北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題2.47 二次函數(shù)壓軸題-相似問題（鞏固篇）

專題2.47二次函數(shù)壓軸題-相似問題（鞏固篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖1，在矩形ABCD中，動點E從A出發(fā)，沿A→B→C方向運動，當(dāng)點E到達點C時停止運動，過點E作EF⊥AE交CD于點F，設(shè)點E運動路程為x，CF＝y(tǒng)，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，給出下列結(jié)論：①a＝3；②當(dāng)CF＝時，點E的運動路程為或或，則下列判斷正確的是()A．①②都對 B．①②都錯 C．①對②錯 D．①錯②對2．如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，連接、，若平分，則的值為(）A． B． C． D．3．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為，連結(jié)，．在軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形與相似，則滿足條件的所有點的坐標為（）A．， B．，C．，， D．，4．拋物線，設(shè)該拋物線與軸的交點為和，與軸的交點為C，若，則的值為（

）A． B． C． D．5．如圖，等邊三角形中，，點在邊上，且，點是邊上的一動點，作射線．射線繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到射線，交于點，則點從的運動過程中，的最大值是（）A． B．1 C． D．二、填空題6．如圖，在中，是邊上的高，且，，矩形的頂點、在邊上，頂點、分別在邊和上，如果設(shè)邊的長為，矩形的面積為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式是________．三、解答題7．如圖已知點A（﹣2，4）和點B（1，0）都在拋物線y=mx2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，若四邊形AA′B′B為菱形，求平移后拋物線的表達式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB′的交點為點C，試在x軸上找點D，使得以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似．8．如圖，拋物線（a0）與反比例函數(shù)的圖像相交于點A，B．已知點A的坐標為（1，4），點B（t，q）在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標原點）（1）求反比例函數(shù)的解析式（2）用含t的代數(shù)式表示直線AB的解析式；（3）求拋物線的解析式；（4）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，把△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90o，請在圖②中畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形，并直接寫出所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.9．如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，A、B兩點的坐標分別為（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）點E為拋物線的頂點，點C為拋物線與x軸的另一交點，點D為y軸上一點，且DC＝DE，求出點D的坐標；（3）在第二問的條件下，在直線DE上存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似，請你直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．10．拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，－3）、B（4，0），①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO＝∠POB，求點D的坐標；（2）如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點．當(dāng)點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．11．拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；（2）在直線上方的拋物線上找一點P，使，求點P的坐標；（3）在坐標軸上找一點M，使以點B，C，M為頂點的三角形與相似，直接寫出點M的坐標．12．在直角坐標平面內(nèi)，直線y=x+2分別與x軸、y軸交于點A、C．拋物線y=﹣+bx+c經(jīng)過點A與點C，且與x軸的另一個交點為點B．點D在該拋物線上，且位于直線AC的上方．（1）求上述拋物線的表達式；（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，且BD交AC于點E，如果△ABE的面積與△ABC的面積之比為4：5，求∠DBA的余切值；（3）過點D作DF⊥AC，垂足為點F，聯(lián)結(jié)CD．若△CFD與△AOC相似，求點D的坐標．13．如圖1，拋物線過點，，與軸相交于點.（1）求拋物線的解析式；（2）在軸正半軸上存在點，使得是等腰三角形，請求出點的坐標；（3）如圖2，點是直線上方拋物線上的一個動點.過點作于點，是否存在點，使得中的某個角恰好等于的2倍？若存在，請求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由.14．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（?3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，請直接寫出x的范圍；（3）點D是拋物線上位于第二象限的一個動點，連接CD，當(dāng)∠ACD=90°時，求點D的橫坐標．如圖，拋物線與x軸的兩個交點分別為，與y軸交于點C，點B在y軸正半軸上，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，拋物線的頂點為點E，對稱軸交x軸于點M，連接、，請在拋物線的對稱軸上找一點Q，使，求出點Q的坐標；（3）如圖2，過點C作軸，交拋物線于點F，連接，點G是x軸上一點，在拋物線上存在點N，使以點B、F、G、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請你直接寫出點N的坐標．16．如圖，以為頂點的拋物線交軸于、兩點，交軸于點，直線的表達式為．（1）求拋物線的表達式；（2）在直線上有一點，使的值最小，求點的坐標；（3）在軸上是否存在一點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．17．如圖，直線AB的解析式為，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點，點P是拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標為m．求拋物線的解析式；如圖，當(dāng)點P在第一象限內(nèi)的拋物線上時，求面積的最大值，并求此時點P的坐標；過點A作直線軸，過點P作于點H，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點H的對應(yīng)點恰好落在直線AB上，同時恰好落在坐標軸上，請直接寫出點P的坐標．18．已知拋物線經(jīng)過點，，與軸的另一個交點為．（1）求出此拋物線的表達式及點坐標（2）如圖1，的中點記為，，將繞點在的左側(cè)旋轉(zhuǎn)，與射線交于點，與射線交于點．設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)?shù)倪吔?jīng)過點時，求，的值（直接寫出結(jié)果）．19．如圖，拋物線與坐標軸交點分別是、、，作直線．（1）求拋物線的解析式；（2）點為拋物線上第一象限內(nèi)一動點，過點作軸于點，設(shè)點的橫坐標為，求的面積與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；（3）條件同（2）若與相似，求點的坐標．20．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，直線AC交二次函數(shù)圖象的對稱軸于點D，若點C為AD的中點．（1）求m的值；（2）若二次函數(shù)圖象上有一點Q，使得tan∠ABQ＝3，求點Q的坐標；（3）對于（2）中的Q點，在二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點、，直線經(jīng)過拋物線的頂點，點是拋物線上一點，且位于對稱軸的右側(cè)，聯(lián)結(jié)，，，過點作軸，分別交線段、于點、.（1）求拋物線的表達式；（2）當(dāng)時，求證：；（3）當(dāng)時，求點的坐標.參考答案1．A【分析】由已知，AB=a，AB+BC=5，當(dāng)E在BC上時，如圖，可得△ABE∽△ECF，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得y=﹣，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得﹣，由此可得a=3，繼而可得y=﹣，把y=代入解方程可求得x1=，x2=，由此可求得當(dāng)E在AB上時，y=時，x=，據(jù)此即可作出判斷．【詳解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5，當(dāng)E在BC上時，如圖，∵E作EF⊥AE，∴△ABE∽△ECF，∴，∴，∴y=﹣，∴當(dāng)x=時，﹣，解得a1=3，a2=（舍去），∴y=﹣，當(dāng)y=時，=﹣，解得x1=，x2=，當(dāng)E在AB上時，y=時，x=3﹣=，故①②正確，故選A．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，弄清題意，正確畫出符合條件的圖形，熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】先求出A(1,0),B(3,0)，C(0,3m)，再證△COB∽△ADB，列比例式求解即可.【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，當(dāng)y=0時，即，解得，x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),當(dāng)x=0時，y=3m,∴C(0,3m),過點A作AD⊥BD于點D，如圖，∵平分，∴AD=OA=1,又∵AB=2,∴BD=,∵∠COB=∠ADB,∠B=∠B,∴△COB∽△ADB,∴,即，∴m=,故選D.【點撥】此題主要考查了二次函數(shù)與坐標軸交點和相似三角形的判定與性質(zhì).正確的添加輔助線和證△COB∽△ADB是解決問題的關(guān)鍵.3．D【詳解】解：設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點，由題可知，，，，，，，，∵，，∴，，又，∴，，則①當(dāng)時，，即，，②當(dāng)時，，即，，同樣有，∴點在點左側(cè)，此時，綜上，在軸上有兩點，，滿足題意．故選D．點睛：此題主要考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、相似三角形的判定和性質(zhì)、以及等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識點，要注意的是（2）（3）中都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，所以考慮問題一定要全面，以免漏解．4．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)表達式可得對稱軸為直線，由及二次函數(shù)的對稱性可得，進而可得的等量關(guān)系式，然后根據(jù)得出的值，所以得出C的坐標，最后根據(jù)求解即可．【詳解】如圖所示：拋物線，對稱軸為直線拋物線與軸的交點為和，OA=5當(dāng)y=0時，-5與2是方程的兩個根根據(jù)韋達定理可得：即即，解得．故選C．【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的綜合知識、相似三角形的性質(zhì)及求角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)解析式得到對稱軸，得到A、B的坐標，進而得到參數(shù)的等量關(guān)系式，最后根據(jù)射影定理得到線段的等量關(guān)系求解參數(shù)，然后根據(jù)求角的三角函數(shù)值求解即可．5．C【分析】由題意易得，然后可得，則有，設(shè)BE=x，則有EC=3-x，進而可得，即，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：∵等邊三角形中，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)BE=x，則有EC=3-x，∴，即，∴，∵，∴當(dāng)時，CF有最大值，即為；故選C．【點撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．【分析】設(shè)邊的長為（），則，進而利用已知得出，進而得出的長，即可得出答案.【詳解】設(shè)邊的長為（），則，，，，，解得：，矩形的面積為，關(guān)于的函數(shù)解析式是：.故答案為：.【點撥】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知得出的長是解題關(guān)鍵.7．（1）（2）（3）【分析】（1）已知了拋物線圖象上A、B兩點的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得m、n的值．（2）根據(jù)A、B的坐標，易求得AB的長；根據(jù)平移的性質(zhì)知：四邊形A

A′B′B一定為平行四邊形，若四邊形A

A′B′B為菱形，那么必須滿足AB=BB′，由此可確定平移的距離，根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律即可求得平移后的拋物線解析式．（3）易求得直線AB′的解析式，聯(lián)立平移后的拋物線對稱軸，可得到C點的坐標，進而可求出AB、BC、AC、B′C的長；在（2）題中已經(jīng)證得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′對應(yīng)，若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，可分兩種情況考慮：①∠B′CD=∠ABC，此時△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此時△B′DC∽△ABC；根據(jù)上述兩種不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可求得不同的BD長，進而可求得D點的坐標．【詳解】解：（1）由于拋物線經(jīng)過A（﹣2，4）和點B（1，0），則有：，解得；故m=﹣，n=4．（2）由（1）得：y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+1）2+；由A（﹣2，4）、B（1，0），可得AB==5；若四邊形AA′B′B為菱形，則AB=BB′=5，即B′（6，0）；故拋物線需向右平移5個單位，即：y=﹣（x+1﹣5）2+=﹣（x﹣4）2+．（3）由（2）得：平移后拋物線的對稱軸為：x=4；∵A（﹣2，4），B′（6，0），∴直線AB′：y=﹣x+3；當(dāng)x=4時，y=1，故C（4，1）；所以：AC=3，B′C=，BC=；由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；若以點B′、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，則：①∠B′CD=∠ABC，則△B′CD∽△ABC，可得：=，即=，B′D=3，此時D（3，0）；②∠B′DC=∠ABC，則△B′DC∽△ABC，可得：=，即=，B′D=，此時D（，0）；綜上所述，存在符合條件的D點，且坐標為：D（3，0）或（，0）．【點撥】此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識；（3）題中，在相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊不確定的情況下，一定要分類討論，以免漏解．8．（1）（2）y=x+（3）y=x2+3x（4）點的坐標是（8，），或（2，）【分析】（1）將A(1,4)代入雙曲線即可求出k值；（2）設(shè)點B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達式為，將A,B代入即可求出直線AB的解析式；（3）可表示出直線AB與y軸的交點坐標，根據(jù)△AOB的面積為3，得，則求出點B的坐標，將點A，B代入拋物線即可求出a,b的值.（4）畫出圖形，可得出E的坐標由兩個.【詳解】（1）因為點A（1，4）在反比例函數(shù)上，所以k=4.故反比例函數(shù)表達式為（2）設(shè)點B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達式為，則有解得，.直線AB的解析式為y=x+（3）直線AB與y軸的交點坐標為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標為（，）．因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以解得所以拋物線的解析式為y=x2+3x（4）畫出圖形點的坐標是（8，），或（2，）9．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P點坐標（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．【分析】(1)將A,B兩點坐標代入解析式，求出b,c值，即可得到拋物線解析式；(2)先根據(jù)解析式求出C點坐標，及頂點E的坐標，設(shè)點D的坐標為（0，m），作EF⊥y軸于點F，利用勾股定理表示出DC,DE的長．再建立相等關(guān)系式求出m值，進而求出D點坐標；(3)先根據(jù)邊角邊證明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后當(dāng)以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似時，根據(jù)對應(yīng)邊不同進行分類討論：①當(dāng)OC與CD是對應(yīng)邊時，有比例式，能求出DP的值，又因為DE=DC,所以過點P作PG⊥y軸于點G，利用平行線分線段成比例定理即可求出DG,PG的長度，根據(jù)點P在點D的左邊和右邊，得到符合條件的兩個P點坐標；②當(dāng)OC與DP是對應(yīng)邊時，有比例式，易求出DP，仍過點P作PG⊥y軸于點G，利用比例式求出DG,PG的長度，然后根據(jù)點P在點D的左邊和右邊，得到符合條件的兩個P點坐標；這樣，直線DE上根據(jù)對應(yīng)邊不同，點P所在位置不同，就得到了符合條件的4個P點坐標.【詳解】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，﹣3），∴，解得，故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）令x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則點C的坐標為（3，0），∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴點E坐標為（1，﹣4），設(shè)點D的坐標為（0，m），作EF⊥y軸于點F（如下圖），∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，∴點D的坐標為（0，﹣1）；（3）∵點C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），∴CO=DF=3，DO=EF=1，根據(jù)勾股定理，CD===，在△COD和△DFE中，∵，∴△COD≌△DFE（SAS），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，∴∠CDE=180°﹣90°=90°，∴CD⊥DE，①當(dāng)OC與CD是對應(yīng)邊時，∵△DOC∽△PDC，∴，即=，解得DP=，過點P作PG⊥y軸于點G，則，即,解得DG=1，PG=，當(dāng)點P在點D的左邊時，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，所以點P（﹣，0），當(dāng)點P在點D的右邊時，OG=DO+DG=1+1=2，所以，點P（，﹣2）；②當(dāng)OC與DP是對應(yīng)邊時，∵△DOC∽△CDP，∴，即=，解得DP=3，過點P作PG⊥y軸于點G，則，即，解得DG=9，PG=3，當(dāng)點P在點D的左邊時，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，所以，點P的坐標是（﹣3，8），當(dāng)點P在點D的右邊時，OG=OD+DG=1+9=10，所以，點P的坐標是（3，﹣10），綜上所述，在直線DE上存在點P，使得以C、D、P為頂點的三角形與△DOC相似，滿足條件的點P共有4個，其坐標分別為（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.二次函數(shù)動點問題；3.一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合題.10．（1）①y＝x2-；②點D的坐標為（-1，-3）或（，）；（2）是定值，等于2.【詳解】（1）①將P（1，－3）、B（4，0）代入y＝ax2＋c得，解得，∴拋物線的解析式為：；②如圖：D在P左側(cè)，由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D與P關(guān)于y軸對稱，由P（1，－3）得D（-1，-3）；如圖，D在P右側(cè)，即圖中D2，則∠D2PO＝∠POB，延長PD2交x軸于Q，則QO＝QP，設(shè)Q（q，0），則（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），易得直線PD2為，再聯(lián)立得：x＝1或，∴D2（）∴點D的坐標為（-1，-3）或（）；（2）設(shè)B（b，0），則A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，過點P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易證：△PAH∽△EAO，則即，∴，同理得∴，∴，則OE＋OF＝∴，又OC＝－c，∴.∴是定值，等于2．考點：二次函數(shù)的綜合題.11．（1）；；（2）或；（3）點M的坐標為或，或．【分析】（1）將代入拋物線解析式中，利用待定系數(shù)法解得拋物線的一般式解析式，再利用配方法，化為頂點式解析式，即可解題；（2）令，解得拋物線與軸是交點，再利用勾股定理分別解得的長，接著根據(jù)勾股定理逆定理判斷為直角三角形，設(shè)直線的解析式為，由待定系數(shù)法解得直線的解析式，并解得線段的中點N的坐標，過點N作，交拋物線于點P，由待定系數(shù)法解得直線的解析式，聯(lián)立由成一元二次方程，據(jù)此解題即可；（3）分三種情況討論：①，②，③，分別利用相似三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）將代入拋物線解析式中得：，解得：，∴拋物線解析式為；當(dāng)時，，∴頂點；（2）當(dāng)時，∴點C的坐標為，∴，∴，∴為直角三角形，．設(shè)直線的解析式為，根據(jù)題意得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，，∴線段的中點N的坐標為，過點N作，交拋物線于點P，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，由聯(lián)立得：，解得：，∴或；（3）分三種情況：①，此時M恰好為原點，；②，設(shè)或（舍去）此時；③，設(shè)或（舍去）此時M在y軸負半軸上，；綜上所述，點M的坐標為或或．【點撥】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法解二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一元二次方程、勾股定理及勾股定理逆定理、相似三角形的性質(zhì)等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12．（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．【詳解】試題分析：（1）由直線得到A、C的坐標，然后代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法即可得；（2）過點E作EH⊥AB于點H，由已知可得，從而可得、的長，然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得；（3）分情況討論即可得.試題分析：（1）由已知得A(-4，0)，C(0，2)，把A、C兩點的坐標代入得，，∴，∴；（2）過點E作EH⊥AB于點H，由上可知B（1，0），∵，∴，∴，∴∴，∵∴；（3）∵DF⊥AC，∴，①若，則CD//AO，∴點D的縱坐標為2，把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），∴D(-3，2)；②若時，過點D作DG⊥y軸于點G，過點C作CQ⊥DG交x軸于點Q，∵，∴，∴，∴，設(shè)Q(m，0)，則，∴，∴，易證：∽，∴，設(shè)D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，∴.13．（1）（2）、（3）2或【分析】（1）把點，代入拋物線，即可求出拋物線的解析式；（2）求出點C的坐標，求出的長度，分①當(dāng)②當(dāng)兩種情況進行討論即可.（3）過點作軸于點，過點作軸，交軸于點，交于點，證明，得到，求出直線的解析式是：設(shè)，則，，分①,②兩種情況進行討論即可.【詳解】（1）.∵拋物線過點，，∴解得∴二次函數(shù)的表達式為：（2）拋物線，當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴，，∴，①當(dāng)時，如圖1，點是線段的中垂線與軸的交點，設(shè)，則，在中，，解得，∴②當(dāng)時，∴（3）2或如圖4，過點作軸于點，過點作軸，交軸于點，交于點，易證∴，在（2）的圖1中∴∴∵，∴直線的解析式是：設(shè)則，①當(dāng)時，，∴，即∴，∴，∴將代入得：解得，∴點的橫坐標是.②當(dāng)時，，方法同①，可確定的橫坐標時【點撥】考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)等，綜合性比較強，難度較大.14．（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）用待定系數(shù)法解二次函數(shù)的解析式即可；（2）分別計算臨界點、時，相對應(yīng)的的值，再結(jié)合圖象解題即可；（3）過點D作DE⊥y軸于點E，由題意設(shè)，繼而證明△AOC∽△CED，最后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)及解一元二次方程解題．【詳解】解：（1）把A（?3，0）、B（?1，0）代入，得，解得所以二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時，即拋物線與軸的交點當(dāng)時，即結(jié)合圖象可得，當(dāng)時，或；（3）∵A（?3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4，如圖，過點D作DE⊥y軸于點E，設(shè)，∵點D在第三象限，∴x<0，∴∵∠ACD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，∵∠CDE+∠DCE=90°，∴∠ACO=∠CDE，又∵∠AOC=∠DEC=90°，∴△AOC∽△CED，∴，即，解得，即點D的橫坐標是．【點撥】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形、一元二次方程等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．（1）；（2）或；（3）或或或或【分析】（1）把把，代入，利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）如圖1中，過作軸于證明BE⊥AB，分兩種情形求解①作BQ⊥EM交EM于Q，由∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，推出∠ABQ=∠BEM，滿足條件，此時．②當(dāng)點Q在AB的下方時，設(shè)，AB交EM于K．求解，由，可得，列出方程即可解決問題；（3）當(dāng)以為平行四邊形的邊時，如圖2中，如圖3，畫出符合題意的圖形，設(shè)，再利用平行四邊形的性質(zhì)與平移的性質(zhì)表示的坐標，利用的縱坐標為列方程，解方程可得答案，如圖4，當(dāng)以為平行四邊形的對角線時，同理設(shè)，，再利用平行四邊形的性質(zhì)以及中點坐標公式列方程，解方程可得答案．【詳解】解：（1）把，代入得到，解得，∴拋物線的解析式為．（2）如圖1中，過作軸于∵，∴頂點，∵，，，∴，作BQ⊥EM交EM于Q，∵∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，∴∠ABQ=∠BEM，滿足條件，此時．當(dāng)點Q在AB的下方時，記為，設(shè)，AB交EM于K．設(shè)直線為，，∴直線的解析式為，當(dāng)時，∵∴，∴，∴解得經(jīng)檢驗：符合題意，∴綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為或．（3）當(dāng)以為平行四邊形的邊時，如圖2中，，拋物線的對稱軸為設(shè)，由平行四邊形及平移的性質(zhì)可得：且在軸上，如圖3，設(shè)，同理可得：同理可得：如圖4，當(dāng)以為平行四邊形的對角線時，同理設(shè)，，由平行四邊形的性質(zhì)得：的中點坐標為，的中點坐標為：綜上所述，滿足條件的點N的坐標為或或或或【點撥】本題考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平移的坐標變化，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．16．（1）；（2）點的坐標為；（3）存在，的坐標為或【分析】（1）先求出點B，C坐標，再用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）作點O關(guān)于BC的對稱點O′，則O′（6，6），則OP+AP的最小值為AO′的長，然后求得AP的解析式，聯(lián)立直線AP和BC的解析式可求得點P的坐標；

（3）先判斷出△BCD是直角三角形，求出，得出∠BDC=∠CAO．分兩種情況由相似三角形的性質(zhì)可得出比例線段，求出AQ的長，則可得出答案．【詳解】解：（1）把代入，得：，∴，把代入得：，∴，將、代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1所示：作點關(guān)于的對稱點，則，∵與關(guān)于對稱，∴．∴．∴當(dāng)、、在一條直線上時，有最小值．∵，當(dāng)時，，解得：，，∴，設(shè)的解析式為，把、代入得：，解得：，∴的解析式為，將與聯(lián)立，解得：，∴點的坐標為；（3）如圖2，∵，∴，又∵、，∴，，．∴，∴是直角三角形，∴，∵，，∴，，∴，∴．當(dāng)時，有，即，解得，∴；當(dāng)時，有，即，解得，∴；綜上所述，當(dāng)?shù)淖鴺藶榛驎r，以、、為頂點的三角形與相似．【點撥】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理，銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．17．（1）拋物線解析式為；（2）當(dāng)時，面積有最大值，最大值為8，此時P點坐標為；（3）P點坐標為或；【分析】（1）先利用直線進行確定則A（0，4），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）連接OP，設(shè)P（m，-m2+m+4），解方程?x+4=0得B（3，0），根據(jù)三角形面積公式，利用面積的和差得到S△ABP=S△AOP+S△POB-S△AOB=?4?m+?3?（-m2+m+4）-?3?4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）先利用勾股定理計算出AB=5，討論：當(dāng)點P′落在x軸上，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得P′H′=PH=4-（-m2+m+4）=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，再證明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′=m2-m，然后利用AH′+BH′=AB得到m+m2-m=5，解方程求出m即可得到P點坐標；當(dāng)點P′落在y軸上，如圖3，同理可得P′H′=PH=m2-m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，通過證明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2-m）：3=m：4，然后解關(guān)于m的方程即可得到對應(yīng)P點坐標．【詳解】解：當(dāng)時，，則，把，代入得，解得，拋物線解析式為；連接OP，設(shè)，當(dāng)時，，解得，則，，，當(dāng)時，面積有最大值，最大值為8，此時P點坐標為；在中，，當(dāng)點落在x軸上，如圖2，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點H的對應(yīng)點恰好落在直線AB上，同時恰好落在x軸上，，，，∽，：：OB，即：：3，，，，解得，舍去，此時P點坐標為；當(dāng)點落在y軸上，如圖3，同理可得，，，，∽，：：AO，即：：4，整理得，解得，舍去，此時P點坐標為；綜上所述，P點坐標為或；【點撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會利用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標與圖形性質(zhì)．18．（1），；（2）；（3），．【分析】（1）把A、B點的坐標代入拋物線解析式可得關(guān)于b、c的二元一次方程組，解得b、c即可得到拋物線的解析式，令y=0求得相應(yīng)x后可得C點坐標；

（2）利用三角形相似的判定與性質(zhì)可以得解；

（3）分DM經(jīng)過C和DN經(jīng)過C兩種情況討論．【詳解】解：（1）分別把A、B坐標代入拋物線解析式可得：

，解之得：，

∴拋物線的表達式為：，

令y=0，即得：，解之可得x=2或x=-1，

∴拋物線與x軸的另一個交點C的坐標為（-1，0