專題22.8 實際問題與二次函數(shù)之六大題型(原卷版)

專題22.8實際問題與二次函數(shù)之六大題型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一拱橋問題】 1【題型二銷售問題】 6【題型三投球問題】 11【題型四噴水問題】 19【題型五圖形問題】 27【題型六圖形運動問題】 33【典型例題】【題型一拱橋問題】例題：（2023·全國·九年級專題練習）鄭州市彩虹橋新橋?qū)⒂?023年9月底建成通車．新橋采用三跨連續(xù)單拱肋鋼箱系桿拱橋，既保留了歷史記憶，又展示出鄭州的開放與創(chuàng)新．新橋的中跨大拱的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，測得拱肋的跨度為120米，與中點O相距30米處有一高度為27米的系桿．以所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標系．

(1)求拋物線的解析式；(2)正中間系桿的長度是多少米？若相鄰系桿之間的間距均為3米（不考慮系桿的粗細），是否存在一根系桿的長度恰好是長度的？請說明理由．【變式訓練】1．（2023秋·山西晉城·九年級?？计谀┤鐖D，有一個橫截面為拋物線形狀的隧道，隧道底部寬為，拱頂內(nèi)高．把截面圖形放在如圖所示的平面直角坐標系中（原點O是的中點）．

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)如果該隧道設(shè)計為車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心黃線兩側(cè)行駛，那么一輛寬，高的大型貨運卡車是否可以通過？為什么？2．（2023·河南鄭州·?？既＃┮蛔鶔佄锞€型拱橋如圖所示，當橋下水面寬度為20米時，拱頂點O距離水面的高度為4米．如圖，以點O為坐標原點，以橋面所在直線為x軸建立平面直角坐標系．

(1)求拋物線的解析式；(2)汛期水位上漲，一艘寬為5米的小船裝滿物資，露出水面部分的高度為3米（橫截面可看作是長為5米，寬為3米的矩形），若它恰好能從這座拱橋下通過，求此時水面的寬度（結(jié)果保留根號）．3．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）某公司生產(chǎn)A型活動板房的成本是每個3500元．圖1表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長，寬，拋物線的最高點E到的距離為．

(1)按圖1中所示的平面直角坐標系，求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)將A型活動板房改造成為B型活動板房．如圖2，在拋物線與之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶，點G、M在上，點F、N在拋物線上，窗戶的成本為150元/．已知，求每個B型活動板房的成本．（每個B型活動板房的成本＝每個A型活動板房的成本＋一扇窗戶的成本）【題型二銷售問題】例題：（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）某超市以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量（千克）與銷售價格（元/千克）之間的關(guān)系、經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如下表：銷售價格（元/千克）3035404550日銷售量（千克）604530150(1)請直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式______；(2)超市應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？(3)超市每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出元（）的相關(guān)費用，當時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為243元，求的值．【變式訓練】1．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）“陽光玫瑰葡萄”品種是近幾年來廣受各地消費者青睞的優(yōu)質(zhì)新品種，在云南省廣泛種植．長沙市某品牌水果經(jīng)銷商計劃在2023年五一期間進行商業(yè)促銷活動，經(jīng)過調(diào)查往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，云南省批發(fā)“陽光玫瑰葡萄”的最低價格為每斤15元．若按每斤30元的價格到市區(qū)銷售，平均每天可售出60斤，若每斤“陽光玫瑰葡萄”的售價每降低1元，那么平均每天的銷售量會增加10斤，為了盡快減少庫存，該水果商決定降價銷售．(1)若降價2元，則每天的銷售利潤是多少元？(2)若該經(jīng)銷商計劃銷售“陽光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“陽光玫瑰葡萄”的售價應(yīng)降低多少元？（其他成本忽略不計）(3)將商品的銷售單價定為多少元時，商場每天銷售該商品獲得的利潤w最大？最大利潤是多少元？2．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種地方特產(chǎn)．已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？(3)如果物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不得高于每千克30元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)定為每千克多少元？3．（2023春·山東東營·八年級東營市實驗中學?？计谥校?022年北京冬奧會期間，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人們的廣泛歡迎．某網(wǎng)店以每套96元的價格購進了一批冰墩墩和雪容融，由于銷售火爆，銷售單價經(jīng)過兩次調(diào)整，從每套150元上漲到每套216元，此時每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)若銷售單價每次上漲的百分率相同，求每次上漲的百分率；(2)預計冬奧會閉幕后需求會有所下降，該網(wǎng)店需盡快將這批冰墩墩和雪容融售出，因此決定降價出售．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價每降低10元，每天可多賣出兩套當銷售單價降低m元時，每天的利潤為W．求當m為何值時利潤最大最大利潤是多少？【題型三投球問題】例題：（2023春·山東東營·八年級東營市實驗中學?？计谥校S實心球是中考體育考試項目之一．如圖1是一名男生擲實心球情境，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．擲出時，起點處高度為．當水平距離為時，實心球行進至最高點處．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)中考體育考試評分標準（男生版），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于時，即可得滿分10分．該男生在此項考試中能否得滿分，請說明理由．【變式訓練】1．（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）小紅為了研究拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離．如圖，用計算機編程模擬顯示，當彈跳球以某種特定的角度和初速度從坐標為的點處拋出后，彈跳球的運動軌跡是拋物線，其最高點的坐標為．彈跳球落到傾斜角為的斜面上反彈后，彈跳球的運動軌跡是拋物線，且開口大小和方向均不變，但最大高度只是拋物線的．

(1)求拋物線的解析式；(2)若斜面被坐標平面截得的截圖與軸的交點的坐標為，求拋物線的對稱軸．2．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學借此情境編制了一道數(shù)學題，請解答這道題．如圖，在平面直角坐標系中，一個單位長度代表1m長．嘉嘉在點處將沙包（看成點）拋出，并運動路線為拋物線的一部分，淇淇恰在點處接住，然后跳起將沙包回傳，其運動路線為拋物線的一部分．

(1)寫出的最高點坐標，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x軸上方的高度上，且到點A水平距離不超過的范圍內(nèi)可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）乒乓球被譽為中國國球．2023年的世界乒乓球標賽中，中國隊包攬了五個項目的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓練和精準的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為（單位：），乒乓球運行的水平距離記為（單位：）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/豎直高度y/(1)在平面直角坐標系中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并畫出表示乒乓球運行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當乒乓球到達最高點時，與球臺之間的距離是__________，當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；(3)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計算出的取值范圍，以利于有針對性的訓練．如圖②．乒乓球臺長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請你計算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計）．4．（2023·河南信陽·校考三模）實心球是中考體育項目之一．在擲實心球時，實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，已知小軍在一次擲實心球訓練中，第一次投擲時出手點距地面1.8m，實心球運動至最高點時距地面3.4m，距出手點的水平距離為4m．設(shè)實心球擲出后距地面的豎直高度為y（m），實心球距出手點的水平距離為x（m）．如圖，以水平方向為x軸，出手點所在豎直方向為y軸建立平面直角坐標系．

(1)求第一次擲實心球時運動路線所在拋物線的表達式．(2)若實心球投擲成績（即出手點與著陸點的水平距離）達到12.4m為滿分，請判斷小軍第一次投擲實心球能否得滿分．(3)第二次投擲時，實心球運動的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．記小軍第一次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，第二次投擲時出手點與著陸點的水平距離為，則______（填“＞”“＜”“＝”）．【題型四噴水問題】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學校聯(lián)考模擬預測）某公司為城市廣場上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點B處，距離地面，噴出的水柱軌跡呈拋物線型．據(jù)此建立如圖的平面直角坐標系．若噴出的水柱軌跡上，任意一點與支柱的水平距離x（單位：）與廣場地面的垂直高度為y（單位：）滿足關(guān)系式，且點在拋物線上

(1)求該拋物線的表達式；(2)求水柱落地點與雕塑的水平距離；(3)為實現(xiàn)動態(tài)噴水效果，廣場管理處決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進：新噴水軌跡形成的拋物線形為，把水柱噴水的半徑（動態(tài)噴水時，點C到的距離）控制在7到14之間，請?zhí)骄扛慕ê髧娝厮淖畲蟾叨取咀兪接柧殹?．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米如圖，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點的坐標；(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍．3．（2023·江西撫州·校聯(lián)考三模）如圖①，有一移動灌溉裝置噴出水柱的路徑可近似地看作一條拋物線，該灌溉裝置的噴水頭到水平地面的距離為1米，噴出的拋物線形水柱對稱軸為直線．用該灌溉裝置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（單位：米）與水柱落地處距離噴水頭的距離x（單位：米）之間的函數(shù)關(guān)系式為，其圖像如圖②所示．已知坡地所在直線經(jīng)過點．

(1)的值為______；(2)若，求水柱與坡面之間的最大鉛直高度；(3)若點B橫坐標為18，水柱能超過點B，則a的取值范圍為______；(4)若時，到噴水頭水平距離為16米的A處有一棵新種的銀杏樹需要被灌溉，園藝工人將灌溉裝置水平向后移動4米，試判斷灌溉裝置能否灌溉到這棵樹，并說明理由．【題型五圖形問題】例題：（2023·全國·九年級專題練習）2023年南寧市公共資源交易中心明確提出將五象站鐵路樞紐接入地鐵4號線．目前4號線剩余的東段（五象火車站-龍崗站）已經(jīng)在建設(shè)中，施工方?jīng)Q定對終點站龍崗站施工區(qū)域中的一條特殊路段進行圍擋施工，先沿著路邊砌了一堵長的磚墻，然后打算用長的鐵皮圍欄靠著墻圍成中間隔有一道鐵皮圍欄（平行于）的長方形施工區(qū)域．

(1)設(shè)施工區(qū)域的一邊為，施工區(qū)域的面積為．請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)當圍成的施工區(qū)域面積為時，的長是多少？(3)該特殊路段圍擋區(qū)域的施工成本為400元/，項目方打算撥款120000元用于施工，請你通過計算判斷項目方的撥款能否夠用．【變式訓練】1．（2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）某景區(qū)要建一個游樂場（如圖所示），其中分別靠現(xiàn)有墻（墻長為27米，墻足夠長），其余用籬笆圍成．籬笆將游樂場隔成等腰直角和長方形兩部分，并在三處各留2米寬的大門．已知籬笆總長為54米．設(shè)的長為x米．(1)則的長為米（用含x的代數(shù)式表達）；(2)當多長時，游樂場的面積為320平方米？(3)直接寫出當為多少米時，游樂場的面積達到最大，最大值為多少平方米？2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間．如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點O，過點O作線段的垂直平分線交拋物線于點E，若以O(shè)點為原點，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．請回答下列問題：(1)如圖，拋物線的頂點，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性