線性系統(tǒng)理論Chapter9

1第九章傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性9.1史密斯-麥克米倫形9.2傳遞函數(shù)矩陣的有限極點(diǎn)和有限零點(diǎn)9.3傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)指數(shù)9.4傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn)9.5傳遞函數(shù)矩陣的評(píng)價(jià)值9.6傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項(xiàng)式基9.7傳遞函數(shù)矩陣的虧數(shù)9.8小結(jié)和評(píng)述2023最新整理收集do

something29.1史密斯-麥克米倫形史密斯-麥克米倫形及其構(gòu)造原理結(jié)論9.1G(s)為q

p有理分式矩陣，rankG(s)=rmin{q，p}，則必存在q

q和p

p單模矩陣U(s)和V(s)，使其中，{ei(s)，yi(s)}為互質(zhì)，且滿足整除性yi+1(s)|yi(s)和ei(s)|ei+1(s)。M(s)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的史密斯-麥克米倫形。3史密斯-麥克米倫形的基本特性對(duì)于給定的G(s)，其史密斯-麥克米倫形M(s)是唯一的。但是單模陣對(duì){U(s)，V(s)}則不是唯一的；即使G(s)是嚴(yán)格真的，其史密斯-麥克米倫形M(s)也可能不是真的。即單模陣對(duì){U(s)，V(s)}的引入，會(huì)可能附加引入乘子sk；如果G(s)為方的且非奇異，a為非零常數(shù)，則必成立4

令M(s)=U(s)G(s)V(s)為史密斯-麥克米倫形，則M(s)的一個(gè)右MFD可表為其中 當(dāng)取N(s)=U-1(s)E(s)，D(s)=V(s)Y(s)時(shí)，N(s)D-1(s)為G(s)的一個(gè)不可簡約右MFD。5返回

令M(s)=U(s)G(s)V(s)為史密斯-麥克米倫形，則M(s)的一個(gè)左MFD可表為其中 當(dāng)取NL(s)=EL(s)V-1(s)

，DL(s)=YL(s)U(s)時(shí)，DL-1(s)NL(s)為G(s)的一個(gè)不可簡約左MFD。69.2傳遞函數(shù)矩陣的有限極點(diǎn)和有限零點(diǎn)極點(diǎn)和零點(diǎn)的基本定義羅森布羅克定義：G(s)為q

p傳遞函數(shù)矩陣，rankG(s)=rmin{q，p}，其史密斯-麥克米倫形為則G(s)有限極點(diǎn)=M(s)中yi(s)=0的根，

G(s)有限零點(diǎn)=M(s)中ei(s)=0的根，i=1，2，..

，r。

7

幾點(diǎn)討論基于史密斯-麥克米倫形的羅森布羅克定義，只適用于定義傳遞函數(shù)矩陣G(s)在有限復(fù)數(shù)平面上的極點(diǎn)和零點(diǎn)；羅森布羅克定義的零點(diǎn)也稱作傳輸零點(diǎn)；多變量系統(tǒng)極點(diǎn)和零點(diǎn)的重要特征是極點(diǎn)和零點(diǎn)可位于復(fù)平面的同一位置上而不形成對(duì)消。這是因?yàn)?，在M(s)中，盡管{ei(s)，yi(s)}為互質(zhì)即沒有公因子，但ei(s)和yj(s)(i

j)之間可以包含公因子。8

極點(diǎn)和零點(diǎn)的推論性定義結(jié)論9.8設(shè)N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)分別為G(s)的任意不可簡約右MFD和左MFD，則必成立G(s)有限極點(diǎn)=detD(s)=0的根或detDL(s)=0的根G(s)有限零點(diǎn)=使N(s)或NL(s)降秩的s值例結(jié)論9.9設(shè)給定G(s)是嚴(yán)格真的，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為(A，B，C)，且(A，B)為完全能控和(A，C)為完全能觀測，則必成立

G(s)有限極點(diǎn)=det(sI-A)=0的根

G(s)有限零點(diǎn)=使降秩的s值9

對(duì)零點(diǎn)的直觀解釋結(jié)論9.10設(shè)給定多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，系統(tǒng)的聯(lián)合能控和能觀測的狀態(tài)空間描述為(A，B，C)，再令z0為G(s)的一個(gè)零點(diǎn)，則對(duì)滿足關(guān)系式的非零初始狀態(tài)x0和非零常向量u0，系統(tǒng)對(duì)形如的一類輸入向量具有阻塞作用，即由其引起的系統(tǒng)輸出y(t)將恒等于零。返回109.3傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)指數(shù)結(jié)構(gòu)指數(shù)G(s)的史密斯-麥克米倫形為Spz=G(s)的有限極點(diǎn)和零點(diǎn)的集合，其定義式為

Spz={s|s

C，ei(s)=0或yi(s)=0，i=1，2，..，r}對(duì)任意xk導(dǎo)出si(xk)是包括0在內(nèi)的整數(shù)。且{si(xk)}是一非降序列：稱集合{s1(xk)，..，sr(xk)}為G(s)在xk處的結(jié)構(gòu)指數(shù)。例11

對(duì)結(jié)構(gòu)指數(shù)的幾點(diǎn)討論結(jié)構(gòu)指數(shù)以統(tǒng)一方式表征傳遞函數(shù)矩陣的極點(diǎn)和零點(diǎn)；si(xk)為正整數(shù)時(shí)表示G(s)在s=xk處有零點(diǎn)，si(xk)為負(fù)整數(shù)時(shí)表示G(s)在s=xk處有極點(diǎn)，而si(xk)為零時(shí)表示G(s)在s=xk處既無零點(diǎn)也沒有極點(diǎn)；

G(s)在s=xk處極點(diǎn)的重?cái)?shù)={s1(xk)，..，sr(xk)}中負(fù)指數(shù)之和取絕對(duì)值，G(s)在s=xk處零點(diǎn)的重?cái)?shù)={s1(xk)，..，sr(xk)}中正指數(shù)之和；結(jié)構(gòu)指數(shù)表示的史密斯-麥克米倫形M(s)返回129.4傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和

零點(diǎn)無窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn)引入變換s=l-1，用H(l)代替G(s)，則G(s)在無窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)和零點(diǎn)將等于H(l)在l=0處的極點(diǎn)和零點(diǎn)。導(dǎo)出其史密斯-麥克米倫形，則可作定義G(s)在無窮遠(yuǎn)處極點(diǎn)=中零根，i=1，..

，r。G(s)在無窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)=中零根，i=1，..，r。其中，r=rankG(s)，而，并且滿足整除性以及為互質(zhì)。13

無窮遠(yuǎn)處的結(jié)構(gòu)指數(shù)G(s)在s=

處的結(jié)構(gòu)指數(shù){s1(

)，…，sr(

)}=在l=0處的結(jié)構(gòu)指數(shù)其中，{s1(

)，..

，sr(

)}中的正指數(shù)之和為G(s)在

處的零點(diǎn)重?cái)?shù)，{s1(

)，..，sr(

)}中的負(fù)指數(shù)之和的絕對(duì)值為G(s)在

處的極點(diǎn)的重?cái)?shù)。返回149.5傳遞函數(shù)矩陣的評(píng)價(jià)值傳遞函數(shù)矩陣在有限復(fù)平面上的評(píng)價(jià)值標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的評(píng)價(jià)值給定其中，{d(s)，n(s)}為互質(zhì)，且均不能為(s-xk)整除，則g(s)在(s-xk)即s=xk處的評(píng)價(jià)值

=

如果g(s)0，則=

。例傳遞函數(shù)矩陣G(s)的評(píng)價(jià)值

|G|i表示G(s)的一個(gè)i

i子式，r=rankG(s)，則規(guī)定

G(s)在s=xk處的第i階評(píng)價(jià)值

=

min{(|G|i)}，i=1，…，r15結(jié)論9.21考慮傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，U(s)和V(s)為單模陣，則其史密斯-麥克米倫形則對(duì)任一xk

C，必成立結(jié)論9.22Spz為傳遞函數(shù)矩陣G(s)有限極點(diǎn)零點(diǎn)集，則對(duì)任一，必有16結(jié)論9.23傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，表{s1(x)，..，sr(x)}為G(s)在s=x處的結(jié)構(gòu)指數(shù)，為G(s)在s=x處的各階評(píng)價(jià)值，則兩者之間成立例傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠(yuǎn)處的評(píng)價(jià)值標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)在

處的評(píng)價(jià)值

=v

(g)

“分母多項(xiàng)式d(s)的次數(shù)”-“分子多項(xiàng)式n(s)的次數(shù)”G(s)在

處的第i階評(píng)價(jià)值v(i)

(G)

min{v

(|G|i)}，i=1，..，r

17結(jié)論9.25傳函矩陣G(s)，r=rankG(s)，{s1()，

，sr()}為G(s)在s=

處的結(jié)構(gòu)指數(shù)，為G(s)在s=

處的各階評(píng)價(jià)值，則兩者之間成立用法：通過計(jì)算G(s)在

處的各階評(píng)價(jià)值來定出G(s)在

處的史密斯-麥克米倫形，其中l(wèi)=1/s。傳遞函數(shù)矩陣的史密斯-麥克米倫形的合成表達(dá)式返回189.6傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項(xiàng)式基零空間設(shè)G(s)為非方的且為非滿秩，則一定存在

G(s)f(s)=0和h(s)G(s)=0所以，G(s)的右零空間為非零向量f(s)在有理分式域上構(gòu)成的一個(gè)向量空間，表之為G(s)的左零空間為非零向量h(s)在有理分式域上構(gòu)成的向量空間，表之為19

零空間的基本屬性r=rankG(s)，0

rmin{p，q}，則G(s)的零空間的維數(shù)滿足dim(Wr)=p–r

和dim(Wl)=q–r；G(s)的右零空間Wr上的任一向量f(s)都正交于G(s)的所有行有理分式向量，G(s)的左零空間Wl上的任一向量h(s)都正交于G(s)的所有列有理分式向量；如果G(s)為列滿秩，即rankG(s)=p，則G(s)右零空間Wr為空，如果G(s)為行滿秩，即rankG(s)=q，則G(s)左零空間Wl為空；G(s)右零空間Wr和左零空間Wl同時(shí)為空的充要條件是G(s)為方的且為非奇異，即detG(s)0；G(s)零空間向量一般為有理分式向量，也包含有多項(xiàng)式向量。20

設(shè)W為G(s)的零空間，設(shè)其維數(shù)dim(W)=a。則任意a個(gè)線性無關(guān)的向量都可被取為零空間的基。若取定的這a個(gè)線性無關(guān)的向量為有理分式向量時(shí)，稱為有理分式基。若這a個(gè)線性無關(guān)的向量為多項(xiàng)式向量時(shí)，稱為多項(xiàng)式基。零空間W的次數(shù)為最小的一個(gè)多項(xiàng)式基稱為最小多項(xiàng)式基。右零空間的最小多項(xiàng)式基可按如下方式來搜索：最小多項(xiàng)式基21從G(s)f(s)=0成立的所有多項(xiàng)式向量f(s)中，選擇次數(shù)為最小的多項(xiàng)式向量，記為f1(s)，其次數(shù)為m1再從f(s)且和f1(s)線性無關(guān)的多項(xiàng)式向量中選擇次數(shù)為最小的多項(xiàng)式向量，記為f2(s)，其次數(shù)為m2重復(fù)上步直到選滿a個(gè)線性無關(guān)的多項(xiàng)式向量{f1(s)，f2(s)，..，fa(s)}最小多項(xiàng)式基{f1(s)，..，fa(s)}的次數(shù)mi滿足m1

m2

..

ma與上述過程類似，左零空間h(s)G(s)=0的最小多項(xiàng)式基{h1(s)，..，hb(s)}，其次數(shù)滿足u1

u2

..

ub。稱{mi，i=1，..，a}為G(s)的右最小指數(shù)，稱{uj，j=1，..，b}為G(s)的左最小指數(shù)。零空間的階數(shù)為其多項(xiàng)式基的所有多項(xiàng)式向量的次數(shù)之和。22最小指數(shù)和克羅內(nèi)克爾指數(shù)結(jié)論9.39設(shè)G(s)=(sE-A)，E和A為常數(shù)矩陣，則必成立：G(s)的右最小指數(shù)=(sE-A)的右克羅內(nèi)克爾指數(shù)G(s)的左最小指數(shù)=(sE-A)的左克羅內(nèi)克爾指數(shù){m1，..，ma}為右克羅內(nèi)克爾指數(shù){u1，..，ub}為左克羅內(nèi)克爾指數(shù)23結(jié)論9.40給定滿列秩的多項(xiàng)式矩陣F(s)：

F(s)=[f1(s)，f2(s)，..，fa(s)]其列次數(shù)滿足：m1

m2

..

ma則下述三種說法是等價(jià)的：(1){f1(s)，..，fa(s)}是由其張成的一個(gè)有理分式向量空間的一個(gè)右最小多項(xiàng)式基；(2)F(s)是列既約的和不可簡約的；(3)F(s)有最小階。左最小多項(xiàng)式基判據(jù)與上類似，意義：為零空間的多項(xiàng)式基是否最小，提供了比較方便的判斷準(zhǔn)則。返回249.7傳遞函數(shù)矩陣的虧數(shù)虧數(shù)給定q

p傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，則G(s)的虧數(shù)定義為G(s)在復(fù)數(shù)平面C上的有限處和無窮遠(yuǎn)處的第r階評(píng)價(jià)值vx(r)(G)的代數(shù)和取負(fù)值，即

G(s)的虧數(shù)=defG(s)標(biāo)量傳遞函數(shù)g(s)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)：

g(s)在有限處和無窮遠(yuǎn)處的極點(diǎn)總數(shù)

=g(s)在有限處和無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)總數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的奇異性，導(dǎo)致上式不再成立。25

虧數(shù)的極點(diǎn)零點(diǎn)不平衡性結(jié)論9.43q

p傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，則必成立defG(s)={G(s)的有限極點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)極點(diǎn)的總數(shù)}-{G(s)的有限零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的總數(shù)}證明：對(duì)給定G(s)，可導(dǎo)出其史密斯-麥克米倫形26正整數(shù)即零點(diǎn)的結(jié)構(gòu)指數(shù)負(fù)整數(shù)即極點(diǎn)的結(jié)構(gòu)指數(shù)原題得證，并可推出結(jié)論9.44虧數(shù)反映G(s)極點(diǎn)零點(diǎn)不平衡性程度；結(jié)論9.45q×p傳函G(s)，極點(diǎn)零點(diǎn)平衡

defG(s)=0；結(jié)論9.46defG(s)=0

G(s)正則，即G(s)為方且detG(s)027

虧數(shù)和最小指數(shù)結(jié)論9.47q

p傳遞函數(shù)矩陣G(s)，r=rankG(s)，則必成立defG(s)={G(s)的右最小指數(shù)之和}+{G(s)的左最小指數(shù)之和}討論：虧數(shù)的大小反映了傳遞函數(shù)矩陣的奇異程度。表明傳遞函數(shù)矩陣的奇異性，在結(jié)構(gòu)特性上呈現(xiàn)為極點(diǎn)總個(gè)數(shù)與零點(diǎn)總個(gè)數(shù)之間的不匹配性；虧數(shù)defG(s)總為正整數(shù)，因此，G(s)為奇異時(shí)，必屬于極點(diǎn)總個(gè)數(shù)多于零點(diǎn)總個(gè)數(shù)的情況；當(dāng)且僅當(dāng)G(s)為方和非奇異時(shí)，有defG(s)=0，極點(diǎn)總個(gè)數(shù)等于零點(diǎn)總個(gè)數(shù)，即G(s)可保持良好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。返回289.8小結(jié)和評(píng)述本章定位：基于傳遞函數(shù)矩陣描述線性時(shí)不變系統(tǒng)的極點(diǎn)零點(diǎn)和奇異性極點(diǎn)和零點(diǎn)：有限和無窮，多輸入多輸出系統(tǒng)的一個(gè)基本屬性是其有限與無窮極點(diǎn)總數(shù)和有限與無窮零點(diǎn)總數(shù)的不平衡奇異性：多種角度分析：G(s)