拓展專題7求數(shù)列的通項(xiàng)公式（教師版）

拓展專題7求數(shù)列的通項(xiàng)公式將數(shù)列的第n項(xiàng)用一個(gè)具體式子（含有參數(shù)n）表示出來，稱作該數(shù)列的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"通項(xiàng)公式。這正如將數(shù)列的第n項(xiàng)用一個(gè)具體式子（含有參數(shù)n）表示出來，稱作該數(shù)列的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"通項(xiàng)公式。這正如\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"函數(shù)的\t"s://baike.baidu/item/%E6%95%B0%E5%88%97%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/_blank"解析式一樣，通過代入具體的n值便可求知相應(yīng)an

項(xiàng)的值。求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是考察學(xué)生對(duì)數(shù)列的思考能力、熟練程度和解題能力的重要手段。這部分內(nèi)容靈活度較大、技巧性強(qiáng)，需要學(xué)生仔細(xì)琢磨各類題型的特點(diǎn)，熟練掌握相應(yīng)的技巧，只要多思考、多總結(jié)，這部分試題并不難?！戏拾酥兄袑W(xué)一級(jí)教師關(guān)良玲探究1：前n項(xiàng)和法【典例剖析】例1.(2022·江蘇省無錫市模擬)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=3，且a(1)求證：數(shù)列1S(2)求數(shù)列an選題意圖:由選題意圖:由前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，理論基礎(chǔ)是an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2思維引導(dǎo)：第（1）問中將an=Sn-Sn-1n≥2帶入an=2SnSn-1,n≥2中，得到Sn與Sn-1n≥2的關(guān)系式，從而判斷出數(shù)列1Sn為等差數(shù)列，從而求出Sn；【解析】(1)∵an=2SnSn-1(n∈N*,n≥2)，

∴Sn-Sn-1=2SnSn-1，

由題知SnSn-1≠0，

兩邊同時(shí)除以SnSn-1，得1Sn-1-1Sn=2，

∴1Sn-1S【變式訓(xùn)練】練11(2022·山西省運(yùn)城市模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn=【解析】因?yàn)镾n=n2an(n∈N*)，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=(n-1)2an-1，

故an=S練12(2022·遼寧省丹東市月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=12，Sn=n2an-n2(n-1)．【解析】(1)證明：由Sn=n2an-n2(n-1)，

可知n≥2時(shí)，Sn=n2(Sn-Sn-1)-n2(n-1)．

可得Sn=n2n2-1Sn-1+n2n+1．

所以【規(guī)律方法】數(shù)列是高考中的重要考查內(nèi)容,求通項(xiàng)公式往往會(huì)作為解答題的第(1)問,難度

多,但是每一類求法對(duì)應(yīng)的條件的區(qū)別較為明顯,重點(diǎn)掌握幾種常用的求通項(xiàng)公式的思路方法.

Sn求a=1\*GB3①已知Sn=f(n)，則an＝第一步：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；第二步：當(dāng)n≥2時(shí)，an==2\*GB3②已知Sn=f(Sn-1)：可先求出數(shù)列=3\*GB3③已知Sn=f(an)：Sn=f(an)Sn=f(an)得到Sn與S探究2：累加法【典例剖析】例2.(2022·湖北省聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中，an+1=an+選題意圖：選題意圖：遞推關(guān)系滿足an+1-an=fn即可利用累加法求出ann≥2，注意驗(yàn)證a1是否符合，思維引導(dǎo)：題干中的遞推關(guān)系為an+1-an=1n-1【解析】由an+1=an+1n2+n，a2=32，得a1=1，

an+1-an=1n2+n=1n-1【變式訓(xùn)練】練21(2022·浙江省模擬)已知數(shù)列{an}滿足nan+1-(n+1)an=1(n∈A.12n B.n-1 C.n【解析】∵nan+1-(n+1)an=1(n∈N*),?

∴ann-an-1n-1=1n-1-1n，

累加得ann-a33練22(2022·江蘇省模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，給出以下三個(gè)條件：

①a1=1，nan+1=(n+1)an從這三個(gè)條件中任選一個(gè)解答下面的問題．(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=4Snan【解析】(1)若選①：由nan+1=(n+1)an+1(n∈N*)，得an+1n+1=ann+1n(n+1).

令cn=ann，可得cn+1-cn=1n-1n+1．

當(dāng)n≥2時(shí)，cn-cn-1=1n-1-1n，cn-1-cn-2=1n-2-1n-1，…，c2-c1=1-12，

累加得cn-c1=1-1n.

又c1=a11=1，則cn=2-1n(n≥2)，則【規(guī)律方法】2.累加法：a第一步：將已知條件中的遞推關(guān)系,經(jīng)過整理變形得到后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為一個(gè)關(guān)于項(xiàng)數(shù)的函數(shù),即an+1第二步：寫出an-an-1=f第三步：得到an-a第四步：檢驗(yàn)a1是否滿足所求通項(xiàng)公式，若滿足，則合并；若不滿足，則寫出分段形式探究3：累乘法【典例剖析】例3.(2022·江蘇省南通市月考)已知數(shù)列{an}，a1=1，且anan+1=選題意圖：選題意圖：遞推關(guān)系滿足an+1an=fn即可利用累乘法求出a思維引導(dǎo)：題干條件anan+1=nn+2不符合累乘法的模型an+1an=f【解析】因?yàn)閍n?an+1=nn+2，

所以a1?a2?a3?…?a2n-2?a2n-1?a2n=13?35?57·…·2n-12n+1=12n+1；

由an?an+1=nn+2，可得an+1?【變式訓(xùn)練】練31(2022·江西省聯(lián)考)已知a1=1,an=n(an+1A.an=n B.an=【解析】∵a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*)，

∴(n+1)an=na練32(2022·河南省重點(diǎn)高中頂尖計(jì)劃模擬)已知數(shù)列an中，a1=14，an-2an+1A.3 B.5 C.7 D.9【解析】因?yàn)閍n-2an+1an+2an+1=1n+1，

所以化簡可得

an+1an=n2(n+2)，

所以a2a1?a3a2?【規(guī)律方法】乘法：a第一步：將已知條件中的遞推關(guān)系,經(jīng)過整理變形得到后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為一個(gè)關(guān)于項(xiàng)數(shù)的函數(shù),即an+1第二步：寫出anan-1=fn-1，a第三步：得到ana1第四步：檢驗(yàn)a1是否滿足所求通項(xiàng)公式，若滿足，則合并；若不滿足探究4：構(gòu)造法【典例剖析】例4.(2021·廣東省佛山市月考)已知在數(shù)列{an}中，a6=11，且nan-(n-1)an+1選題意圖：選題意圖：根據(jù)遞推關(guān)系適當(dāng)變形構(gòu)造特殊數(shù)列靈活性較大，解題中需要抓住給出的條件式的特點(diǎn)，再運(yùn)用代數(shù)手段進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，變形方法需要一定的技?本題由相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系推導(dǎo)出相鄰三項(xiàng)的關(guān)系，從而判斷出數(shù)列an即為等差數(shù)列思維引導(dǎo)：由題干中的遞推關(guān)系得出n+1an+1-nan+2=1，兩式聯(lián)立得出an+an+2=2an+1，判斷出數(shù)列an為等差數(shù)列，求出【解析】因?yàn)閚an-(n-1)an+1=1，所以(n+1)an+1-nan+2=1，

兩式相減得nan-2nan+1+nan+2=0，所以an+an+2=2an+1，

所以數(shù)列{a【變式訓(xùn)練】練41(2022·江蘇省鹽城市月考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=anan+2(n∈【解析】∵數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=anan+2，(n∈N*)，

∴1an+1=2an+1，化為1an+1+1=2(1an+1)，

∴數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1a1+1=2，公比為2，

∴1an+1=練42(2021·安徽省合肥市聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a1=1，an∈N)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)A.12n-1 B.12n【解析】由題意得，anan-1+2anan+1=3an-1an+1，

∴1an+1+2an-1=3an，

∴1an+1-1練43(2022·江蘇省南京市模擬)已知數(shù)列{an}滿足a12an+1anan-1【解析】數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=13，

且2an+1anan-1=an+1an+anan-1-2an+1an-1(n≥2)，練44(2021·湖南省永州市模擬)已知數(shù)列an=32an-1A.63log23-31 B.31log【解析】由an=32an-12+3an-1+12可得an在等式an+1=3令bn=log2an+1所以，數(shù)列bn+log23∴b即log2a5+1=32【規(guī)律方法】4.構(gòu)造法：=1\*GB3①an+1=pan+q（其中p,q第一步：先將遞推公式改寫為an+1第二步：由待定系數(shù)法，解得k=q第三步：求出數(shù)列{an+qp-1=2\*GB3②an+1=pan+qn+r（其中p,q為常數(shù)，且第一步：先將遞推公式改寫為an+1第二步：由待定系數(shù)法，求出m,t的值；第三步：求出數(shù)列an+mn+t的通項(xiàng)公式，得到an=3\*GB3③an+1=pan+qn（其中思路一：第一步：兩邊同除以qn+1，得a第二步：若p≠q，利用=1\*GB3①中方法求出數(shù)列anqn的通項(xiàng)公式，得到an的通項(xiàng)公式；若p=q，數(shù)列思路二：第一步：或先將遞推公式改寫為an+1第二步：由待定系數(shù)法，求出m的值；第三步：求出數(shù)列an+m?qn的通項(xiàng)公式，得到=4\*GB3④xan+2+yan+1+z第一步：把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an+2第二步：設(shè)bn=an+1-pan，則bn+1=mbn+q；若m≠1，則利用=1\*GB3第三步：通過數(shù)列an+1-pan的通項(xiàng)公式，即數(shù)列a=5\*GB3⑤an+1=panq第