第06講 多邊形內(nèi)角和（7種題型）（解析版）

第06講多邊形內(nèi)角和（7種題型）【知識梳理】一、多邊形內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋：(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；二、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．三．平面鑲嵌（密鋪）（1）平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接．彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．（2）正多邊形鑲嵌有三個條件限制：①邊長相等；②頂點公共；③在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°．判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能．（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形．（4）兩種正多邊形的鑲嵌：3個正三角形和2個正方形、四個正三角形和1個正六邊形、2個正三角形和2個正六邊形、1個正三角形和2個正十二邊形、1個正方形和2個正八邊形等．（5）用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個平面圖案．【考點剖析】題型一：利用內(nèi)角和求邊數(shù)例1.一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則它是()A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形解析：熟記多邊形的內(nèi)角和公式(n－2)·180°.設(shè)它是n邊形，根據(jù)題意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故選B.方法總結(jié)：熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021·河北承德市·八年級期末）一個多邊形的內(nèi)角和是900°，這個多邊形的邊數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）?180°去求．【詳解】解：設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n

則：（n-2）?180°=900°，

解得：n=7．

故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，關(guān)鍵是要記住公式并會解方程【變式2】（2021·浙江省余姚市實驗學(xué)校八年級期中）若一個多邊形的內(nèi)角和是720°，則這個多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定義（n?2）×180°，先求出邊數(shù)，再用內(nèi)角和除以邊數(shù)即可求出這個正多邊形的每一個內(nèi)角．【詳解】解：（n?2）×180°＝720°，∴n?2＝4，∴n＝6．∴這個多邊形的邊數(shù)為6．故選：C．【點睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角．解題的關(guān)鍵是掌握好多邊形內(nèi)角和公式：（n?2）×180°．題型二：求多邊形的內(nèi)角和例2.一個多邊形的內(nèi)角和為1800°，截去一個角后，得到的多邊形的內(nèi)角和為()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多邊形邊數(shù)為10＋2＝12.∵一個多邊形截去一個內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，也可能加1，∴新多邊形的邊數(shù)可能是11，12，13，∴新多邊形的內(nèi)角和可能是1620°，1800°，1980°.故選D.方法總結(jié)：一個多邊形截去一個內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1，可能不變，也可能加1.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出原多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021·云南臨滄·八年級期末）一個八邊形的內(nèi)角和度數(shù)為（）A．360° B．720° C．900° D．1080°【答案】D【分析】應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和公式計算即可．【詳解】（n﹣2）?180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故選：D．【點睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計算公式：（n?2）?180（n≥3）且n為整數(shù)）．【變式2】（2021·廣西來賓市·八年級期中）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內(nèi)角和．【答案】十二邊形，1800°【分析】首先設(shè)外角為x°，則內(nèi)角為（4x＋30）°，根據(jù)內(nèi)角與相鄰的外角是互補關(guān)系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度數(shù)可得邊數(shù)，進(jìn)而求出內(nèi)角和．【詳解】解：設(shè)外角為x°，由題意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12?2）×180＝1800°，∴這個多邊形的內(nèi)角和是1800°，是十二邊形．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和，構(gòu)建方程求解即可．【變式3】（2020·南京市寧海中學(xué)八年級開學(xué)考試）問題1：如圖，我們將圖（1）所示的凹四邊形稱為“鏢形”．在“鏢形”圖中，∠AOC與∠A、∠C、∠P的數(shù)量關(guān)系為∠AOC=∠A+∠C+∠P．問題2：如圖（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明認(rèn)為可以利用“鏢形”圖的結(jié)論解決上述問題：由問題1結(jié)論得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．所以∠APC=．請幫助小明完善上述說理過程，并嘗試解決下列問題（問題1、問題2中得到的結(jié)論可以直接使用，不需說明理由）；解決問題1：如圖（3）已知直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系為解決問題2：如圖（4），已知直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，則∠P與∠B、∠D的關(guān)系為【答案】問題1、問題2答案見解析；解決問題1：∠P=180°－（∠B＋∠D）；解決問題2：∠P=90°＋（∠B＋∠D）【分析】問題1：根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；問題2：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和問題1的結(jié)論求解即可；解決問題1：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解決問題2：根據(jù)（1）的結(jié)論∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【詳解】解：問題1：連接PO并延長．則∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；故答案為：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；問題2：如圖2，由問題1結(jié)論得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“三角形外角的性質(zhì)”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠D．所以∠APC=（∠B＋∠D）=38°．解決問題1：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，在四邊形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，在四邊形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，∴∠P=180°－（∠B＋∠D）；解決問題2：如圖4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，∴∠P=90°＋（∠B＋∠D）．故答案為：∠P=90°＋（∠B＋∠D）．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.題型三：復(fù)雜圖形中的角度計算例3.如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°解析：如圖，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五邊形的內(nèi)角和＝540°，故選B.方法總結(jié)：本題考查了靈活運用五邊形的內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)外角關(guān)系．根據(jù)圖形特點，將問題轉(zhuǎn)化為熟知的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的優(yōu)越性．【變式1】（2021·全國八年級單元測試）如圖，在五邊形ABCDE中，∠D＝120°，與∠EAB相鄰的外角是80°，與∠DEA，∠ABC相鄰的外角都是60°，則∠C為________度．【答案】80【分析】利用鄰補角的定義分別求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度數(shù)；再利用五邊形的內(nèi)角和為540毒，可求出∠C的度數(shù)．【詳解】解：∵與∠EAB相鄰的外角是80°，與∠DEA，∠ABC相鄰的外角都是60°，∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；五邊形的內(nèi)角和為（5－2）×180°＝540°；∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．故答案為：80．【點睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和的性質(zhì)，涉及了鄰補角的定義，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2020·南京市寧海中學(xué)八年級開學(xué)考試）如圖，五邊形ABCDE的兩個內(nèi)角平分線相交于點O，∠1，∠2，∠3是五邊形的3個外角，若∠1+∠2+∠3=220°，則∠AOB=___________．【答案】70°【分析】先求出與∠EAB和∠CBA相鄰的外角的度數(shù)和，然后根據(jù)多邊形外角和定理即可求解．【詳解】如圖，∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，∵AO，BO分別平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022春?武岡市期中）如圖，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù)．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形：五邊形．【解答】解：如圖，由三角形內(nèi)角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°．【點評】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形．【變式4】（2022春?宿城區(qū)校級月考）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案．【解答】解：（1）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案為：180°；（2）如圖，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．題型四：利用方程和不等式確定多邊形的邊數(shù)例4.一個同學(xué)在進(jìn)行多邊形的內(nèi)角和計算時，求得內(nèi)角和為1125°，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個內(nèi)角，問這個內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？解析：本題首先由題意找出不等關(guān)系列出不等式，進(jìn)而求出這一內(nèi)角的取值范圍；然后可確定這一內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)一步得出這個多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)此多邊形的內(nèi)角和為x，則有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因為x為多邊形的內(nèi)角和，所以它是180°的倍數(shù)，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的這個內(nèi)角是135°，這個多邊形是九邊形．方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是由題意列出不等式求出這個多邊形的邊數(shù)．【變式1】．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）看圖回答問題：(1)內(nèi)角和為2014°，小明為什么說不可能？(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？【答案】(1)理由見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）解：∵設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則邊形的內(nèi)角和是，∴內(nèi)角和一定是度的倍數(shù)，∵，∴內(nèi)角和為不可能．（2）解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，∴，解得，，∴多邊形的邊數(shù)是，∴小華求的是十三邊形的內(nèi)角和．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內(nèi)角和時，重復(fù)加了一個角的度數(shù)，計算結(jié)果是，這個多邊形是幾邊形？【答案】(1)八邊形(2)八邊形【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式、多邊形的外角和等于建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)這個多邊形是邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為，則，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式建立等式，結(jié)合建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】（1）解：設(shè)這個多邊形是邊形，由題意得：，解得，答：這個多邊形是八邊形．（2）解：設(shè)這個多邊形是邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為，則，由題意得：，解得，則，即，解得，為正整數(shù)，，答：這個多邊形是八邊形．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程和不等式組是解題關(guān)鍵．題型五：已知各相等外角的度數(shù)，求多邊形的邊數(shù)例5.正多邊形的一個外角等于36°，則該多邊形是正()A．八邊形B．九邊形C．十邊形D．十一邊形解析：正多邊形的邊數(shù)為360°÷36°＝10，則這個多邊形是正十邊形．故選C.方法總結(jié)：如果已知正多邊形的一個外角，求邊數(shù)可直接利用外角和除以這個角即可．【變式1】．（2022春·八年級單元測試）已知一個多邊形的每個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)是__________．【答案】12【分析】利用任何多邊形的外角和是除以外角度數(shù)即可求出答案．【詳解】解：多邊形的外角的個數(shù)是，所以多邊形的邊數(shù)是12，故答案為：12．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內(nèi)容．【變式2】（2021·廣西八年級期中）己知一個n邊形的每一個外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求這個n邊形的內(nèi)角和．【答案】（1）12；（2）1800°【分析】（1）用360°除以外角度數(shù)可得答案．（2）先求出每個內(nèi)角的度數(shù)，再利用內(nèi)角度數(shù)×內(nèi)角的個數(shù)即可．【詳解】解：（1）∵n邊形的每一個外角都等于30°∴n＝360°÷30°＝12；（2）∵每個內(nèi)角=180°-30°=150°，∴內(nèi)角和=12×150°＝1800°．【點睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和、外角和，關(guān)鍵是掌握多邊形的外交和等于360°．題型六：多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合運用例6.一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為540°，則它是()A．五邊形B．四邊形C．三角形D．不能確定解析：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則依題意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴這個多邊形是三角形．故選C.方法總結(jié)：熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理，解題的關(guān)鍵是由已知等量關(guān)系列出方程從而解決問題．【變式1】（2021·陜西）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的度數(shù)之和為，求這個多邊形的邊數(shù)．【答案】多邊形的邊數(shù)為7【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)這個多邊形的內(nèi)角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是，由題意得，，解得：．答：多邊形的邊數(shù)為7．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理，任意多邊形的外角和都是360°，與邊數(shù)無關(guān)，熟練多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·廣西來賓市·八年級期中）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內(nèi)角和．【答案】十二邊形，1800°【分析】首先設(shè)外角為x°，則內(nèi)角為（4x＋30）°，根據(jù)內(nèi)角與相鄰的外角是互補關(guān)系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度數(shù)可得邊數(shù)，進(jìn)而求出內(nèi)角和．【詳解】解：設(shè)外角為x°，由題意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12?2）×180＝1800°，∴這個多邊形的內(nèi)角和是1800°，是十二邊形．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和，構(gòu)建方程求解即可．【變式3】（2021秋?泰州期末）【相關(guān)概念】將多邊形的內(nèi)角一邊反向延長，與另一條邊相夾形成的那個角叫做多邊形的外角．如圖，將△ABC中∠ACB的邊CB反向延長，與另一邊AC形成的∠ACD即為△ACB的一個外角．三角形外角和與三角形內(nèi)角和對應(yīng)，為與三個內(nèi)角分別相鄰的三個外角的和．【求解方法】借助一組內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可以求出三角形的外角和．如圖，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根據(jù)以上提示，完成下列問題：（1）將下列表格補充完整．名稱圖形內(nèi)角和外角和三角形180°360°四邊形360°360°五邊形540°360°…………n邊形…180°（n﹣2）360°（2）如果一個八邊形的每一個內(nèi)角都相等，請用兩種不同的方法求出這個八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°，n邊形的外角和為360°即可得出答案；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和360°即可得出答案．【解答】解：（1）內(nèi)角和分別為：四邊形內(nèi)角和是：（4﹣2）×180°＝360°，，五邊形內(nèi)角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n邊形內(nèi)角和是：180°（n﹣2）；外角和分別為：360°、360°、360°；故答案為：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；（2）這個八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°；n邊形的外角和為360°．題型七：平面鑲嵌例7．（2022春·八年級單元測試）用同一種下列形狀的圖形地磚不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（）A．正三角形 B．長方形 C．正八邊形 D．正六邊形【答案】C【分析】分別求出各個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．【詳解】解：A．正三角形的每個內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故A不符合題意；B．長方形的每個內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故B不符合題意；C．正八邊形的每個內(nèi)角為：，不能整除，不能密鋪，故C符合題意；D．正六邊形的每個內(nèi)角為度，能整除，能密鋪，故D不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了平面鑲嵌，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除．【變式】（2022春·八年級單元測試）用正多邊形來鑲嵌平面的原理是共頂點的各個角之和必須等于．現(xiàn)在有七種不同的正多邊形：①正三角形、②正方形、③正六邊形、④正八邊形、⑤正十邊形、⑥正十二邊形、⑦正十五邊形．請你用其中的不同的三種正多邊形來鑲嵌平面，這三種正多邊形可以是：________．（請用序號表示，只需寫出兩種即可）【答案】①②③或①②⑥或②③⑥【分析】先分別求出正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形的每個內(nèi)角，然后根據(jù)平面鑲嵌的條件解答即可．【詳解】解：用公式分別計算出正三角形的內(nèi)角為，正方形的內(nèi)角為，正六邊形的內(nèi)角為，正八邊形內(nèi)角為，正十邊形的內(nèi)角為，正十二邊形的內(nèi)角為，正十五邊形的內(nèi)角為，∵，∴正三角形、正方形、正六邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌；∵，∴正三角形、正方形、正十二邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌；∵，∴正方形、正六邊形、正十二邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌；故答案為：①②③或①②⑥或②③⑥．【點睛】本題主要考查了鑲嵌的條件，鑲嵌的條件是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·全國·八年級期末）如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于解答即可．【詳解】解：由多邊形的外角和等于可知，，故選：B．【點睛】本題考查的是多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和等于是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東泰安·八年級?？计谀┱噙呅蔚膬?nèi)角和為，則這個多邊形的一個內(nèi)角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正多邊形的內(nèi)角和為，可得，再求解n可得答案．【詳解】解：∵正多邊形的內(nèi)角和為，∴，解得：，∴這個多邊形的一個內(nèi)角為；故選C【點睛】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角和問題，熟記多邊形的內(nèi)角和公式與正多邊形的定義是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個多邊形是（）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形【答案】A【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式和多邊形的外角和都是，列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，，解得：，∴這個多邊形為六邊形．故選：A．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，這個多邊形的外角不可能是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的每個內(nèi)角都相等，則這個多邊形的每一個外角均相等，根據(jù)外角和等于即可求解．【詳解】解：由題意得，多邊形的每個內(nèi)角都相等，∴這個多邊形的每一個外角均相等．∴每一個外角的度數(shù)整除，∵、、均能整除，不能整除，∴選項C符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的外角和，熟記知識點是解題關(guān)鍵．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得，再由“8”字三角形可得，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，故選C．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，以及“8”字三角形的特點，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022春·八年級單元測試）將一個多邊形切去一個角后所得的多邊形內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)為（）A．或 B．或 C．或或 D．或或【答案】C【分析】因為一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問題．【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和可以表示成（且n是正整數(shù)），一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)題意得，解得：，則多邊形的邊數(shù)是或或，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，本題容易出現(xiàn)的錯誤是：認(rèn)為截取一個角后角的個數(shù)減少1．7．（2023秋·廣西欽州·八年級統(tǒng)考期末）小紅：我計算出一個多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對呀，你可能少加了一個角則小紅少加的這個角的度數(shù)是（）A．1 B．1 C．1 D．1【答案】D【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，由多邊形內(nèi)角和定理可得等式：，由n為整數(shù)即可確定x的值．【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，由題意得：，，由于n為整數(shù)，x為正數(shù)且小于，，則，故選：D．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是設(shè)多邊形的邊數(shù)及少加的角的度數(shù)，由多邊形內(nèi)角和定理得到等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)確定少加的角．8．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知一個多邊形內(nèi)角和為，則這個多邊形可連對角線的條數(shù)是（

）A．10 B．16 C．20 D．40【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計算公式求出這個多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對角線計算公式求解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形為n邊形，由題意得，，∴，∴這個多邊形為八邊形，∴這個多邊形可連對角線的條數(shù)是，故選C．【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對角線計算公式，熟知n邊形的對角線條數(shù)是是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·八年級課時練習(xí)）一個多邊形截去一角后，變成一個八邊形，則這個多邊形原來的邊數(shù)是（

）A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10【答案】C【分析】畫出所有可能的情況，即可作答．【詳解】如圖所示∴這個多邊形原來是7邊形或8邊形或9邊形故選C．【點睛】本題考查的知識點是多邊形內(nèi)角與外角，解題關(guān)鍵是注意分情況作答．二、填空題10．（2023春·安徽淮北·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若n邊形的每個內(nèi)角都是，則邊數(shù)n為___．【答案】5【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可．【詳解】解：由題意得，解得：．故答案為：5．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記內(nèi)角和公式并列出方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·八年級單元測試）如圖是由射線、、、組成的平面圖形，則______°．【答案】【分析】根據(jù)多邊形的外角和為求解即可．【詳解】解：由圖可知，、、、為組成的四邊形的外角，∴，故答案為：．【點睛】本題考查多邊形的外角性質(zhì)，熟知多邊形的外角和為是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）一個正n多邊形的一個內(nèi)角是它的外角的4倍，則___________．【答案】10【分析】由多邊形的每一個內(nèi)角與相鄰的這個外角互補先求解每一個外角，從而可得答案．【詳解】解：∵一個正n多邊形的一個內(nèi)角是它的外角的4倍，∴正多邊形的每一個外角為：，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合，熟記多邊形的每一個內(nèi)角與相鄰的這個外角互補是解本題的關(guān)鍵．13．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）若一個多邊形的每個外角均為，則這個多邊形的內(nèi)角和為_______度．【答案】【分析】依據(jù)多邊形外角和為求得邊數(shù)，再依據(jù)多邊形內(nèi)角和公式代入求解即可．【詳解】解：因為多邊形的每個外角均為，且外角和為，所以這個多邊形邊數(shù)：，則這個多邊形的內(nèi)角和為：，故答案為：．【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式、外角和為；通過外角和求得邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）一個多邊形外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)是________．【答案】12【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍，∴，解得：，所以這個多邊形的邊數(shù)為12．故答案為：12．【點睛】題目主要考查一元一次方程的應(yīng)用及多邊形的內(nèi)角和與外角和等，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．15．（2023春·陜西西安·八年級西安行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則它是____________邊形．【答案】八【分析】多邊形的外角和是度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則多邊形的內(nèi)角和是度，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可以表示成，依此列方程可求解．【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為．則，解得．∴這個多邊形是八邊形．故答案為：八．【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式及外角的特征．求多邊形的邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決．16．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）一個邊形的所有內(nèi)角和等于，則的值等于__．【答案】5【分析】已知邊形的內(nèi)角和為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和的公式易求解．【詳解】解：依題意有，解得．故答案為：5．【點睛】主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式，本題的難度簡單．掌握多邊形的內(nèi)角和為是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內(nèi)角和定理得到7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內(nèi)角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．18．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1440°．則原來多邊形的邊數(shù)是______．【答案】9或10或11【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出截去一個角后的多邊形的邊數(shù)，再分情況說明求得原來多邊形的解．【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為，根據(jù)題意得：又截去一個角后的多邊形的邊可以增加1、不變、減少1，原多邊形的邊數(shù)為9或10或11．【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式，本題的易錯點在于忽略考慮截去一個角后多邊形的邊數(shù)可以不變、增加或者減少．19．（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）某休閑廣場的地面中間是1塊正六邊形地磚，周圍是用正方形和正三角形地磚按如圖方式依次向外鋪設(shè)10圈而成，其中第1圈有6塊正方形和6塊正三角形地磚，則鋪設(shè)該廣場共用地磚塊．【分析】觀察三角形的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)：三角形依次是6+12×（1﹣1），6+12×（2﹣1），…，6+12×（n﹣1）塊，由此即可解決問題．【解答】解：根據(jù)題意分析可得：從里向外的第1層包括6個正三角形，6個正方形，一個正六邊形；第2層包括18個正三角形，6個正方形，此后，每層都比前一層多12個等邊三角形依此遞推，第10層中含有正三角形個數(shù)是6+12×9＝114個，∴鋪設(shè)該廣場共用地磚：6+18+???+114+6×10+1＝661（塊）．故答案為661．【點評】本題考查了平面鑲嵌（密鋪）問題，此題要注意能夠分別找到三角形和正方形的個數(shù)的規(guī)律．三、解答題20．（2023春·廣東茂名·八年級?？茧A段練習(xí)）已知一個正多邊形其一個內(nèi)角與其相鄰的一個外角的度數(shù)之比是，求這個多邊形是幾邊形？【答案】這個多邊形是九邊形【分析】設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式以及多邊形的外角和為，由此列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，由題意得：，解得：，．答：這個多邊形是九邊形．【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式及多邊形的外角和是是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·云南楚雄·八年級?？茧A段練習(xí)）若一個多邊形的外角和比這個多邊形的內(nèi)角和小．(1)求這個多邊形的邊數(shù)；(2)求這個多邊形的所有對角線條數(shù)．【答案】(1)這個多邊形的邊數(shù)是7(2)14條【分析】（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為，外角和為，列一元一次方程，即可求解；（2）n邊形的對角線條數(shù)為．【詳解】（1）解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，，解得．即這個多邊形的邊數(shù)是7．（2）解：，即這個多邊形有14條對角線．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和、外角和、對角線條數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形的內(nèi)角和為，外角和為，對角線條數(shù)為．22．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，求的大?。?/p>

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