北師大版初中數(shù)學(xué)九年級下冊1.4 解直角三角形 同步課件

1.4解直角三角形1．使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形；2．滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.學(xué)習(xí)目標(biāo)兩銳角的關(guān)系:三邊的關(guān)系:.邊與角的關(guān)系:直角三角的邊角關(guān)系c2900a2+b2=∠A+∠B=銳角三角函數(shù)bABCa┌csinA=cosBcosA=sinBtanA=ac=bc=ab=1tanB復(fù)習(xí)回顧情境導(dǎo)入特殊角的三角函數(shù)值：60°45°30°tanαcosαsinα三角函數(shù)值角α三角函數(shù)12

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21復(fù)習(xí)回顧生活中,我們常常遇到與直角三角形有關(guān)的問題.為了解決這些問題,往往需要確定直角三角形的邊和角創(chuàng)設(shè)情境，引入新知核心知識點(diǎn)一：解直角三角形直角三角形中有三條邊三個(gè)角6個(gè)元素,除其中一個(gè)固定的直角外，還有兩個(gè)銳角和三條邊。bABCac至少知道幾個(gè)元素,就可以求出其他的元素呢?∟在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，叫做解直角三角形．自主合作，探究新知只知道直角三角形一個(gè)銳角的大小,可以求出直角三角形中其它元素嗎?無法求出直角三角形的三邊結(jié)論：∟∟∟∟自主合作，探究新知∟知道直角三角形任意一邊的長可以求出直角三角形中其它元素嗎?已知線段a，以a為一條直角邊的直角三角形有幾個(gè)如果以a為斜邊呢？a自主合作，探究新知都無法完全求知道直角三角形任意一邊的長,∟結(jié)論：出直角三角形中其它元素。a自主合作，探究新知在一個(gè)直角三角形中，已知一條邊和一銳角，或者已知兩條邊兩個(gè)元素，才能求出其他元素。ABabcC

一個(gè)直角三角形中，若已知五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（其中必須有一個(gè)元素是邊），則這樣的直角三角形可解.自主合作，探究新知在Rt△ABC中，如果已知其中兩邊的長，你能求出這個(gè)三角形的其他元素嗎？類型1

已知兩邊解直角三角形(1)三邊之間的關(guān)系；(2)兩銳角之間的關(guān)系；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝

＝cosB，cosA＝

＝sinB，tanA＝自主合作，探究新知應(yīng)用勾股定理求斜邊，應(yīng)用角的正切值求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．一般不用正弦或余弦值求銳角，因?yàn)樾边吺且粋€(gè)中間量，如果是近似值，會影響結(jié)果的精確度．已知斜邊和直角邊：先利用勾股定理求出另一直角邊，再求一銳角的正弦和余弦值，即可求出一銳角，再利用直角三角形的兩銳角互余，求出另一銳角．已知兩直角邊：已知斜邊和直角邊：解直角三角形自主合作，探究新知例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，且,求這個(gè)直角三角形的其他元素.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,ABC在Rt△ABC中，典例解析例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且c＝5，b＝4，求這個(gè)三角形的其他元素．(角度精確到1′)

由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得解：典例解析歸納總結(jié)“已知兩邊”怎樣解直解三角形？ABabcC(1)已知a，b，怎么求∠A的度數(shù)？(2)已知a，c，怎么求∠A的度數(shù)？(3)已知b，c，怎么求∠A的度數(shù)？由由由歸納總結(jié)已知直角三角形的一邊和一銳角，解直角三角形時(shí)，若已知一直角邊a和一銳角A：①∠B=90

°-∠A；②c=

若已知斜邊c和一個(gè)銳角A：①∠B=90°-∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA.類型2

已知一邊及一銳角解直角三角形自主合作，探究新知例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，∠B＝35°，b=20,求這個(gè)直角三角形的其他元素(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).ABCb20ca35°解：典例解析1、數(shù)形結(jié)合有利于分析問題；2、選擇關(guān)系式時(shí)，盡量使用原始數(shù)據(jù)，以防“累積誤差”和“一錯再錯”；3、解直角三角形時(shí)，應(yīng)求出所有未知元素。注意事項(xiàng)：解直角三角形的原則：（1）有角先求角，無角先求邊（2）有斜用弦,無斜用切；寧乘毋除,取原避中。ABC550﹖歸納總結(jié)核心知識點(diǎn)一：構(gòu)造直角三角形解決問題例4

如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=+自主合作，探究新知CABDABCE求解非直角三角形的邊角問題，常通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將其轉(zhuǎn)換為直角三角形來解.提示D歸納總結(jié)歸納總結(jié)1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，則BC的長是(

)A.B．4C．8D．4D2.在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，

則a等于(

)A.B.C．6D.B隨堂練習(xí)3.如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=3，cosB=，則AC的長為（）A．3B．3.75C．4.8D．5B隨堂練習(xí)4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長是（）D5.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，則cosB的值是_________.隨堂練習(xí)6.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個(gè)直角三角形.DABC6解：∵AD平分∠BAC，隨堂練習(xí)7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c，根據(jù)下列條件求出直角三角形的其他元素（角度精確到1°):

(1)已知a=4,b=8;

解：在Rt△ABC中，由勾股定理得c＝＝.∵sinA＝＝＝，∴∠A≈27°.∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A≈63°.隨堂練習(xí)解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，

∴∠A＝30°.∵sinB＝，b＝10，∴c＝＝＝.由勾股定理得a＝＝.

(2)已知b=10，∠B＝60°;

隨堂練習(xí)

(3)已知c=20，∠A＝60°;

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵sinA＝，c＝20，∴a＝c·sinA＝20×sin60°＝20×＝.由勾股定理得b＝＝10.隨堂練習(xí)圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.圖①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；∴BC的長為7