復(fù)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)

第四章級(jí)數(shù)2021/5/91§4.1

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限2.級(jí)數(shù)的概念2021/5/921.復(fù)數(shù)列的極限定義又設(shè)復(fù)常數(shù)：定理1證明2021/5/932021/5/94例1

判斷下列數(shù)列是否收斂？若收斂，求出其極限。2021/5/952.級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和不收斂---無窮級(jí)數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列：

2021/5/96例2解定理2證明2021/5/97

由定理2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可歸之為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題。性質(zhì)定理3證明2021/5/98

?定義由定理3的證明過程，及不等式定理42021/5/99解例22021/5/910練習(xí)：2021/5/9111.冪級(jí)數(shù)的概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§4.2冪級(jí)數(shù)2021/5/9121.冪級(jí)數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和

2021/5/913若級(jí)數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中稱為冪級(jí)數(shù)2021/5/9142.收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）2021/5/915證明2021/5/916(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。2021/5/917顯然，

<

否則，級(jí)數(shù)(3)將在

處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，

逐漸變大，在c

內(nèi)部都是紅色,

逐漸變小，在c

外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故播放2021/5/9182021/5/919

(i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓；這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.2021/5/9204.收斂半徑的求法

定理2(比值法)證明2021/5/9212021/5/922

定理3(根值法)2021/5/923

定理3(根值法)

定理2(比值法)2021/5/924例1解

綜上2021/5/925例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑2021/5/9265.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算2021/5/927---冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算

冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用.例3解代換2021/5/928解代換展開還原2021/5/929

分析運(yùn)算

定理4---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算2021/5/930例4

求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及收斂圓.2021/5/9311.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)2021/5/9321.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）由§4.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。2021/5/933定理1（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得2021/5/934Dkz2021/5/935---(*)得證！2021/5/936證明2021/5/9372021/5/9382021/5/9392021/5/940

2021/5/9412.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級(jí)數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù):2021/5/942由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的方法：2021/5/9433.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解2021/5/9442021/5/945

上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級(jí)數(shù):解2021/5/946(2)由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：2021/5/947

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,

它的展開式的收斂范圍為z<1.2021/5/948練習(xí)2021/5/949定理2021/5/9502021/5/9511.預(yù)備知識(shí)

2.雙邊冪級(jí)數(shù)

3.函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)

4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)2021/5/952

由§4.3

知,f(z)在z0

解析，則f(z)總可以在z0

的某一個(gè)圓域

z-z0

<R內(nèi)展開成z-z0的冪級(jí)數(shù)。若f(z)在z0點(diǎn)不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級(jí)數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<

z-z0

<R2

內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級(jí)數(shù)表示呢？例如，2021/5/953由此推想，若f(z)在R

1<

z-z0

<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即2021/5/954

本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。2021/5/9551.預(yù)備知識(shí)Cauchy積分公式的推廣到復(fù)連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z2021/5/9562.雙邊冪級(jí)數(shù)---含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義形如---雙邊冪級(jí)數(shù)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分：負(fù)冪項(xiàng)部分：2021/5/957級(jí)數(shù)(2)是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2，則級(jí)數(shù)在

z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在

z-z0

=R2外發(fā)散。

2021/5/958z0R1R2z0R2R12021/5/959

(2)在圓環(huán)域的邊界

z-z0

=R1,

z-z0=R2上,2021/5/9603.函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)定理2021/5/961證明由復(fù)連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I22021/5/9622021/5/963式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。2021/5/964

(2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點(diǎn)

z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級(jí)數(shù)，那么就利用洛朗（Laurent）級(jí)數(shù)來展開。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。2021/5/9654.展開式的唯一性結(jié)論一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù)。事實(shí)上，Dz0R1R2c2021/5/966Dz0R1R2c2021/5/967

由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個(gè)別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法。例1解2021/5/968例2解例3解2021/5/969例4xyo12xyo12xyo122021/5/970解:沒有奇點(diǎn)2021/5/9712021/5/972注意首項(xiàng)2021/5/973(2)對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)的方法：2021/5/974

(4)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)。2021/5/975解(1)在(最大的)去心鄰域例5yxo12