專題12 二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題專訓(xùn)（原卷版）

專題12二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題專訓(xùn)【題型目錄】題型一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題題型二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題題型三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題題型四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問(wèn)題題型五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題題型六二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題題型七二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題題型八二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題【經(jīng)典例題一二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題】【例1】（2023秋·陜西安康·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P在所在直線下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)D．

備用圖(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)連接，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）拋物線經(jīng)過(guò)A、、三點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接、、、．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使為直角三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求n的值和拋物線的解析式．(2)已知P是拋物線上位于直線下方的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．當(dāng)a為何值時(shí)，的面積最大，并求出其最大值．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023春·山東菏澤·九年級(jí)菏澤市牡丹區(qū)第二十一初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與y軸交于點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過(guò)點(diǎn)P作軸，交線段于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)，的長(zhǎng)度為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求l的最大值；(3)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題】【例2】（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖，連接，，．試判定的形狀，并說(shuō)明理由；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式；(2)在軸是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)平移拋物線，平移后的頂點(diǎn)為，如果，設(shè)直線，在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線的均隨的增大而增大，求的取值范圍．2．（2023春·廣東云浮·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)．(1)求拋物線的對(duì)稱軸和直線的解析式．(2)過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)D，求的最大值和此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023秋·吉林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，并且與軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)直接寫(xiě)出直線的解析式為_(kāi)__________；(3)若點(diǎn)是第一象限的拋物線上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值；(4)在軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)，使以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題三二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題】【例3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，E為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，D，F(xiàn)為拋物線上的點(diǎn)（點(diǎn)D位于對(duì)稱軸左側(cè)），且四邊形為正方形．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，求正方形的面積；(3)如圖2，連接，與交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若P為拋物線上一點(diǎn)，Q為直線上一點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)均位于直線下方，當(dāng)是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·寧夏銀川·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求B，C，D三點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，拋物線上有E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且EF//x軸，當(dāng)△DEF是等腰直角三角形時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；(3)如圖2，連接BC，在直線BC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)．2．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)文昌中學(xué)?？计谀┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出四邊形，并求出四邊形的面積；(3)點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．若是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出其中一種情況的計(jì)算過(guò)程．3．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(a為常數(shù)，且)，此拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合．

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線_______；(2)當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，①求此拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)(m為常數(shù))時(shí)，y的最小值為，求m的值；(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，當(dāng)以點(diǎn)A，B，P三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出a的值．【經(jīng)典例題四二次函數(shù)中特殊角度的存在性問(wèn)題】【例4】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線M交x軸于與兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)．(1)求出拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)（在上方），使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線的下方，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接，求四邊形面積的最大值．2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究拋物線與軸交于A，兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)A移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，作直線，是直線上方拋物線上一點(diǎn)，連接，，是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)拿娣e最大，且是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖2，連接，，是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)在上方二次函數(shù)圖象上，且的面積等于6，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題五二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題】【例5】（2023秋·山西大同·九年級(jí)大同一中校考期末）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求出拋物線與直線的解析式；(2)已知點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，連接、，求的最大面積；(3)若點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸相交于點(diǎn)，，頂點(diǎn)為A點(diǎn)，連接．

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)和的度數(shù)；(2)將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線其頂點(diǎn)為連接和，把沿翻折得到四邊形，試判斷其形狀，說(shuō)明理由；(3)在（2）的情況下，判斷點(diǎn)是否在拋物線上，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，直線過(guò)點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線于點(diǎn)N．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，M，N，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在；說(shuō)明理由3．（2023春·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在直線的下方的拋物線上存在一點(diǎn)M，使得的面積最大，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)(3)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，作交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題】【例6】（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考二模）圖1是一塊鐵皮材料的示意圖，線段長(zhǎng)為，曲線是拋物線的一部分，頂點(diǎn)C在的垂直平分線上，且到的距離為．以中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求圖2中拋物線的表達(dá)式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；(2)要從此材料中裁出一個(gè)矩形，使得矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，求滿足條件的矩形周長(zhǎng)的最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)D為直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G；交直線于點(diǎn)E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求的最大值；(3)過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)F，H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．2．（2023·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)．點(diǎn)D為拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)Q．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，在點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程中，存在，求出m值；(3)在拋物線上取點(diǎn)E，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)F，問(wèn)是否存在以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線解析式，并直接寫(xiě)出直線的解析式；(2)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(3)若點(diǎn)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)點(diǎn)在拋物線上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題七二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題】【例7】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，已知經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線與軸交于點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若線段上有一動(dòng)點(diǎn)不與、重合，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)．①求當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為菱形？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：與x軸交于，兩點(diǎn)，其對(duì)稱軸直線l與x軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L向左平移得到拋物線，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，M為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到，距離相等時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023秋·重慶南川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時(shí)四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題】【例8】（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸與拋