54四川省成都市郫都區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

郫都區(qū)2023—2024學(xué)年度上期期中考試高二數(shù)學(xué)說明：1．本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時間120分鐘．2．所有試題均在答題卡相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的．）1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．不存在2．一支野外科學(xué)考察隊(duì)有男隊(duì)員56人，女隊(duì)員42人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全體隊(duì)員中抽出一個容量為28的樣本，如果樣本按比例分配，那么下面說法正確的為（）A．女隊(duì)員應(yīng)抽取6人 B．女隊(duì)員應(yīng)抽取14人C．男隊(duì)員應(yīng)抽取12人 D．男隊(duì)員應(yīng)抽取16人3．平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在右圖兩種分布形態(tài)中，分別對應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對應(yīng)關(guān)系是（）abcdA．為中位數(shù)，為平均數(shù)，為平均數(shù)，為中位數(shù)B．為平均數(shù)，為中位數(shù)，為平均數(shù)，為中位數(shù)C．為中位數(shù)，為平均數(shù)，為中位數(shù)，為平均數(shù)D．為平均數(shù)，為中位數(shù)，為中位數(shù)，為平均數(shù)4．直線過點(diǎn)，則直線與軸、軸的正半軸圍成的三角形的面積最小值為（）A．9 B．12 C．18 D．245．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)各自的統(tǒng)計結(jié)果的數(shù)字特征，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為3 B．平均數(shù)為3，中位數(shù)為3C．中位數(shù)為2，極差為2 D．平均數(shù)為2，標(biāo)準(zhǔn)差為26．為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校甲、乙兩個班共70人（甲班40人，乙班30人）參加了共產(chǎn)主義青年團(tuán)知識競賽，甲班的平均成績?yōu)?7分，方差為123，乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為130，則甲、乙兩班全部同學(xué)的成績的方差為（）A．74 B．129 C．136 D．138更多免費(fèi)優(yōu)質(zhì)滋源請家威杏MXSJ6637．小趙同學(xué)準(zhǔn)備了四個游戲，四個游戲中的不透明的盒子中均裝有3個白球和2個紅球（小球除顏色外都相同），游戲規(guī)則如下表所示：游戲1游戲2游戲3游戲4取球規(guī)則一次性取一個，取一次一次性取兩個，取一次一次性取一個，不放回地取兩次一次性取一個，有放回地取兩次獲勝規(guī)則取到紅球→小趙勝取到白球→小趙敗兩球不同色→小趙勝兩球同色→小趙敗兩球不同色→小趙勝兩球同色→小趙敗兩球不同色→小趙勝兩球同色→小趙敗若你和小趙同學(xué)玩這四個游戲中的一個，你想獲勝，則應(yīng)該選（）A．游戲1 B．游戲2 C．游戲3 D．游戲48．已知在中，其中的平分線所在的直線方程為，則的面積為（）A． B． C．8 D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9．已知事件，且，則（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果與相互獨(dú)立，那么D．如果與相互獨(dú)立，那么10．下列結(jié)論正確的有（）A．直線與直線之間的距離為5B．若一直線的方向向量為，則此直線傾斜角為C．若直線與直線平行，則D．已知點(diǎn)，若直線與線段相交，則的取值范圍是11．2022年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國2021年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，在以習(xí)近平同志為核心的黨中央堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，各地區(qū)各部門沉著應(yīng)對百年變局和世紀(jì)疫情，構(gòu)建新發(fā)展格局，實(shí)現(xiàn)了“十四五”良好開局．2021年，全國居民人均可支配收入和消費(fèi)支出均較上一年有所增長，結(jié)合如下統(tǒng)計圖表，下列說法中正確的是（）圖1：2017—2021年全國居民人均可支配收入及其增長速度圖2：2021年全國居民人均消費(fèi)支出及其構(gòu)成A．2017-2021年全國居民人均可支配收入逐年遞增B．2020年全國居民人均可支配收入較前一年下降C．2021年全國居民人均消費(fèi)支出24000元D．2021年全國居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成中食品煙酒和居住占比超過12．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且以為方向向量，是直線上的任意一點(diǎn)且其坐標(biāo)滿足，稱為直線的方程；（2）若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)且其坐標(biāo)滿足，稱為平面的方程．設(shè)直線的方程為，平面的方程為，，則（）A．B．直線與平面所成角的余弦值為C．到平面的距離為D．向量是平面內(nèi)的任意一個向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得，其中．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指定的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知點(diǎn)是點(diǎn)在平面上的射影，則等于______．14．二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計學(xué)家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是，繳獲的該月生產(chǎn)的輛坦克編號從小到大為，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，因?yàn)樯a(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，相當(dāng)于從中隨機(jī)抽取的個整數(shù)，這個數(shù)將區(qū)間分成個小區(qū)間，由于是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他個區(qū)間都是已知的．由于這個數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以可以用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進(jìn)而得到的估計值．例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計學(xué)家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為______．15．小明設(shè)計如下的方案測二面角大?。喝鐖D，設(shè)斜坡面與水平面的交線為，小明分別在水平面和斜坡面選取兩點(diǎn)，且到直線的距離到直線的距離，則二面角的大小為______．16．已知正四棱錐的所有棱長均為為的中點(diǎn)，則線段上的動點(diǎn)到直線的距離的最小值為______．四、解答題（本大題共6小題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）如圖，平行六面體的底面是菱形，且（1）用空間的一個基底表示，并求的長；（2）求異面直線與所成角的余弦值．18．（本小題滿分12分）為了解學(xué)校食堂的滿意度，某調(diào)查小組在高一和高二兩個年級各隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行問卷計分調(diào)查（滿分100分），得分如下所示：高一：高二：（1）求高一年級問卷計分調(diào)查平均數(shù)，估計高一年級學(xué)生問卷計分調(diào)查的第70百分位數(shù)；（2）若規(guī)定打分在86分及以上的為滿意，少于86分的為不滿意，從上述滿意的學(xué)生中任取2人，先列出所有可能的結(jié)果，再計算這2人來自同一年級的概率．19．（本小題滿分12分）已知直線．（1）若直線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線在軸上的截距是它在軸上截距的2倍，求直線的方程．20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，是的中點(diǎn)，平面平面．（1）判斷與的位置關(guān)系并給予證明；（2）求到平面的距離．21．（本小題滿分12分）從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“”模式．“3”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學(xué)科中“首選”一門學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計入高考成績；“2”指考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門學(xué)科中“再選”兩門學(xué)科，以等級分計入高考成績．按照方案，再選學(xué)科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為，計算結(jié)果四舍五入取整．某次化學(xué)考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如右圖所示：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計此次化學(xué)考試成績的平均值；（2）按照等級分賦分規(guī)則，估計此次考試化學(xué)成績等級的原始分區(qū)間；（3）用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成績的原始分為60，試計算其等級分．22．（本小題滿分12分）如圖甲，已知在長方形中，為的中點(diǎn)．將沿折起，如圖乙，使得平面．甲乙（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，點(diǎn)在何位置時，二面角的余弦值為．參考答案：1-4BDAB5-8CDAC9．ABD10．BC11．AC12．ACD13．14．2415．120°16．17．（1）由題，，，構(gòu)成空間的一個基底．因?yàn)?，所以，所以．?）又，，所以∴∴異面直線與所成的角為，余弦值為0．18．（1）高一年級問卷計分調(diào)查平均數(shù)：，將高一調(diào)查的數(shù)據(jù)從小到大排列：64，72，75，78，78，79，85，86，91，92，∴，所以第7位數(shù)和第8位數(shù)的平均數(shù)位第70百分位數(shù)，即．（2）高一年級滿意的有3個，記為，高二年級滿意的有2個，記為，則從上述滿意的學(xué)生中任取2人，基本事件有共有10個，設(shè)事件“上述滿意的學(xué)生中任取2人，求這2人來自同一級”為，則包含，共有4個，故．19．（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得或.（2）令，得，令，，由題意知，解得或，所以直線的方程為或（或者找出恒過點(diǎn)，利用截距式方程求解）20.【詳解】（1）證明：∵底面為正方形，∴，∵平面，平面∴平面，∵平面﹐平面平面∴（2）取的中點(diǎn)，連接，∵為正三角形，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，底面故到底面的距離為：，且，則∵，則，即：，故，又是的中點(diǎn)，所以到平面的距離為.（或者建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)面距離公式直接求解）21.（1）由，可得，此次化學(xué)考試成績的平均值為分．（2）由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，因?yàn)槌煽僂等級占比為，成績D等級占比為所以等級D的原始分區(qū)間的左端點(diǎn)位