專題03 全等三角形的六種模型全梳理（原卷版）（人教版）VIP

專題03全等三角形的六種模型全梳理幾何探究類問題一直屬于考試壓軸題范圍，在三角形這一章，壓軸題主要考查是證明三角形各種模型，或證明線段數(shù)量關(guān)系等，接來下我們針對(duì)其做出詳細(xì)分析與梳理。類型一、倍長中線模型目的：=1\*GB3①構(gòu)造出一組全等三角形；=2\*GB3②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中。例1．【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點(diǎn)E，交于F，且．求證：．例2．（培優(yōu)）已知和都是等腰直角三角形，，連接，點(diǎn)F為中點(diǎn)．

(1)如圖1，求證：；(2)將繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，過C點(diǎn)作于M點(diǎn)．①探究和的關(guān)系，并說明理由；②連接，求證：F，C，M三點(diǎn)共線．【變式訓(xùn)練1】如圖，中，，E是的中點(diǎn)，求證：．【變式訓(xùn)練2】（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【變式訓(xùn)練3】（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，DF交于點(diǎn)F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．類型二、截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（往往需證2次全等）例1．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．例2．（培優(yōu)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。咀兪接?xùn)練1】如圖，為等邊三角形，若，則（用含的式子表示）．【變式訓(xùn)練2】如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在直線、上，且．(1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、上時(shí)（如圖1），請(qǐng)說明的理由．(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、延長線上時(shí)（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練3】閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．類型三、一線三等角模型應(yīng)用：①通過證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問題；②與函數(shù)綜合應(yīng)用中有利于點(diǎn)的坐標(biāo)的求解。例1．如圖1，，垂足分別為D，E．(1)若，求的長．(2)在其它條件不變的前提下，將所在直線變換到的外部（如圖2），請(qǐng)你猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖3，將（1）中的條件改為：在中，，D，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，并且有，其中α為任意鈍角，那么（2）中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．例2．在正方形中，點(diǎn)在射線上（不與點(diǎn)，重合），連接，，過點(diǎn)作，并截取（點(diǎn)，在同側(cè)），連接．（1）如圖1，點(diǎn)在邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，點(diǎn)在邊的延長線上，其他條件均不變，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】通過對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_____________．【變式訓(xùn)練2】（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點(diǎn)I．若，則______．類型四、手拉手模型例1．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．例2．（培優(yōu)）如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，，點(diǎn)O是中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線、交于點(diǎn)D、E．(1)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接，求證：；(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練2】已知在中，，過點(diǎn)B引一條射線，D是上一點(diǎn)【問題解決】(1)如圖1，若，射線在內(nèi)部，，求證：，小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)E使得，通過已知的條件，從而求得的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】(2)如圖2，已知．①當(dāng)射線在內(nèi)，求的度數(shù)②當(dāng)射線在下方，如圖3所示，請(qǐng)問的度數(shù)會(huì)變化嗎?若不變，請(qǐng)說明理由，若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)；類型五、半角模型例1．已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．例2．（培優(yōu)）如圖，，，，，．（1）求的度數(shù)；（2）以E為圓心，以長為半徑作?。灰訤為圓心，以長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，試探索的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練1】已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．【變式訓(xùn)練2】（1）如圖，在正方形中，、分別是，上的點(diǎn)，且．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，求證：；（3）如圖，在四邊形中，，，延長到點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，則結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．類型六、旋轉(zhuǎn)模型例．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，，，點(diǎn)E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準(zhǔn)確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．例2．（培優(yōu)）已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點(diǎn)F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．【變式訓(xùn)練1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．【變式訓(xùn)練2】如圖，等邊中，分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：是等邊三角形；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)．①如圖，當(dāng)時(shí)，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的長．課后訓(xùn)練1．已知：如圖，在中，，、分別為、上的點(diǎn)，且、交于點(diǎn)．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．2．在與中，，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)D，B，C在同一直線上，連接，，則與的關(guān)系為________．(2)如果將圖1中的繞點(diǎn)B在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，那么請(qǐng)你判斷與的關(guān)系，并說明理由(3)如圖3，若，，連接，分別取，，的中點(diǎn)M，P，N，連接，，，將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中的面積最大值和最小值．3．問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．4．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到，連接AM、AN、MN．（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形AB