備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學一輪復習專項訓練專題01角平分線四大模型在三角形中的應用(解析版)

專題01角平分線四大模型在三角形中的應用（專項訓練）1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4cm，CD＝2cm，（1）求D點到直線AB的距離．（2）求AC．【解答】解：（1）作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝2cm；（2）在Rt△ADC和Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，∵BD＝4cm，CD＝2cm，∴BE＝2cm，則AC2+62＝（AC+2）2，解得，AC＝2cm．2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC的平分線BP交于點P，∠BPC＝40°．（1）求∠BAC；（2）證明：點P到△ABC三邊所在直線的距離相等；（3）求∠CAP．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠APC+∠PCB＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠PCB，∴∠PCD＝∠BAC，∴∠BPC＝40°，∴∠BAC＝2×40°＝80°，即∠BAC＝80°；（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∵CP是∠ACD的平分線，PF⊥AC，PG⊥BC，∴PF＝PG，同理，PE＝PF，∴PE＝PF＝PG，即點P到△ABC三邊所在直線的距離相等；（3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，∴∠CAP＝∠CAE＝50°．3．（1）如圖①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么點D到AB的距離是cm（2）如圖②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC．【解答】解：（1）如圖①，作DE⊥AB于E，∵BC＝6cm，BD＝4cm，∴CD＝2cm，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝2cm，即點D到AB的距離是2cm，故答案為：2；（2）證明：如圖②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE，同理，PF＝PE，∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC．4．四邊形ABCD中，DA＝DC，連接BD，∠ABD＝∠DBC．（1）如圖1，求證：∠BAD+∠BCD＝180°；（2）如圖2，連接AC，當∠DAC＝45°時，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的長；（3）如圖3，在（2）的條件下，把△ADC沿AC翻折，點D的對應點是點E，AE交BC于點K，F(xiàn)是線段BC上一點，連接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面積．【解答】（1）證明：如圖1，過點D作DM⊥BA交BA的延長線于M，DN⊥BC于N，則∠DMA＝∠DNC＝90°，∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNC中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL），∴∠DAM＝∠BCD，∵∠DAM+∠DAB＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°；（2）如圖2，過點D作DM⊥BA交BA的延長線于M，DN⊥BC于N，由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA，∵DA＝DC，∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBM＝∠DBN＝45°，∵∠M＝∠DNB＝90°，∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°，∴DN＝BN，DM＝BM，∵DM＝DN，∴MB＝BN＝DN，設AB＝a，則BC＝3AB＝3a，設CN＝b，則MA＝CN＝b，∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b，∴a+b＝3a﹣b，∴b＝a，∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a，∴S△BCD＝BC?DN＝?3a?2a＝27，解得，a＝b＝3，∴AB＝3；（3）如圖3，過點E作EG⊥AB交AB的延長線于G，EH⊥BC于H，由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°．∵∠AKB＝∠CKE，∴∠BAE＝∠BCE，在△AGE和△CHE中，，∴△AGE≌△CHE（AAS），∴AG＝CH，EG＝EH，∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG，∴BH＝EH＝BG＝EG，設BH＝k，則AG＝3+k，CH＝9﹣k，∵AG＝CH，∴3+k＝9﹣k，解得，k＝3，∴EH＝BH＝3，∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴HE＝FH＝3，∴CF＝CB﹣BF＝9﹣3﹣3＝3，∴△EFC的面積＝×CF×EH＝×3×3＝．5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質直接可得DA＝CD，這個性質是（2）問題解決：如圖2，求證AD＝CD；（3）問題拓展：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證：BD+AD＝BC．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等；（2）如圖2，作DE⊥BA交BA延長線于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如圖，在BC時截取BK＝BD，連接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的結論得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．6．如圖，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC＝16，BC＝9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：如圖，在AC上截取CE＝CB，連接DE，∵∠ACB的平分線CD交AB于點D，∴∠BCD＝∠ECD．在△CBD與△CED中，．∴△CBD≌△CED（SAS），∴BD＝ED，∠B＝∠CED，∵∠B＝2∠C，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠CED＝2∠A，∴∠A＝∠EDA，∴AE＝ED，∴AE＝BD，∴BD＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝16﹣9＝7．故選：B．7．如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝4，求線段AC的長．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°．（2）如圖，在AC上截取AF＝AE，連接PF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACP＝∠BCP，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA），∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．8．閱讀下面材料：小聰遇到這樣一個有關角平分線的問題：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的長．小聰思考：因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經過推理能使問題得到解決（如圖2）．請完成：（1）求證：△BDE是等腰三角形；（2）求BC的長為多少？【解答】（1）證明：如圖2，在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE，在△ACD與△ECD中，∵，∴△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∵∠DEC＝∠B+∠EDB∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；（2）解：∵AD＝DE＝BE＝2，EC＝AC＝3，∴BC＝BE+CE＝2+3＝5．9．閱讀材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．小明的想法：因為CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”來解決該問題．即在BC邊上取點E，使EC＝AC，并連接DE（如圖2）．（1）如圖2，根據(jù)小明的想法，回答下面問題：①△DEC和△DAC的關系是，判斷的依據(jù)是；②△BDE是三角形；③BC的長為．（2）參考小明的想法，解決下面問題：已知：如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的長．【解答】解：（1）如答圖1，①在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS）；②由①知，△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；③由①知，△ACD≌△ECD，則EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．又∵BE＝DE，∴BE＝AD＝2.2．∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；②等腰；③5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，如答圖2，在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，則△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，則△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．10．如圖1，在△ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長線于點D．（1）線段BC的垂直平分線交DA的延長線于點P，連接PB，PC．①利用尺規(guī)作圖補全圖形1，不寫作法，保留痕跡；②求證：∠BPC＝∠BAC；（2）如圖2，若Q是線段AD上異于A，D的任意一點，判斷QB+QC與AB+AC的大小，并予以證明．【解答】（1）①解：如圖1所示，②證明：在AE上截取AF＝AC．設PC交AB于G．∵AD平分∠CAF，∴∠DAC＝∠DAF，∴∠CAP＝∠FAP，∵AP＝AP，AC＝AF，∴△APC≌△APF，∴∠PCA＝∠PFA，PC＝PF，∵點P在線段BC的垂直平分線上，∴PB＝PC＝PF，∴∠PBF＝∠PFA，∴∠PBG＝∠ACG，∵∠PGB＝∠AGC，∴∠BPC＝∠BAC；（2）如圖2中，在AE上截取AF＝AC．同法可證△QAF≌△QAC，∴QC＝QF，∵QB+QC＝QB+QF＞BF，BF＝AB+AF＝AB+AC，∴QB+QC＞AB+AC．11．如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延長BE交AC于點F）．【解答】證明：如圖：延長BE交AC于點F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA）∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C．∴BF＝CF，∴BE＝BF＝CF．∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，∴BE＝（AC﹣AB）．12．如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，BP⊥AD，垂足為P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．試說明∠ABC＝3∠ACB．【解答】證明：延長BP，交AC于E，∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，又∵AP＝AP，∴△ABP≌△AEP，∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∴CE＝BE，∴△BCE是等腰三角形，∴∠EBC＝∠C，又∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，∴∠ABE＝2∠C，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠C．13．如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關系？并說明理由；（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．【解答】解：（1）如圖，BE＝AD，理由如下：延長BE、AC交于點H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．14．如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CD交于點D．過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，則△AEF的周長為（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周長為：14，故選：C．15．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點E，過點E作EF∥BC，交AB于點M，交AC于點N．求證：MN＝MB+NC．【解答】證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點E，∴∠