2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題三數(shù)列的綜合問題課件

專題三數(shù)列的綜合問題

數(shù)列是歷年高考的熱點(diǎn)，根據(jù)近幾年高考試題統(tǒng)計(jì)，全國卷中的數(shù)列與三角函數(shù)基本上交替考查，難度不大.考查多從等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩個(gè)特殊的數(shù)列入手，考查內(nèi)容主要集中在兩個(gè)方面：一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)，題目多為常規(guī)試題；二是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題，有時(shí)結(jié)合函數(shù)、方程、不等式等進(jìn)行綜合考查，涉及內(nèi)容較為全面，試題題型規(guī)范、方法可循.題型一等差、等比數(shù)列的綜合問題

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用時(shí)常出現(xiàn)在全國各地高考試卷中，主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念、基本公式、基本性質(zhì)及基本運(yùn)算，對于Sn與an的關(guān)系式，備考復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該予以重視.[例1](2022年濱州市模擬)已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S100.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閎2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.又因?yàn)閍n＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n.(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n-1＝，即bn是數(shù)列{an}中的第2n-1項(xiàng).設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Pn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Qn，因?yàn)閎7＝＝a64，b8＝

＝a128，所以數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)是由數(shù)列{an}的前107項(xiàng)去掉數(shù)列{bn}的前7項(xiàng)后構(gòu)成的，

【題后反思】對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系.數(shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d＞0證明不等式成立.另外本題在探求{an}與{cn}的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法.【互動(dòng)探究】1.已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍1＝1，a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2.所以an＝2n－1.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9.又因?yàn)閎1＝1，所以q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n-2＝3n-1.題型二數(shù)列與不等式的綜合問題

數(shù)列與不等式知識相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明.在解決這些問題時(shí)，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法等.如果是解不等式問題，要使用不等式的各種不同解法，如數(shù)軸法、因式分解法等.解：若選擇條件①，令2n－6>0，得n>3，bn>0；令2n－6<0，又n∈N*，∴0<n<3，bn<0.∵2Sn＝3n+1－3，∴2Sn＋1＝3n+2－3，則2Sn＋1－2Sn＝3n+2－3n+1，得2an＋1＝3·3n+1－3n+1＝2×3n+1，則an＋1＝3n+1，an＝3n(n≥2)，故當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝31+1－3即a1＝S1＝3，滿足an＝3n，【互動(dòng)探究】題型三數(shù)列與函數(shù)的交匯因?yàn)閝＞1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，

答案：1022

【題后反思】數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、極值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明.

【互動(dòng)探究】解：(1)設(shè){an}的公差為d(d≠0)，則S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以a1·(4