高等數(shù)學(xué)：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法_第1頁
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文檔簡介

6.3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法6.3.1多元與一元的復(fù)合6.3.2多元與多元的復(fù)合6.3.3多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)6.3.4微分求導(dǎo)法——一階微分形式不變性6.3.1多元與一元的復(fù)合證明1自變量只有一個(gè)的情況6.3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

注1

上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.例如2：以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).2當(dāng)僅有一個(gè)中間變量時(shí)uzxy解

這種多元初等函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算可不必用以上方法，而直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算。

例2證明

定理6.3.1可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：6.3.2多元與多元的復(fù)合鏈?zhǔn)椒▌t如圖示

鏈?zhǔn)椒▌t：“連線相乘，分線相加”

注1上述公式可推廣：中間變量及自變量的個(gè)數(shù)可增加或減少。例如xytzuv2當(dāng)復(fù)合函數(shù)中自變量與中間變量共存時(shí)設(shè)z=f(u，x，y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，變量關(guān)系圖：uzxy或zuvwxy(v≡

x)(w≡

y)兩者的區(qū)別區(qū)別類似解注也可由z=exysin(x+y)而直接對x、y求偏導(dǎo)。注意兩種方法的區(qū)別。而z=x2siny。求

解：

例4

6.3.3多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)

通過例題介紹多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)解令記同理有于是例6

設(shè)z=f(2x+y)+f(2x–y，ysinx)，求zxy。解

zx=2f′(2x+y)+f1·2+f2·ycosxzxy=2f″

(2x+y)+2(f11·(－1)+f12·sinx)+f2·cosx+ycosx(f21·(－1)+f22·sinx)=2f″

(2x+y)

－f11+2f12sinx+f2cosx－

yf21cosx+yf22sinxcosx設(shè)z=f(u,v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則有6.3.4微分求導(dǎo)法——一階微分形式不變性由此可見，不論z是自變量u、v函數(shù)，或是中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，都是這個(gè)性質(zhì)叫全微分形式的不變性。

利用這一性質(zhì)，可求復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解小結(jié)

本節(jié)主要討論了多元復(fù)合函數(shù)的概念。

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