專題20 解答壓軸題型：二次函數(shù)綜合題（原卷版）

專題20解答壓軸題型：二次函數(shù)綜合題1．（2023?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．（1）求，的值；（2）已知點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．當(dāng)時，求與的面積之和；在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請說明理由．2．（2022?安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分和矩形構(gòu)成，矩形的一邊為12米，另一邊為2米．以所在的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，規(guī)定一個單位長度代表1米．是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)，在軸上，與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長為圖中粗線段，，，長度之和，請解決以下問題：（ⅰ）修建一個“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)，在拋物線上．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求柵欄總長與之間的函數(shù)表達(dá)式和的最大值；（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“”型和“”型兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍在右側(cè)）．3．（2021?安徽）已知拋物線的對稱軸為直線．（1）求的值；（2）若點(diǎn)，，，都在此拋物線上，且，．比較與的大小，并說明理由；（3）設(shè)直線與拋物線交于點(diǎn)、，與拋物線交于點(diǎn)，，求線段與線段的長度之比．4．（2020?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，拋物線恰好經(jīng)過，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．（1）判斷點(diǎn)是否在直線上，并說明理由；（2）求，的值；（3）平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．5．（2019?安徽）一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，另一個交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．（1）求，，的值；（2）過點(diǎn)，且垂直于軸的直線與二次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求的最小值．6．（2023?瑤海區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）當(dāng)，時，求拋物線的表達(dá)式；（2）若，求的取值范圍；（3）連接，，，當(dāng)，時，的面積是否有最大值，若有請求出最大值；若沒有請說明理由．7．（2023?合肥一模）如圖，拋物線與軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為、．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）矩形的頂點(diǎn)，在軸上，不與、重合），另兩個頂點(diǎn)，在拋物線上（如圖）．①當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，矩形的周長最大？求這個最大值并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；②判斷命題“當(dāng)矩形周長最大時，其面積最大”的真假，并說明理由．8．（2023?廬陽區(qū)校級一模）已知拋物線．（1）當(dāng)時，求此拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若該拋物線與直線的一個交點(diǎn)在軸正半軸上．①求此拋物線的解析式；②當(dāng)時，求的最小值（用含的式子表示）．9．（2023?廬陽區(qū)一模）如圖1，拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，，．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與，重合），過點(diǎn)作的垂線，與拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），設(shè)，，求與的函數(shù)解析式．10．（2023?合肥模擬）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．于．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求線段長度的最大值；（3）連接，是否存在點(diǎn)，使得中有一個角與相等？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．11．（2023?蜀山區(qū)二模）在一次豎直向上拋球游戲中，小球上升的高度與小球拋出后經(jīng)過的時間滿足表達(dá)式：，其圖象如圖1所示．（1）求小球上升的最大高度；（2）若豎直向上拋出小球時再給小球一個水平向前的均勻速度，發(fā)現(xiàn)小球上升高度與小球拋出后水平距離滿足如圖2所示的拋物線，其中，而小球上升高度與時間仍滿足．①當(dāng)時，求小球上升到最高點(diǎn)時的水平距離；②在小球正前方處的擋板上有一空隙，其上沿的高度為，下沿的高度為，若小球下落過程恰好從空隙中穿過（不包括恰好擊中點(diǎn)，，擋板厚度不計），請求出此時的取值范圍．12．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知拋物線；（1）若拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求、的值；（2）當(dāng)，時，拋物線的最小值是，求的值；（3）當(dāng)，時，恒成立，則的最大值為．13．（2023?瑤海區(qū)二模）已知：拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在軸正半軸），頂點(diǎn)為，且．（1）求的值；（2）求的面積；（3）若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)，求的最小值．14．（2023?包河區(qū)二模）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線向右平移個單位，設(shè)平移后的拋物線中隨增大而增大的部分記為圖象，若圖象與直線只有一個交點(diǎn)，求的取值范圍．15．（2023?廬陽區(qū)二模）某公司調(diào)研了歷年市場行情和生產(chǎn)情況以后，對今年某種商品的銷售價格和成本價格進(jìn)行預(yù)測，提供了兩方面的信息，如圖所示．圖1的圖象是線段，圖2的圖象是部分拋物線．（1）在3月份和6月份出售這種商品，哪個月商品的單件利潤更大？（2）從3月份到8月份，哪個月商品的單件利潤最大？最大利潤是多少？16．（2023?廬陽區(qū)校級二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場中央處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設(shè)計成水流在距的水平距離為1米時達(dá)到最大高度，此時離地面2.25米．（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面、處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點(diǎn)在花形柱子的正上方，其中光線所在的直線解析式為，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．17．（2023?廬江縣模擬）對于一個函數(shù)，自變量取時，函數(shù)值也等于，則稱是這個函數(shù)的不動點(diǎn)．已知拋物線．（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，在（1）的條件下，在軸上方作平行于軸的直線，與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，．當(dāng)矩形為正方形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）若拋物線有兩個相異的不動點(diǎn)、，且，求的取值范圍．18．（2023?合肥二模）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組以樓梯為場景設(shè)計的小球彈射實(shí)驗(yàn)示意圖，樓梯平臺寬為3，前方有六個臺階（各拐點(diǎn)均為，每個臺階的高為2，寬為2，樓梯平臺到軸距離，從軸上的點(diǎn)處向右上方彈射出一個小球（小球視為點(diǎn)），飛行路線為拋物線，當(dāng)點(diǎn)落到臺階后立即彈起，其飛行路線是與形狀相同的拋物線．（1）通過計算判斷小球第一次會落在哪個臺階上；（2）若小球第二次的落點(diǎn)在臺階中點(diǎn)上，求小球第二次飛行路線的解析式；（3）若小球再次從點(diǎn)處彈起后落入軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），接收裝置最大截面為矩形，點(diǎn)橫坐標(biāo)為16，，，求出小球第三次飛行路線的頂點(diǎn)到軸距離最小值．19．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，拋物線過點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸與直線的交點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）求證：；（3）若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值．20．（2023?合肥一模）如圖，已知拋物線與軸的一個交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線上位于直線上方的動點(diǎn)，分別過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，作軸的平行線交直線于點(diǎn)，以、為邊作矩形，求矩形周長的最大值，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．21．（2023?合肥模擬）已知關(guān)于的拋物線，其中為實(shí)數(shù)．（1）求證：該拋物線與軸沒有交點(diǎn)；（2）若與軸平行的直線與這條拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），已知點(diǎn)到軸的距離為，求點(diǎn)到軸的距離；（3）設(shè)這條拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，求的取值范圍．22．（2023?廬陽區(qū)校級三模）如圖是市體操隊體操跳臺訓(xùn)練的截面示意圖，和線段分別表示跳板和跳馬面，取地面為軸，跳板邊所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)，，，．已知體操運(yùn)動員園園在跳板邊上的點(diǎn)起跳，第一次騰空的路線為拋物線，雙手撐在跳馬面后第二次騰空的路線為拋物線．（1）跳馬面的寬為，并求出所在直線的表達(dá)式；（2）若運(yùn)動員園園在距離地面的點(diǎn)處起跳，判斷其雙手是否能撐在跳馬面上；（3）運(yùn)動員園園第二次騰空的最大高度與第一次騰空的最大高度的差為，越大，完成動作的效果越好，若運(yùn)動員園園在第一次騰空后手觸跳馬面的位置為，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．23．（2023?合肥二模）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器．將發(fā)石車置于山坡底部處，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S方向，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個點(diǎn)看，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分，山坡上有一堵防御墻，其豎直截面為，墻寬米，與軸平行，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為28米、垂直距離為6米．（1）若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，①求拋物線的解析式；②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；（2）若要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點(diǎn)、，求的取值范圍．24．（2023?瑤海區(qū)三模）某公司根據(jù)往年市場行情得知，某種商品，從5月1日起的300天內(nèi)，該商品市場售價與上市時間的關(guān)系用圖1的折線表示；商品的成本與時間的關(guān)系用圖2的一部分拋物線表示．（1）每件商品在第50天出售時的利潤是元；（2）直接寫出圖1表示的商品售價（元與時間（天之間的函數(shù)關(guān)系；（3）若該公司從銷售第1天至第200天的某一天內(nèi)共售出此種商品2000件，請你計算最多可獲利多少元？25．（2023?廬江縣二模）如圖，直線和直線分別與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，頂點(diǎn)為的拋物線與軸的右交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）若，求的值和拋物線的對稱軸；（2）當(dāng)點(diǎn)在下方時，求頂點(diǎn)與距離的最大值；（3）在和所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，求出時“整點(diǎn)”的個數(shù)．26．（2023?蜀山區(qū)校級一模）已知：經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）平移拋物線使得新頂點(diǎn)為點(diǎn)．①當(dāng)時，若，且在直線的右側(cè)，兩函數(shù)值都隨的增大而增大，求的取值范圍；②點(diǎn)在原拋物線上，新拋物線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．27．（2023?蕪湖模擬）某大型樂園包含多項主題演出與游樂項目，其中過山車“沖上云霄”是其經(jīng)典項目之一．如圖所示，為過山車“沖上云霄”的一部分軌道為軌道最低點(diǎn)），它可以看成一段拋物線．其中米，米（軌道厚度忽略不計）．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置和，當(dāng)過山車運(yùn)動到處時，又進(jìn)入下坡段（接口處軌道忽略不計）．已知軌道拋物線的大小形狀與拋物線完全相同，求的長度；（3）現(xiàn)需要對軌道下坡段進(jìn)行安全加固，架設(shè)某種材料的水平支架和豎直支架、、、，且要求．如何設(shè)計支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？28．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖1，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)．①如圖2，過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)，連接，．當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，若點(diǎn)在直線上方的拋物線上，連接與交于點(diǎn)，求的最大值．29．（2023?廬陽區(qū)校級一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，拋物線有最小值5，求的值；（3）若點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接、，求的面積的最大值．30．（2023?合肥模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過、兩點(diǎn)，（1）求拋物線的解析式：（2）如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，將沿翻折使點(diǎn)落在點(diǎn)處，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接和，其中與交于點(diǎn)，試直接寫出的值．31．（2023?廬江縣三模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若，求點(diǎn)到直線的距離的最大值；（3）若、、、四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．32．（2023?蜀山區(qū)模擬）如圖，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的對稱軸為直線．（1）求拋物線的解析式．（2）若是拋物線上位于第四象限上的點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值．（3）已知，，線段以每秒1個單位長度的速度向右平移，同時拋物線以每秒1個單位長度的速度向上平移，秒后，若拋物線與線段有兩個交點(diǎn)，求的取值范圍．33．（2023?蕪湖模擬）數(shù)學(xué)興趣小組在一次課外活動中設(shè)計了一個彈珠投箱子的游戲（無蓋長方體箱子放在水平地面上）．現(xiàn)將彈珠抽象為一個動點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系軸經(jīng)過箱子底面中心，并與其一組對邊平行，矩形為箱子正面示意圖）．某同學(xué)將彈珠從處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線（單位長度為的一部分，且拋物線經(jīng)過．已知，，．（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請通過計算說明該同學(xué)拋出的彈珠能投入箱子；（3）若彈珠投入箱內(nèi)后立即向左上方彈起，沿與拋物線形狀相同的拋物線運(yùn)動，且無阻擋時彈珠最大高度可達(dá)，則彈珠能否彈出箱子？請說明理由．34．（2023?安徽模擬）如圖1，拋物線與軸交于，．兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，．（1）求直線的解析式；（2）點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）問取得最大值的情況下，將該拋物線沿射線方向平移個單位后得到新拋物線，點(diǎn)為新拋物線對稱軸上一點(diǎn)，在新拋物線上確定一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．35．（2023?瑤海區(qū)校級模擬）新開張的水果店計劃增加甲、乙兩種水果的銷售量，根據(jù)合肥市相關(guān)的市場物價調(diào)研，甲種水果的銷售利潤（元與進(jìn)貨量滿足函數(shù)關(guān)系，乙種水果的銷售利潤（元與進(jìn)貨量滿足二次函數(shù)的關(guān)系（圖象如圖所示）．（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）水果店計劃購進(jìn)甲、乙兩種水果共，設(shè)乙種水果的進(jìn)貨量為，假設(shè)銷售量進(jìn)貨量，且不計其他支出費(fèi)用．①求甲、乙兩種水果所獲得的銷售利潤（元與之間的函數(shù)關(guān)系式；②如何安排甲、乙兩種水果的進(jìn)貨量，可使獲得的銷售利潤之和最大？并求出最大利潤．36．（2023?黃山一模）如圖，國家會展中心大門的截面圖是由拋物線和矩形構(gòu)成．矩形的邊米，米，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）近期需對大門進(jìn)行粉刷，工人師傅搭建一木板，點(diǎn)正好在拋物線上，支撐軸，米，點(diǎn)是上方拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)．①求的最大值．②某工人師傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大門頂部的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍．37．（2023?花山區(qū)一模）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求，的值；（2）將拋物線