海南大學電磁場與電磁波第四版第一章矢量分析

電磁場與電磁波ElectromagneticFields

&MagneticWave

蔡汝元Telail:caruy@163.com第一周星期五3-4節(jié)4-204的課改在第二周星期一晚上9,10,11節(jié)地點：4-202前言一電磁場理論的主要研究領域、應用方向二課程的結構體系、內(nèi)容學習的目的、方法及其要求學習的有關資源電磁場與波理論推導、求解的觀點方法（場與路的結合）、結論環(huán)環(huán)相扣（特定的條件）研究天線、天線陣列、雷達?；鶐щ娐罚姶偶嫒荨⑿盘柾暾?、高速電路設計）RFID(射頻集成電路）模擬信號的發(fā)射、接受（頻率、功率、阻抗）媒質(zhì)、信道特性電磁力定義指標、單位、測量方式一：應用方向

二：課程體系結構

理論問題圍繞一張場圖展開：5場源場量媒質(zhì)位函數(shù)邊界條件能量結構、參數(shù)公式較多（注意公式的物理意義，使用條件），掌握核心公式。重要的結論、電磁現(xiàn)象盡可能推導一遍，(壓縮恒定場、突出時變場)通信領域：關心信道的傳播特性、依波段、功率、傳輸線型研究器件結構，指標的測試等問題，由第七章、第八章引導進入微波技術這門課。電磁波在無線領域的三大應用方向：傳輸能量、傳遞信息、探測目標，有著廣泛的應用。掌握宏觀電磁場的基本屬性和運動規(guī)律（麥氏方程組、波動方程）掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法（矢磁位、電位的使用）了解宏觀電磁場的主要應用領域及其原理（理解電磁現(xiàn)象）三學習的目的、方法及其要求訓練分析問題、歸納問題的科學方法培養(yǎng)用數(shù)學解決實際問題的能力獨立完成作業(yè)，做好課堂筆記精讀一本教學參考書（習題解答有電子版）后續(xù)微波技術與天線的學習，要進一步研究器件結構、特性（有關教學視頻）、指標，掌握有關的仿真平臺使用（mathcad，ADS等）、測量儀器的使用等四：教學資源及主要教學參考書電磁場的精品課程網(wǎng)站（武漢大學、廈門大學)

電磁場與微波論壇如（與非網(wǎng)的電磁場論壇）

【1】

謝處方，電磁場與電磁波，高等教育出版社包括習題解答【2】

周朗希等，電磁場與微波基礎（上、下冊），東南大學出版社【3】JinAuKong電磁波理論電子工業(yè)出版社11第一章矢量分析12本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2

常用正交曲線坐標系1.3

標量場的梯度1.4

矢量場的通量與散度1.5

矢量場的環(huán)流和旋度1.6

無旋場與無散場1.7

拉普拉斯運算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理（重要）本章要交代矢量運算的定義、物理意義及有關恒等式（附錄），坐標系間的基本轉(zhuǎn)換關系（完成必要的推導），有關定理6課時141.標量和矢量矢量的大小或模：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。

矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示

注意：單位矢量不一定是常矢量。

矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。

一個純矢量表達式是通用于任何坐標系的（基本方程均以純矢量關系表達)場的關系通常借助于直角坐標推導，改寫成純矢量表達，延伸到其他指標系下使用,在某種具體坐標下都有相應的展開

場的性質(zhì)不應坐標系而異（一個坐標系下成立的性質(zhì)，其他指標下也成立）16矢量用坐標分量表示zxy17（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律2.矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結合律交換律18（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角19（4）矢量的矢積（叉積）用坐標分量表示為若，則若，則qsinABq矢量與的叉積點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

20qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為記住，重要的推導,有何規(guī)律思考：這兩個式子的幾何意義是什么？兩個矢量相等需要什么條件？22（5）矢量的混合運算——

分配律——

標量三重積式子均可以在直角坐標系下證明,借助于幾何意義記住矢量三重組合運算的幾何解釋BCA與Ｂ，Ｃ矢量共平面，可以通過伸縮Ｂ，Ｃ矢量來合成－C矢量三重組合運算的幾何解釋BCA幾何意義是一個斜立方體的標性體積，可以有不同的底面和高來表達這兩個式子常用于矢量置換，重要（記?。╊}例討論：１．６和１．８25

三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2三種常用的正交曲線坐標系

在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球面坐標系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。具體選用何種坐標系有什么原則？(使場源、場量、邊界條件等表達盡可能維數(shù)少）選擇好合適的坐標系，可以大大簡化分析和計算，今后的討論中要注意體會每組坐標系有：線元，面元、體元變矢與單位矢量映射位置矢量與距離表達坐標變換等基本關系注意處理混合坐標的運算271、直角坐標系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量

點P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標系

x

yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元

odzdydx直角坐標要注意的內(nèi)在約束關系，兩維矢量可以隨意表達，第三維不能隨意，要嚴格滿足右手螺旋關系直角坐標系三個方向具有同樣的量綱，表達距離、夾角通常必須用直角坐標系注意：302、圓柱面坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量存在：兩組坐標間場量的轉(zhuǎn)換，習題1.8討論32線元矢量體積元面元矢量注意：各個方向的線元思考：直角坐標系與圓柱坐標系單位矢量間有什么映射關系。

ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系

f直角坐標單位矢量與圓柱坐標系單位矢量的映射關系難點，不要求強記注意距離、夾角均應統(tǒng)一在直角坐標系下完成363、球面坐標系球面坐標系坐標變量坐標單位矢量（變矢，隨兩個角度）注意幾何意義37球面坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元位置矢量線元矢量體積元面元矢量注意各個方向的線元的表達坐標變換關系距離、角度等問題仍需轉(zhuǎn)換為直角來進行球坐標與直角坐標間的單位矢量映射關系（難點，不要求強記）略加說明404、坐標單位矢量之間的關系

直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系oqrz單位圓

柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關系qq

ofxy單位圓

直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系

f*上述關系可以寫成矩陣形式*單位矢量映射關系常用于混合坐標下矢量運算時的

統(tǒng)一坐標*本課時作業(yè):

（1）什么是電磁兼容和信號完整性？（2）證明球坐標下的位置矢量表達（3）（4）習題1.941圓柱坐標下的矢量在直角坐標中如何表達?球坐標在表達點源的場量關系時經(jīng)常使用討論習題1.10*梯度運算的物理意義和基本性質(zhì),相關題例說明*哈密頓算符的表達*通量,散度運算的物理意義*三大坐標系的散度公式推導*高斯定理,相關恒等式43第二次課要點;441.3標量場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：

確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：45標量場的等值面

標量場的等值線(面)等值面:標量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。等值面方程：常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。

等值面的特點：意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。46標量場的梯度標量場關心的是物理量的分布變化規(guī)律.增量其中47標量場梯度的物理意義等位面上等位面間,增量du相等,路徑dl以法線方向最短,變化率最大梯度代表著場點處標量變化率最大的方向和最大變化率(梯度的物理意義）任意方向上的變化率稱為方向?qū)?shù),為梯度在其指定方向en上的投影:482.方向?qū)?shù)意義：方向性導數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向減小；

——

u(M)沿方向無變化。

M0M方向?qū)?shù)的概念

特點：方向性導數(shù)既與點M0有關，也與方向有關。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？——

的方向余弦。

式中：

49梯度的表達式(統(tǒng)一于線元的表達下)：圓柱面坐標系

球面坐標系直角面坐標系

3、標量場的梯度（或）意義：描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向記住此表達50標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）51

題例

設一標量函數(shù)

(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標量場。試求：

(1)該函數(shù)

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；

(2)求該函數(shù)

沿單位矢量el=

excos60

＋ey

cos45

＋ezcos60

方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為52表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為53而該點的梯度值為

顯然，梯度描述了P點處標量函數(shù)

的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。關于距離R的梯度運算距離為標量,(x,y,z)為場點,(x’,y’,z’)為場源所在的源點存在54上述重要結論的證明見例1.3.1。基本結論：梯度是對標量場的微分運算，結果為矢量梯度代表標量場場點處變化率最大的方向和速率記住哈密爾頓算符的具體阻抗掌握各種具體坐標系下的梯度運算55矢量場關心的問題圍繞一張場圖展開：56場源場量媒質(zhì)位函數(shù)邊界條件能量結構、參數(shù)借助于流速場，首先解決場量分布已知，場源如何定位？定義什么運算來定位場源？其次要明確矢量的場源有那些具體形式，如何分類？通量，散度，環(huán)流，旋度都是相關的概念。亥姆霍斯回答了場源的類型。57581.4矢量場的通量與散度

1、矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量線oM

592、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大??？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元dS

的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量60通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關系。通量的物理意義矢量閉合面通量的物理意義是尋找場域閉合面內(nèi)標性場源的宏觀總量,對標性場源的定位是不精確的,需要在點源意義下進行定位61623、矢量場的散度divF

為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。散度代表著標性場源的點密度63柱面坐標系球面坐標系直角坐標系散度的表達式(推導論證)：散度的有關公式：64直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為oxy在直角坐標系中計算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點的微體積

V為一直平行六面體，如圖所示。則M(x,y,z)65根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為

同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為借助于直角坐標系推導,整理成矢性表達,利用場性質(zhì)不因坐標而變的性質(zhì)推廣到其他坐標系是非常重要的手段此結果如何驗證？66園柱面坐系散度公式的推導驗算結合習題1.17證明如下：67球面坐標系散度推導(作業(yè)）684、散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S

從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即

(物理意義是標性場源宏觀總量平衡)

散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用（也是驗證散度表達式是否正確的手段之一）。本章的重要結論散度定理的幾個應用:*驗算散度的表達推導是否正確,如果散度(標性點源)的體積分(宏觀總量),與矢量閉合面的積分(宏觀總量)相等,證明散度推導出來的表達式是正確的習題1.18求（1）矢量

的散度；（2）求

對中心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求

對此立方體表面的積分，驗證散度定理。69*散度定理用于積分轉(zhuǎn)換,一個方向計算復雜換另一個方向可能較簡明。如：換成散度的體積分去完成較快，避免了混合坐標的下矢量的面積分計算.70*用于公式整和，尤其是基本方程微分形式和積分形式的相互轉(zhuǎn)換*本課時內(nèi)容小結71每日練習:習題1.17,驗證散度定理判斷圓柱坐標的散度表達是否正確已知:72面積分方向73體積份方向:因此圓柱坐標的散度表達是正確的7475利用散度定理證明如下結論:其中:高斯散度定理先證積分方向,在轉(zhuǎn)化微分方向76因此有*本課時要點:*了解環(huán)流、旋度運算的物理意義，借助直角坐標系完成推導，推廣到其他坐標系，結合斯托克斯定理加于驗算。*了解主要的矢量恒等式*了解雙重微分運算的展開形式*了解亥姆霍茲定理的內(nèi)容，場的分類，位函數(shù)引用的條件*歸納本章要點*討論部分重點習題77第三次課矢量場的環(huán)流和旋度

78矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場

不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。（對于旋渦源，矢量閉合面的積分恒等于零，需要定義其他的運算）1.5矢量場的環(huán)流和旋度79

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關系。

交鏈的電流總量I80如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念（旋渦源只能用強度矢量的線積分來尋找定位）

矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即環(huán)流的物理意義：指定路徑上的旋渦源宏觀總量，標性的結果81如果矢量場在指定閉合回路的環(huán)流為零，可能場域無源，也可能正負旋渦源抵消，也可能是路徑與旋渦源垂直。因此環(huán)流運算對旋渦源的定位是不精確的，需要在點源意義下表達。定義旋度為旋度運算結果為矢量，代表旋渦點源的強度和方向完成旋度運算只需要計算旋渦源在坐標三個面上的投影82

過點M作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當

S

0時，極限稱為矢量場在點M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。

特點：其值與點M處的方向n有關。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度83而

推導

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標系中、、的表達式84于是

同理可得故得概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源點密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度85旋度的計算公式(統(tǒng)一于線元意義下）直角坐標系圓柱面坐標系球面坐標系86旋度的有關公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零物理意義：旋渦點源永遠無法用矢量的閉合面積分來發(fā)現(xiàn)就研究天線而言，旋度關系比散度重要關于旋度有五個重要恒等式第三個為漩渦源永遠無法用矢量的閉合面來發(fā)現(xiàn)，點源意義下也如此第四個為梯度的旋度恒等于零無旋場可以引入位函數(shù)，先求位函數(shù)在以梯度求場量這兩個恒等式即可直接在直角坐標系下證明，也可利用矢量恒等式證明習題1.31即可直接在直角坐標系下證明，也可利用斯托克斯定理來證明911.5.3、Stokes定理（物理意義：旋渦點源宏觀總量平衡,重要）

Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式，在電磁場理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第五個旋度重要恒等式923、Stokes定理（物理意義：旋渦點源宏觀總量平衡）

*Stokes定理可以用于驗證旋度所推導的表達是否正確Stokes可以用于積分轉(zhuǎn)換，一種運算有時換成另一個方向去完成

可能較簡明Stokes定理也常用于公式整合、推導*題例討論習題：1.21、1.22及習題1.31閉合路徑，交聯(lián)的宏觀總量漩渦點源的面積分，也是宏觀總量習題1.31即可直接在直角坐標系下證明，也可利用斯托克斯定理來證明任意閉合路徑的標量的增量為零習題1.21討論：一方面要驗證旋度表達的推導是否正確，另一方面要考慮那個方向積分較容易表明旋度的推導和表達是正確的對于習題1.22，旋度的面積分計算較快974、散度和旋度的區(qū)別

無散無旋場有散無旋場無散有旋場有散有旋場1.6無旋場與無散場981、矢量場的源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。任何無界的矢量場都只有散度和旋度兩種源，需要采用兩個物理量來表達992、矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場對于習題1.25，完成積分什么路徑最合理，最快？101（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場102（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分103基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標量第二格林定理。(略，用于矢量推導證明）

格林定理說明了區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。

此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。

格林定理廣泛地用于電磁理論。104亥姆霍茲定理:(場源的高度概括）

若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為式中：

亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度