2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：19 立體幾何中的軌跡問題(原卷版)

19立體幾何中的軌跡問題【題型一】由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡【典例分析】如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN∥面A1BD，則點(diǎn)M軌跡的長度是（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡【變式演練】1.在三棱臺(tái)中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是三角形內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且有平面平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．三角形邊界的一部分 B．一個(gè)點(diǎn)C．線段的一部分 D．圓的一部分2.已知正方體的棱長為，、分別是棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B． C． D．3.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P是上底面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面BDEF，則Р點(diǎn)的軌跡長為（）A．1 B． C．2 D．【題型二】動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡【典例分析】在正方體中，Q是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則Q點(diǎn)的軌跡是（）A．點(diǎn) B．線段 C．線段 D．平面【提分秘籍】基本規(guī)律1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡【變式演練】1.在正方體中，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為A．線段 B．線段C．的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段 D．的中點(diǎn)與的中點(diǎn)連成的線段2.在棱長為1的正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足．給出下列說法：①點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn)；②線段MP的最大值為；③點(diǎn)P的軌跡是正方形；④點(diǎn)P軌跡的長度為．其中所有正確說法的序號是________．

3.如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，則下列說法不正確的是（）A．與不可能平行B．與是異面直線C．點(diǎn)的軌跡是一條線段D．三棱錐的體積為定值【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡【典例分析】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若P到棱CD，A1D1距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【提分秘籍】基本規(guī)律1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡【變式演練】1.如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（）A． B．C． D．2.如圖，在棱長為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，長為的線段的一個(gè)端點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體的體積為（）A． B． C． D．3.四棱錐P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一動(dòng)點(diǎn)，E是正方形OABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，DE的中點(diǎn)為Q，當(dāng)DE＝a時(shí)，Q的軌跡是球面的一部分，其表面積為3π，則a的值是（）A． B． C． D．6【題型四】由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡【典例分析】正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），是平面上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線與直線夾角與直線與直線的夾角相等，則點(diǎn)所在軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．拋物線或雙曲線【提分秘籍】基本規(guī)律直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面。直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡【變式演練】1.如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支2.如圖所示，為長方體，且AB=BC=2，=4，點(diǎn)P為平面上一動(dòng)點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的軌跡為（）A．拋物線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓3.在長方體中，，，M為棱BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡與長方體的側(cè)面的交線長等于___________.【題型五】投影求軌跡【典例分析】1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家Dandelin利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個(gè)占正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律球的非正投影，可能是橢圓面多面體的投影，多為多邊形。【變式演練】1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球，球心為，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率__________．【題型六】翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡（難點(diǎn)）【典例分析】如圖，將四邊形中，沿著翻折到，則翻折過程中線段中點(diǎn)的軌跡是（）A．橢圓的一段 B．拋物線的一段C．雙曲線的一段 D．一段圓弧【提分秘籍】基本規(guī)律1.翻折過程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡2.翻折過程中尋找不變的長度關(guān)系求軌跡3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡【變式演練】1.已知△ABC的邊長都為2，在邊AB上任取一點(diǎn)D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD內(nèi)過點(diǎn)B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點(diǎn)D的變化，點(diǎn)P的軌跡長度為（）A． B． C． D．π2.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把