳解】證明：過點M作于N∵平分，，∴又∴∵，∴．∴平分．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)的運用，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．11．（2022·全國·八年級期末）在△ABC中，點D是邊BC上一點，點E在邊AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．(1)如圖①，求證：△ADE是等腰三角形；(2)如圖②，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠CDE相等的角（∠CDE除外）．【答案】(1)見解析(2)圖中所有與∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得出，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得出答案．（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)得到,利用等量代換即可得出答案．(1)證明：是的一個外角，又，，在和中，，，是等腰三角形．(2)解：由（1）得，，，DE平分∠ADC，，又∠BAD＝∠CDE，，，，所以圖中與∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關鍵在于熟練掌握其相關證明的判定及性質(zhì)．角平分線的判定1．（2022·天津南開·八年級期末）如圖，已知△ABC，求作一點P，使P到∠CAB的兩邊的距離相等，且PA=PB，下列確定P點的方法正確的是（

）A．P是∠CAB與∠CBA兩角平分線的交點B．P為∠CAB的角平分線與AB的垂直平分線的交點C．P為AC、AB兩邊上的高的交點D．P為AC、AB兩邊的垂直平分線的交點【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角平分線和線段垂直平分線的判定定理解答即可．【詳解】解：∵P到∠CAB的兩邊的距離相等，∴P為∠CAB的角平分線；∵PA＝PB，∴P在AB的垂直平分線上，∴P為∠CAB的角平分線與AB的垂直平分線的交點．故選：B．【點睛】此題主要考查了角平分線和線段垂直平分線的判定定理，熟練掌握并能靈活運用是解題的關鍵．2．（2022·天津和平·八年級期末）如圖，△ABC的兩個外角的平分線相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（）A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC【答案】B【解析】【分析】過點P分別作PD⊥BA交BA延長線于點D，PE⊥BC交BC延長線于點E，PF⊥AC于點F，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P分別作PD⊥BA交BA延長線于點D，PE⊥BC交BC延長線于點E，PF⊥AC于點F，∵△ABC的兩個外角的平分線相交于點P，∴PD=PF，PE=PF，∴PD=PE，∴點P在∠ABC的角平分線上，即BP平分∠ABC．故選：B【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．3．（2022·安徽銅陵·八年級期末）如圖，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AC邊上一動點（不與A、C重合），過點A作AE垂直BD于點E，延長AE交BC的延長線于點F，連接CE，則為（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【解析】【分析】如圖所示，過點C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，證明△AHC≌△BCG得到CH=CG，即可證明CE平分∠BEF，即可得到∠BEC=．【詳解】解：如圖所示，過點C作CH⊥AF于H，CG⊥BE于G，∴∠AHC=∠BGC=90°，∵∠ACB=90°，AF⊥BE，∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°，又∵∠ADE=∠BDC，∴∠CAH=∠CBG，又∵AC=BC，∴△AHC≌△BCG（AAS），∴CH=CG，∵CH⊥EF，CG⊥BE，∴CE平分∠BEF，∴∠BEC=．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的判定，角平分線的定義，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵．4．（2022·江蘇宿遷·八年級期末）如圖，在中，，把折疊，使、兩點重合，得到折痕，若，則______．【答案】30°【解析】【分析】由折疊可知∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE，根據(jù)角平分線的判定定理可知BE平分∠ABC，即可求解．【詳解】解：由題意可知，∠ADE=∠BDE=90°，∠A=∠ABE又∵∴DE⊥AB，EC⊥BC又∴BE平分∠ABC，即∠ABE=∠CBE∵ABE+∠CBE+∠A=90°∴∠ABE=∠CBE=∠A=故答案為：30°【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的判定定理．5．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）如圖，在和中，，，直線交于點M，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的是___________（填序號）．【答案】①②③【解析】【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的對應高相等得出OG=OH，由角平分線的判定方法得∠AMO=∠DMO，假設OM平分∠BOC，則可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④錯誤；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC=∠OBD，AC=BD，故①②正確；由三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∵∠OAC=∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=α，，故③正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，△AOC≌△BOD，∴結(jié)合全等三角形的對應高可得：OG=OH，∴MO平分∠AMD，∴∠AMO=∠DMO，假設OM平分∠BOC，則∠BOM=∠COM，∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM，即∠AOM=∠DOM，在△AMO與△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴OA=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA＜OC，故④錯誤；正確的個數(shù)有3個；故答案為：①②③．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，是中考填空題的壓軸題，本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識，證明三角形全等是解題的關鍵．6．（2022·廣東江門·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，AB//CD，M為的中點，且平分．求證：平分．【答案】見解析【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出BM=NM，再根據(jù)M為BC的中點，即可得到MN=CM，再根據(jù)∠C=90°=∠MND，可得DM平分∠ADC．【詳解】證明：過點M作于N∵平分，，∴又∴∵，∴．∴平分．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)的運用，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．7．（2022·安徽蕪湖·八年級期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS證明結(jié)論即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題．(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)證明：如圖，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵，∴AM＝AN，∴點A在∠BFE平分線上，∴FA平分∠BFE．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學會轉(zhuǎn)化的思想，巧用等積法進行證明．三、作角平分線1．（2022·河南周口·八年級期末）在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC上找一點D，使△ACD是等腰三角形，則下列作法中，正確的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】A【解析】【分析】根據(jù)作圖痕跡可知，圖①作的是∠BAC的平分線，圖②作的是CA=CD，圖③作的是AC的垂直平分線，然后逐一判斷即可解答．【詳解】解：圖①：由題意得：AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，∵∠BAC=90°，AB≠AC，∴∠B≠∠C≠45°，∴∠C≠∠CAD，∴△ACD不是等腰三角形，故①錯誤；圖②：由題意得：CA=CD，∴△ACD是等腰三角形，故②正確；圖③：由題意得：點D在AC的垂直平分線上，∴DA=DC，∴△ACD是等腰三角形，故③正確，所以，上列作法中，正確的有：②③，故選：A．【點睛】本題考查了基本作圖－解平分線、線段垂直平分線，等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題的關鍵．2．（2022·浙江湖州·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB=10，BC=6，則線段CD的長為（）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】【分析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過D點作DE⊥AB于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到則DE=DC，再利用勾股定理計算出AC=8，然后利用面積法得到?DE×10+?CD×6=×6×8，最后解方程即可．【詳解】解：由作法得BD平分∠ABC，過D點作DE⊥AB于E，如圖，則DE=DC，在Rt△ABC中，AC==8，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴?DE×10+?CD×6=×6×8，即5CD+3CD=24，∴CD=3．故選：A．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）．也考查了角平分線的性質(zhì)．3．（2022·陜西延安·八年級期末）如圖，在中，，，請用尺規(guī)作圖法，在上求作一點，使得.（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】【分析】只需要作∠DAC的角平分線與CD的交點即可．【詳解】解：如圖，即為所求.（作法不唯一，合理即可）∵AC=AD，AE平分∠DAC，∴DE=CE；【點睛】本題主要考查了三線合一定理，角平分線的尺規(guī)作圖，熟知三線合一定理是解題的關鍵．4．（2022·湖北襄陽·八年級期末）如圖，在中，，，垂直平分．(1)作的平分線交于點尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；(2)在所作的圖中，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法即可作∠DAC的平分線AE交BC于點E；（2）根據(jù)角平分線定義和三角形內(nèi)角和定理即可求∠DAE的度數(shù)．(1)解：如圖，線段即為所求；(2)解：垂直平分，，∴，，是的平分線，．【點睛】本題考查了作圖一基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握角平分線的作法．1．（2021·山西長治·八年級期末）如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，P點到OA的距離PE＝2，點F是OB上任意一點，則線段PF的長的取值范圍是（）A．PF＜2 B．PF＞2 C．PF≥2 D．PF≤2【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出點P到OB的距離為2，再根據(jù)“垂線段最短”可知PF的取值范圍．【詳解】解：∵P點到OA的距離PE=2，∴P點到OB的距離2，∵垂線段最短，且點F在OB上，∴PF≥2．故選：C．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和垂線段最短，解題的關鍵是知道點到直線的距離垂線段最短．2．（2022·湖南長沙·八年級期末）如圖，中，，于點D，于點E，于點F，，則BF的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】過點D作DH⊥AC于點H，由題意易得AD平分∠CAB，則有DE=DH，然后根據(jù)等積法可進行求解．【詳解】解：過點D作DH⊥AC于點H，如圖所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠CAB，∵DE⊥AB，DE＝4，∴DE=DH=4，∵，∴，∴；故選D．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．3．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，延長AD至E，使AD=DE，連接BE，若AB=4AC，△BDE的面積為12，則△ABC的面積是（

）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】D【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得DG=DH，由三角形的面積關系可求解．【詳解】解：如圖，過點D作DG⊥AC，交AC的延長線于G，DH⊥AB于H，∵AD=DE，△BDE的面積為12，∴S△ABD=S△BDE=12，∵AD是∠BAC的平分線，DH⊥AB，DG⊥AC，∴DG=DH，∵AB=4AC，∴S△ABD=4S△ACD，∴S△ACD=3，∴S△ABC=12+3=15，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當輔助線是解題的關鍵．4．（2022·江蘇淮安·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫圓弧，分別交AB、AC于點D、E，再分別以點D、E為圓心，大于DE長為半徑畫圓弧，兩弧交于點F，作射線AF交邊BC于點G．若CG=4，AB=10，則△ABG的面積是（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【解析】【分析】根據(jù)作圖可知為的角平分線，過點作，則，繼而根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)作圖可知為的角平分線，如圖，過點作，CG=4，AB=10，△ABG的面積是故選B．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線的作圖，理解題意中為的角平分線是解題的關鍵．5．（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期末）如圖，在中，D為BC邊上一點，于點E，于F，AD的垂直平分線HG分別交AD，AC于點H，G．若，則下列結(jié)論：①AD平分；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知：①正確；再利用垂直平分線的性質(zhì)可知②正確；證明，可知③正確；僅利用，推不出，故④不正確．【詳解】解：∵，，且，∴AD平分；故①正確；∵HG垂直平分AD，∴，，在和中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∴，故③正確；∵僅利用，，推不出，故④不正確．綜上所述：正確的有①②③．故選：C．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握這些性質(zhì)及判定定理．6．（2022·江西贛州·八年級期末）如圖1，為線段上一動點（不與點、重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；⑥連接，平分；⑦為等邊三角形．其中正確的有（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】C【解析】【分析】證明①可先證明△ACD≌△BCE，可判斷①，再證明△CQB≌△CPA，可判斷②，再證明∠PQC=∠DCE=60°，可判斷③，利用全等三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理證明∠AOB=∠ACB，可判斷④，證明∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，PD≠CD，可判斷⑤，作CM⊥AD，CN⊥BE，證明CM=CN，可判斷⑥，由可判斷⑦，從而可得答案.【詳解】解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，故①正確；由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故②正確；又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴，③成立，∵△CQB≌△CPA，∴∠CBQ=∠CAP，∵∠APC=∠BPO，∴∠AOB=∠ACB=60°，故④正確；∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故⑤DE=DP錯誤；作CM⊥AD，CN⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴CM=CN，∴OC平分∠AOE，故⑥正確，為等邊三角形，故⑦正確，故正確的有①②③④⑥⑦共6個，故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定與性質(zhì)；角平分線的判定，熟練應用等邊三角形的性質(zhì)證明三角形全等是正確解答本題的關鍵．7．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，已知在中，，點D，E分別在邊，上，，，若，則的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解析】【分析】過點D作于點F．由題意易證，即得出，說明AD為的角平分線，即可求出的大小，從而可求出的大?。驹斀狻咳鐖D，過點D作于點F．∴在和中，∴，∴，∴AD為的角平分線，∴，∴．故選C．【點睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定，角平分線的判定定理．作出常用的輔助線是解題關鍵．8．（2022·遼寧大連·八年級期末）如圖．在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，則下列結(jié)論：①PA平分∠BAC，②AS＝AR；③QP∥AR．正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可推出①根據(jù)斜邊直角邊對應相等的兩個直角三角形全等可推出②，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出QP∥AB即可推出③．【詳解】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴點P在∠A的平分線上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，∴①正確在Rt△ARP和Rt△ASP中，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL）∴AR=AS，∴②正確；連接AP．∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴③正確；∴正確的結(jié)論為①②③故選擇D【點睛】此題考查角平分線判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．9．（2022·湖北·公安縣教學研究中心八年級期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，點在上．若，，，當最小時，的面積是（

）A．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由點為線段上的一個動點，最短時，如圖，由題意知，是的角平分線，由角平分線的性質(zhì)可得，證明，則有，由求出的值，根據(jù)計算求解即可．【詳解】解：由點為線段上的一個動點，最短時，，如圖，由基本尺規(guī)作圖可知，是的角平分線，∵，，∴，在和中∵∴∴，∴，∴故選B．【點睛】本題考查了角平分線的作法，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．10．（2022·陜西延安·八年級期末）如圖，在中，平分交BC于點D，，垂足為E.若，，則的面積為___________.【答案】6【解析】【分析】過點D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到DH=DE=3，即可求解．【詳解】解：過點D作DH⊥AC于H，∵AD平分∠BAC，DE=3，∴DH=DE=3，∵AC=4，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關鍵在于能夠熟練掌握：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．11．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于點E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的長度為_____________________cm．【答案】3.5【解析】【分析】過C點作CF⊥AB于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CF=CE，再證明Rt△ACE≌Rt△ACF得到AF=AE，證明△CBF≌△CDE得到BF=DE，然后利用等線段代換，利用AF=AE得到11+DE=18-DE，從而可求出DE的長．【詳解】解：過C點作CF⊥AB于F，如圖，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF=CE，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AF=AE，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠CBF=∠D，在△CBF和△CDE中，，∴△CBF≌△CDE（AAS），∴BF=DE，∵AF=AE，∴AB+BF=AD-DE，即11+DE=18-DE，∴DE=3.5cm．故答案為：3.5．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．12．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰凇鰽BC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分線，點E在直線AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=____________.【答案】127.5°或7.5°【解析】【分析】過D作DF⊥AB于F，根據(jù)直角三角形DEF求出∠DEF=30°，求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC，∴DF=DC，∠ADF=67.5°，當點E在線段AB上時，∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°，∴DEF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°；當點E在線段AB的延長線上時，同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°；綜上述：∠ADE=7.5°或127.5°．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關鍵是遇到角平分線作垂線段．13．（2022·河南·永城市教育體育局教研室八年級期末）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，當BMMN有最小值時，_____________°．【答案】50【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，可證△AME≌△AMN，當BMMN有最小值時，則BE是點B到直線AC的距離即BE⊥AC，代入度數(shù)即可求∠ABM的值；【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，∵∠BAC的平分線交BC于點D，∴∠EAM=∠NAM，∵AM=AM，∴△AME≌△AMN，∴ME=MN，∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；故答案為：50．【點睛】本題考查的是軸對稱－最短路線問題，通過最短路線求出角度；解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最短路線，代入即可求出度數(shù)．14．（2022·山東濱州·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，于點E，點F在AC上，BE＝FC，BD＝DF，求證：AD平分∠CAB．【答案】見解析【解析】【分析】利用HL證明Rt△BDE≌Rt△FDC，得到DE=DC，即可得到AD平分∠CAB．【詳解】證明：∵，∴∠BED=∠C＝90°，在Rt△BDE和Rt△FDC中，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴DE=DC，∵，DC⊥AC，∴AD平分∠CAB．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關鍵是熟記全等三角形的判定定理．15．（2022·河北秦皇島·八年級期末）作圖題：(1)在方格紙中畫出△ABC關于點O的對稱圖形△A′B′C′，并在所畫圖中標明字母．(2)圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC的頂點坐標為A（0，-2）、B（3，-1）、C（2，1）．請在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的圖形△AB′C′(3)尺規(guī)作圖：①作邊AB的垂直平分線交BC于點D；②連接AD，作∠CAD的平分線交BC于點E；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②見解析【解析】【分析】（1）分別連接△ABC的三個頂點A、B、C與點O，并延長相同單位，得到三點的對應點A′B′C′，順次連接這三點即可得到所求△A′B′C′；（2）首先分別過點B、C作y軸的垂線，分別延長至各自到y(tǒng)軸的距離的相同長度，得到其對應點B′C′，順次連接A，B′，C′即可得到所求△AB′C′；（3）①先分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑在線段的兩邊畫相交弧，得到兩個相交點，再用直尺連接這兩個相交點，所得的直線即為線段AB的垂直平分線，繼而即可求解；②首先以點A為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交AD、AC于一點，再分別以這兩點為圓心，任意長為半徑畫圓弧，可得一個相交點，連接點A和這個相交點所得射線即為∠CAD的平分線，即射線AE即為所求．(1)如圖所示：分別OA、OB、OC，并延長相同單位，得到三點的對應點A′B′C′，順次連接這三點即可得到所求△A′B′C′,(2)如圖所示：分別過點B、C作y軸的垂線，分別延長至各自到y(tǒng)軸的距離的相同長度，得到其對應點B′C′，順次連接A，B′，C′即可得到所求△AB′C′；(3)如圖，①先分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑在線段的兩邊畫相交弧，得到兩個相交點，再用直尺連接這兩個相交點，所得的直線即為線段AB的垂直平分線，點D即為所求，②首先以點A為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交AD、AC于一點，再分別以這兩點為圓心，任意長為半徑畫圓弧，可得一個相交點，連接點A和這個相交點所得射線即為∠CAD的平分線，即射線AE即為所求．【點睛】本題考查軸對稱變換作圖，尺規(guī)作圖，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的定義．16．（2022·云南紅河·八年級期末）如圖，已知中，，于點，的平分線分別交，于點．(1)試說明是等腰三角形；(2)若點恰好在線段的垂直平分線上，猜想：線段與線段的數(shù)量關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)4【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意得出，再根據(jù)角平分線定義及三角形外角的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）由垂直平分線的性質(zhì)定理和角平分線的定義得出，再由三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解；（3）過點作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求出，即可求三角形面積．(1)∵，∴，∵，∴，∴∵是的平分線，∴，∵，，∴∴．∴是等