信號與系統(tǒng)(第二章)

LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示主要內(nèi)容：信號的時(shí)域分解——用表示離散時(shí)間信號用表示連續(xù)時(shí)間信號

LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積積分與卷積和

LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示奇異函數(shù)第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)2021/5/91引言(Introduction)基本思想：如果能把任意輸入信號分解成基本信號的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對任意輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合LTI系統(tǒng)特點(diǎn):齊次性和可加性，具有時(shí)不變性信號與系統(tǒng)分析理論與方法的基礎(chǔ)2021/5/92問題的實(shí)質(zhì)：1.研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成任意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組合來構(gòu)成任意信號2.如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)

作為基本單元的信號應(yīng)滿足以下要求：1.本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號2.LTI系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得2021/5/93如果解決了信號分解的問題，即：若有則將信號分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法分析方法：2021/5/94

離散時(shí)間信號中,最簡單的是,可以由它的線性組合構(gòu)成，即：2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和一.用單位脈沖表示離散時(shí)間信號

對任何離散時(shí)間信號,如果每次從其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將信號拆開來，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖（Discrete-TimeLTISystems:TheConvolutionSum）2021/5/95于是有：上式把任意一個(gè)序列表示成一串移位的單位脈沖序列的線性組合，其中是權(quán)因子二.卷積和（Convolutionsum）

定義：離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)(impulseresponse)

LTI2021/5/96時(shí)不變性齊次性LTILTI可加性LTI2021/5/97LTI系統(tǒng)對任何輸入信號

的響應(yīng)：上面這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積和（Theconvolutionsum）這表明：一個(gè)LTI系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)都可以由它的單位脈沖響應(yīng)來表示卷積的意義：單位脈沖響應(yīng)完全表征LTI系統(tǒng)的特性2021/5/98三.卷積和的計(jì)算計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）2021/5/99解析法求例：2021/5/910例：求例：求2021/5/911...例：2021/5/912圖解法將一個(gè)信號不動(dòng)，另一個(gè)信號經(jīng)反轉(zhuǎn)后為,再隨參變量移位。在每個(gè)值的情況下，將

與

對應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加，即得到

時(shí)刻的

可分解為四步，對f

(n)=x(n)＊h(n)（1）換元：n換為k→得x(k)，h(k)（2）反轉(zhuǎn)平移：由h(k)反轉(zhuǎn)→h(–k)右移n位→h(n–k)（3）乘積：x(k)h(n–k)（4）求和：k從–∞到∞對乘積項(xiàng)求和注意：n為參變量2021/5/9132021/5/914例2：解：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i)，再右移k→f2(k–i)2021/5/915（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對乘積項(xiàng)求和2021/5/916①

時(shí)，②

時(shí)，所以2021/5/917例3：

2021/5/918①

時(shí)，②

時(shí)，③

時(shí)，④

時(shí)，⑤

時(shí)，2021/5/919分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：①與的所有各點(diǎn)都要遍乘一次

②在遍乘后，各點(diǎn)相加時(shí)，根據(jù)

，參與相加的各點(diǎn)都具有與的宗量之和為的特點(diǎn)。

列表法2021/5/920通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。

2021/5/921四.卷積和運(yùn)算的性質(zhì)1.交換律：結(jié)論：

一個(gè)單位沖激響應(yīng)是h[n]的LTI系統(tǒng)對輸入信號x[n]所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是x[n]的LTI系統(tǒng)對輸入信號h[n]所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。2021/5/9222.結(jié)合律:2021/5/923

兩個(gè)LTI系統(tǒng)級聯(lián)可以等效為一個(gè)單一系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個(gè)級聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積兩個(gè)級聯(lián)的LTI系統(tǒng)總的單位脈沖響應(yīng)與其中各部分級聯(lián)的次序無關(guān)結(jié)論：2021/5/9243.分配律：2021/5/925結(jié)論：

兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)可以用一個(gè)單一的LTI系統(tǒng)來等效，該單個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于并聯(lián)的各個(gè)子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)之和2021/5/9264.卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：卷積和滿足差分、求和及時(shí)移特性：2021/5/927連續(xù)時(shí)間信號（Continuous-TimeLTISystems:Theconvolutionintegral）一.用沖激信號表示連續(xù)時(shí)間信號2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分基本信號的線性組合如何分解？

2021/5/928用基本脈沖表示任意位置、高度的脈沖002021/5/929用基本脈沖表示連續(xù)時(shí)間信號2021/5/930時(shí)不變性齊次性LTILTI可加性LTILTI系統(tǒng)2021/5/931二.卷積積分（Theconvolutionintegral）定義：連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)LTI0102021/5/932表明:連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)來表征。——卷積積分2021/5/933三.卷積積分的計(jì)算

卷積積分的計(jì)算：圖解法、解析法和數(shù)值解法。運(yùn)算過程：1.參與卷積的兩個(gè)信號中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量移動(dòng)。2對每一個(gè)的值，將和對應(yīng)相乘3再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。

注意：確定積分區(qū)間和積分上下限2021/5/934例1:

①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)

時(shí)，所以：2021/5/935例2:

2021/5/936①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)

時(shí)，③當(dāng)

時(shí)，④當(dāng)

時(shí)，⑤當(dāng)

時(shí)，2021/5/937四.卷積積分運(yùn)算的性質(zhì)1.交換律：結(jié)論：

一個(gè)單位沖激響應(yīng)是h(t)的LTI系統(tǒng)對輸入信號x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是x(t)的LTI系統(tǒng)對輸入信號h(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。2021/5/9382.分配律：結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和。2021/5/9393.結(jié)合律:2021/5/940

兩個(gè)LTI系統(tǒng)級聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。

由于卷積運(yùn)算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。結(jié)論：2021/5/9414.卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：②若，則卷積積分滿足微分、積分及時(shí)移特性：①若，則2021/5/942將微分一次有:例如：2.2中的例2根據(jù)微分特性有:*2021/5/943利用積分特性即可得:2021/5/9442.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.無記憶性和記憶性：

LTI系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激/脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。因此必須有：即：（PropertiesofLinearTime-InvariantSystems）2021/5/945所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：

如果LTI系統(tǒng)的單位沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。2.可逆性：

如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。2021/5/946因此有：例如：延時(shí)器是可逆的LTI系統(tǒng)，，其逆系統(tǒng)是，顯然有：

累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是，顯然也有：2021/5/9473.因果性：對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有:這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。因此必須有：即：2021/5/948根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由，若有界，則;若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求必有界，由對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有:

這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件4.穩(wěn)定性：可知，必須有:2021/5/9495.LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對或所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有:LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。

2021/5/9502.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)

在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。(CausalLTISystemsDescribedbyDifferentialandDifferenceEquations)2021/5/951回顧：分析動(dòng)態(tài)電路的過渡過程例：求uc根據(jù)KVL列出回路方程為：由于電容的VCR為：得到以電容電壓為變量的電路方程：解：一階RC串聯(lián)電路系統(tǒng)分析：根據(jù)KCL、KVL和VCR關(guān)系建立電路方程來描述電路系統(tǒng)2021/5/952回顧：一階微分方程的求解解的結(jié)構(gòu)：齊次通解＋特解特解中的系數(shù)，由特解代入方程求出通解中的系數(shù)由初始條件求出2021/5/953二階系統(tǒng)的微分方程描述(1)以iL為變量(2)以uc為變量

回顧：二階RLC串聯(lián)電路系統(tǒng)2021/5/954

求解該微分方程，通常是求出通解和一個(gè)特解，則。一.線性常系數(shù)微分方程(LCCDE)（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation）均為常數(shù)例：已知LTI系統(tǒng)，且系統(tǒng)滿足初始松弛條件，即

ift≤0，x(t)＝0

then

t≤0，y(t)＝0零狀態(tài)2021/5/955數(shù)字系統(tǒng)描述：三階數(shù)字回聲系統(tǒng)延時(shí)p1p0數(shù)字語音信號x[n]延時(shí)延時(shí)p2p3延時(shí)-d2-d1延時(shí)-d3有回聲的數(shù)字語音y[n]延時(shí)2021/5/956二.線性常系數(shù)差分方程(LCCDE):(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation)

一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：可以將其改寫為：若要求除了要知道所有的輸入外，還必須知道。由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursiveequation）2021/5/957當(dāng)時(shí)，差分方程變?yōu)椋呵蠼夥匠滩辉傩枰\(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursiveequation），其系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為：系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是有限長的LTI系統(tǒng)稱為

FIR（Finite

ImpulseResponse）系統(tǒng)2021/5/958當(dāng)時(shí)，為遞歸方程描述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無限長的序列，稱該LTI系統(tǒng)為IIR（InfiniteImpulseResponse)系統(tǒng)FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩類重要系統(tǒng)2021/5/9591.離散時(shí)間系統(tǒng)的三種基本網(wǎng)絡(luò)單元：①相加器③單位延遲②乘以系數(shù)例：因果系統(tǒng)，建立該系統(tǒng)的方框圖表示三.系統(tǒng)的方框圖表示2021/5/960

2.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)單元①相加器②乘以系數(shù)③微分器④積分器2021/5/961但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。例：已知因果LTI系統(tǒng)：2021/5/962

在第一章介紹單位沖激時(shí)，采用極限的觀點(diǎn)，將視為在時(shí)的極限。這種定義或描述的方法在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢杂性S多不同函數(shù)在時(shí)都表現(xiàn)為與有相同的特性。（Singularityfunction）例如:以下信號的面積都等于1，而且在時(shí)，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。2.5奇異函數(shù)2021/5/9