專(zhuān)題22.8 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)之六大題型(原卷版)

專(zhuān)題22.8實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)之六大題型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一拱橋問(wèn)題】 1【題型二銷(xiāo)售問(wèn)題】 6【題型三投球問(wèn)題】 11【題型四噴水問(wèn)題】 19【題型五圖形問(wèn)題】 27【題型六圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】 33【典型例題】【題型一拱橋問(wèn)題】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）鄭州市彩虹橋新橋?qū)⒂?023年9月底建成通車(chē)．新橋采用三跨連續(xù)單拱肋鋼箱系桿拱橋，既保留了歷史記憶，又展示出鄭州的開(kāi)放與創(chuàng)新．新橋的中跨大拱的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，測(cè)得拱肋的跨度為120米，與中點(diǎn)O相距30米處有一高度為27米的系桿．以所在直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的解析式；(2)正中間系桿的長(zhǎng)度是多少米？若相鄰系桿之間的間距均為3米（不考慮系桿的粗細(xì)），是否存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是長(zhǎng)度的？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西晉城·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，有一個(gè)橫截面為拋物線形狀的隧道，隧道底部寬為，拱頂內(nèi)高．把截面圖形放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中（原點(diǎn)O是的中點(diǎn)）．

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果該隧道設(shè)計(jì)為車(chē)輛雙向通行，規(guī)定車(chē)輛必須在中心黃線兩側(cè)行駛，那么一輛寬，高的大型貨運(yùn)卡車(chē)是否可以通過(guò)？為什么？2．（2023·河南鄭州·校考三模）一座拋物線型拱橋如圖所示，當(dāng)橋下水面寬度為20米時(shí)，拱頂點(diǎn)O距離水面的高度為4米．如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以橋面所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的解析式；(2)汛期水位上漲，一艘寬為5米的小船裝滿物資，露出水面部分的高度為3米（橫截面可看作是長(zhǎng)為5米，寬為3米的矩形），若它恰好能從這座拱橋下通過(guò)，求此時(shí)水面的寬度（結(jié)果保留根號(hào)）．3．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）某公司生產(chǎn)A型活動(dòng)板房的成本是每個(gè)3500元．圖1表示A型活動(dòng)板房的一面墻，它由長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，寬，拋物線的最高點(diǎn)E到的距離為．

(1)按圖1中所示的平面直角坐標(biāo)系，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)將A型活動(dòng)板房改造成為B型活動(dòng)板房．如圖2，在拋物線與之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長(zhǎng)方形窗戶，點(diǎn)G、M在上，點(diǎn)F、N在拋物線上，窗戶的成本為150元/．已知，求每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本．（每個(gè)B型活動(dòng)板房的成本＝每個(gè)A型活動(dòng)板房的成本＋一扇窗戶的成本）【題型二銷(xiāo)售問(wèn)題】例題：（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某超市以30元/千克的價(jià)格收購(gòu)一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷(xiāo)售，為了得到日銷(xiāo)售量（千克）與銷(xiāo)售價(jià)格（元/千克）之間的關(guān)系、經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查獲得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：銷(xiāo)售價(jià)格（元/千克）3035404550日銷(xiāo)售量（千克）604530150(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式______；(2)超市應(yīng)該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格，才能使日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？(3)超市每銷(xiāo)售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出元（）的相關(guān)費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為243元，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）“陽(yáng)光玫瑰葡萄”品種是近幾年來(lái)廣受各地消費(fèi)者青睞的優(yōu)質(zhì)新品種，在云南省廣泛種植．長(zhǎng)沙市某品牌水果經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃在2023年五一期間進(jìn)行商業(yè)促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)調(diào)查往年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，云南省批發(fā)“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的最低價(jià)格為每斤15元．若按每斤30元的價(jià)格到市區(qū)銷(xiāo)售，平均每天可售出60斤，若每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的售價(jià)每降低1元，那么平均每天的銷(xiāo)售量會(huì)增加10斤，為了盡快減少庫(kù)存，該水果商決定降價(jià)銷(xiāo)售．(1)若降價(jià)2元，則每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？(2)若該經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃銷(xiāo)售“陽(yáng)光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“陽(yáng)光玫瑰葡萄”的售價(jià)應(yīng)降低多少元？（其他成本忽略不計(jì)）(3)將商品的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷(xiāo)售該商品獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少元？2．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)一種地方特產(chǎn)．已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？(3)如果物價(jià)部門(mén)規(guī)定這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)不得高于每千克30元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？3．（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）2022年北京冬奧會(huì)期間，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到人們的廣泛歡迎．某網(wǎng)店以每套96元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)了一批冰墩墩和雪容融，由于銷(xiāo)售火爆，銷(xiāo)售單價(jià)經(jīng)過(guò)兩次調(diào)整，從每套150元上漲到每套216元，此時(shí)每天可售出16套冰墩墩和雪容融．

(1)若銷(xiāo)售單價(jià)每次上漲的百分率相同，求每次上漲的百分率；(2)預(yù)計(jì)冬奧會(huì)閉幕后需求會(huì)有所下降，該網(wǎng)店需盡快將這批冰墩墩和雪容融售出，因此決定降價(jià)出售．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)每降低10元，每天可多賣(mài)出兩套當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)降低m元時(shí)，每天的利潤(rùn)為W．求當(dāng)m為何值時(shí)利潤(rùn)最大最大利潤(rùn)是多少？【題型三投球問(wèn)題】例題：（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校S實(shí)心球是中考體育考試項(xiàng)目之一．如圖1是一名男生擲實(shí)心球情境，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．?dāng)S出時(shí)，起點(diǎn)處高度為．當(dāng)水平距離為時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)處．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)中考體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（男生版），投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于時(shí)，即可得滿分10分．該男生在此項(xiàng)考試中能否得滿分，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）小紅為了研究拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離．如圖，用計(jì)算機(jī)編程模擬顯示，當(dāng)彈跳球以某種特定的角度和初速度從坐標(biāo)為的點(diǎn)處拋出后，彈跳球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，其最高點(diǎn)的坐標(biāo)為．彈跳球落到傾斜角為的斜面上反彈后，彈跳球的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，且開(kāi)口大小和方向均不變，但最大高度只是拋物線的．

(1)求拋物線的解析式；(2)若斜面被坐標(biāo)平面截得的截圖與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的對(duì)稱軸．2．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戲．某同學(xué)借此情境編制了一道數(shù)學(xué)題，請(qǐng)解答這道題．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1m長(zhǎng)．嘉嘉在點(diǎn)處將沙包（看成點(diǎn)）拋出，并運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分，淇淇恰在點(diǎn)處接住，然后跳起將沙包回傳，其運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分．

(1)寫(xiě)出的最高點(diǎn)坐標(biāo)，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x軸上方的高度上，且到點(diǎn)A水平距離不超過(guò)的范圍內(nèi)可以接到沙包，求符合條件的n的整數(shù)值．3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）乒乓球被譽(yù)為中國(guó)國(guó)球．2023年的世界乒乓球標(biāo)賽中，中國(guó)隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績(jī)的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開(kāi)的．如圖，是乒乓球臺(tái)的截面示意圖，一位運(yùn)動(dòng)員從球臺(tái)邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對(duì)面球臺(tái)，乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺(tái)的豎直高度記為（單位：），乒乓球運(yùn)行的水平距離記為（單位：）．測(cè)得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/豎直高度y/(1)在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫(huà)出表示乒乓球運(yùn)行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是__________，當(dāng)乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是__________；②求滿足條件的拋物線解析式；(3)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過(guò)網(wǎng)，又能落在對(duì)面球臺(tái)上，需要計(jì)算出的取值范圍，以利于有針對(duì)性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺(tái)長(zhǎng)為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出乒乓球恰好過(guò)網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請(qǐng)你計(jì)算出乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計(jì)）．4．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃?shí)心球是中考體育項(xiàng)目之一．在擲實(shí)心球時(shí)，實(shí)心球被擲出后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分，已知小軍在一次擲實(shí)心球訓(xùn)練中，第一次投擲時(shí)出手點(diǎn)距地面1.8m，實(shí)心球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)時(shí)距地面3.4m，距出手點(diǎn)的水平距離為4m．設(shè)實(shí)心球擲出后距地面的豎直高度為y（m），實(shí)心球距出手點(diǎn)的水平距離為x（m）．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，出手點(diǎn)所在豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系．

(1)求第一次擲實(shí)心球時(shí)運(yùn)動(dòng)路線所在拋物線的表達(dá)式．(2)若實(shí)心球投擲成績(jī)（即出手點(diǎn)與著陸點(diǎn)的水平距離）達(dá)到12.4m為滿分，請(qǐng)判斷小軍第一次投擲實(shí)心球能否得滿分．(3)第二次投擲時(shí)，實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．記小軍第一次投擲時(shí)出手點(diǎn)與著陸點(diǎn)的水平距離為，第二次投擲時(shí)出手點(diǎn)與著陸點(diǎn)的水平距離為，則______（填“＞”“＜”“＝”）．【題型四噴水問(wèn)題】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某公司為城市廣場(chǎng)上一雕塑安裝噴水裝置．噴水口位于雕塑的頂端點(diǎn)B處，距離地面，噴出的水柱軌跡呈拋物線型．據(jù)此建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．若噴出的水柱軌跡上，任意一點(diǎn)與支柱的水平距離x（單位：）與廣場(chǎng)地面的垂直高度為y（單位：）滿足關(guān)系式，且點(diǎn)在拋物線上

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)求水柱落地點(diǎn)與雕塑的水平距離；(3)為實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)噴水效果，廣場(chǎng)管理處決定對(duì)噴水設(shè)施做如下設(shè)計(jì)改進(jìn)：新噴水軌跡形成的拋物線形為，把水柱噴水的半徑（動(dòng)態(tài)噴水時(shí)，點(diǎn)C到的距離）控制在7到14之間，請(qǐng)?zhí)骄扛慕ê髧娝厮淖畲蟾叨取咀兪接?xùn)練】1．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）一名運(yùn)動(dòng)員在高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度與離起跳點(diǎn)A的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)離水面的距離為．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，一灌溉車(chē)正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米如圖，可以把灌溉車(chē)噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為米，高出噴水口米，灌溉車(chē)到綠化帶的距離為米．(1)求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)要使灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求的取值范圍．3．（2023·江西撫州·校聯(lián)考三模）如圖①，有一移動(dòng)灌溉裝置噴出水柱的路徑可近似地看作一條拋物線，該灌溉裝置的噴水頭到水平地面的距離為1米，噴出的拋物線形水柱對(duì)稱軸為直線．用該灌溉裝置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（單位：米）與水柱落地處距離噴水頭的距離x（單位：米）之間的函數(shù)關(guān)系式為，其圖像如圖②所示．已知坡地所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)的值為_(kāi)_____；(2)若，求水柱與坡面之間的最大鉛直高度；(3)若點(diǎn)B橫坐標(biāo)為18，水柱能超過(guò)點(diǎn)B，則a的取值范圍為_(kāi)_____；(4)若時(shí)，到噴水頭水平距離為16米的A處有一棵新種的銀杏樹(shù)需要被灌溉，園藝工人將灌溉裝置水平向后移動(dòng)4米，試判斷灌溉裝置能否灌溉到這棵樹(shù)，并說(shuō)明理由．【題型五圖形問(wèn)題】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）2023年南寧市公共資源交易中心明確提出將五象站鐵路樞紐接入地鐵4號(hào)線．目前4號(hào)線剩余的東段（五象火車(chē)站-龍崗站）已經(jīng)在建設(shè)中，施工方?jīng)Q定對(duì)終點(diǎn)站龍崗站施工區(qū)域中的一條特殊路段進(jìn)行圍擋施工，先沿著路邊砌了一堵長(zhǎng)的磚墻，然后打算用長(zhǎng)的鐵皮圍欄靠著墻圍成中間隔有一道鐵皮圍欄（平行于）的長(zhǎng)方形施工區(qū)域．

(1)設(shè)施工區(qū)域的一邊為，施工區(qū)域的面積為．請(qǐng)求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)圍成的施工區(qū)域面積為時(shí)，的長(zhǎng)是多少？(3)該特殊路段圍擋區(qū)域的施工成本為400元/，項(xiàng)目方打算撥款120000元用于施工，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷項(xiàng)目方的撥款能否夠用．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）某景區(qū)要建一個(gè)游樂(lè)場(chǎng)（如圖所示），其中分別靠現(xiàn)有墻（墻長(zhǎng)為27米，墻足夠長(zhǎng)），其余用籬笆圍成．籬笆將游樂(lè)場(chǎng)隔成等腰直角和長(zhǎng)方形兩部分，并在三處各留2米寬的大門(mén)．已知籬笆總長(zhǎng)為54米．設(shè)的長(zhǎng)為x米．(1)則的長(zhǎng)為米（用含x的代數(shù)式表達(dá)）；(2)當(dāng)多長(zhǎng)時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積為320平方米？(3)直接寫(xiě)出當(dāng)為多少米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積達(dá)到最大，最大值為多少平方米？2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．如圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作線段的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)如圖，拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性