專題1.9 三角形中的八大經(jīng)典模型（舉一反三）（浙教版）（解析版）

專題1.9三角形中的八大經(jīng)典模型【八大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字模型】 1【題型28字模型】 4【題型3雙垂直模型】 8【題型4飛鏢模型】 16【題型5風(fēng)箏模型】 21【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】 24【題型7兩外角角平分線模型】 30【題型8內(nèi)外角角平分線模型】 38【知識(shí)點(diǎn)1A字模型】【條件】△ADE與△ABC.【結(jié)論】∠AED+∠ADE=∠B+C.【證明】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得證.【題型1A字模型】【例1】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（

）A．360o B．250o C．180o D．140o【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B=110°，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°-∠C，∴∠1+∠2=360°-110°=250°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出∠A+∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，∠DAE的兩邊上各有一點(diǎn)B,C，連接BC，求證∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和證明即可．【詳解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春?常州期中）如圖，△ABC中，∠B＝68°，∠A比∠C大28°，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上．連接DE，∠DEB＝42°．（1）求∠A的度數(shù)；（2）判斷DE與AC之間的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）設(shè)∠C的度數(shù)為x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列出方程解答即可；（2）根據(jù)平行線的判定解答即可．【詳解】解：（1）設(shè)∠C的度數(shù)為x°，則∠A的度數(shù)為（x+28）°，△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝68°，可得：x+x+28+68＝180，解得：x＝42，所以∠C＝42°，∠A＝70°，（2）∵∠DEB＝42°，∠C＝42°，∴∠DEB＝∠C，∴DE∥AC．【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠A=40°，則∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)為．【答案】280°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后結(jié)果．【詳解】∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°，故答案為280°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)28字模型】【條件】AD、BC相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面兩角之和等于下面兩角之和)【證明】在△ABO中，由內(nèi)角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由對(duì)頂角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得證.【題型28字模型】【例2】（2015-2016學(xué)年北京市懷柔區(qū)八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（帶解析））如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D=28°，則∠A+A．62° B．152° C．208°【答案】C【詳解】∵如圖可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理即三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．【變式2-1】（2013-2014學(xué)年初中數(shù)學(xué)蘇教版八年級(jí)上冊(cè)第一章練習(xí)卷（帶解析））如圖，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【答案】90°；65°【分析】由ΔABC?ΔADE，可得∠DAE=∠BAC=12(∠EAB-∠CAD)，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB=∠FAB+∠B，因?yàn)椤螰AB=∠FAC+∠CAB，即可求得【詳解】解：∵Δ∴∠DAE=∠BAC=1∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．綜上所述：∠DFB=90°，∠DGB=65°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)等量關(guān)系的角，做題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行思考．【變式2-2】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長(zhǎng)，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等的知識(shí)；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．【變式2-3】（2023春·八年級(jí)期末）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3雙垂直模型】【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【結(jié)論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE

=90°，且∠CED+∠DCE

=90°；∴∠ACB=∠CED，得證.【題型3雙垂直模型】【例3】（2023春·廣東珠海·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，線段AB⊥BC于點(diǎn)B，CD⊥BC于點(diǎn)C，點(diǎn)E在線段BC上，且AE⊥DE．（1）求證：∠EAB=∠CED；（2）如圖2，AF、DF分別平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于點(diǎn)H，EH的反向延長(zhǎng)線交AF于點(diǎn)G．①求證EG⊥AF；②求∠F的度數(shù)．【提示：三角形內(nèi)角和等于180度】【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②45°．【分析】（1）利用同角的余角相等即可證明；（2）①想辦法證明∠EAG+∠AEG=90°即可解決問題；②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（【詳解】（1）∵AB⊥BC，∴∠EAB+∠AEB=90°，∵AE⊥ED，∴∠CED+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠CED．（2）①∵AF平分∠BAE，∴∠EAG=12∠EAB∵EH平分∠DEC，∴∠HED=12∠CED∵∠EAB=∠CED，∴∠HED=∠EAG，∴∠HED+∠AEG=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∴∠EGA=90°，∴EG⊥AF．②作FM∥CD，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴FM∥AB，∴∠DFM=∠CDF=12∠CDE，∠AFM=∠FAB=12∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式3-1】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F，求證：∠CFE=∠CEF

請(qǐng)?jiān)谝韵碌慕忸}過程中的括號(hào)里填推理的理由．證明：∵AE平分∠CAB（已知）∴∠CAE=∠FAB（_____________________）∵∠ACE=90°（已知）∴∠CAE+∠CEF=90°（_____________________）∵CD是△ABC的高（已知）∴∠FDA=90°（三角形高的定義）∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余）∴∠CEF=∠AFD（____________________________）∵∠CFE=∠AFD（_____________________）∴∠CFE=∠CEF（____________________）【答案】角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對(duì)頂角相等；等量代換【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠CAE=∠FAB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠CAE+∠CEF=90°，∠FAB+∠AFD=90°，再利用等角的余角相等得到∠CEF=∠AFD，最后利用等量代換可得結(jié)果．【詳解】解：證明：∵AE平分∠CAB（已知）∴∠CAE=∠FAB（角平分線的定義）∵∠ACE=90°（已知）∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的兩銳角互余）∵CD是△ABC的高（已知）∴∠FDA=90°（三角形高的定義）∴∠FAB+∠AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余）∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）∵∠CFE=∠AFD（對(duì)頂角相等）∴∠CFE=∠CEF（等量代換）故答案為：角平分線的定義；直角三角形的兩銳角互余；等角的余角相等；對(duì)頂角相等；等量代換【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，余角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．【變式3-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)山東省青島第五十九中學(xué)校考期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF交AD于點(diǎn)G．(1)判斷△DBF的形狀，并說明理由．(2)求證：AD⊥CF．【答案】(1)△DBF是等腰直角三角形，理由見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）利用等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，證明∠CBA=∠CAB=45°，再利用BF∥AC得到∠ABF=∠CAB=45°，進(jìn)一步得∠CBA+∠ABF=90°，利用DE⊥AB證明∠BDF=45°即可證明△DBF是等腰直角三角形；（2）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG＝90°，需證明∠CAG＝∠BCF，只要證明三角形全等，即可．【詳解】（1）解：△DBF是等腰直角三角形，理由如下：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵BF∥AC，∴∠ABF=∠CAB=45°，∴∠CBA+∠ABF=90°，即∠DBF=90°，∵DE⊥AB，∠CBA=45°，∴∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，∴△DBF是等腰直角三角形．（2）證明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∴∠BDE＝45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF＝90°．∴∠BFD＝45°＝∠BDE．∴BF＝DB．又∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝DB．∴BF＝CD．在△CBF和△ACD中，BF=CD∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF＝∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA＝90°，∴∠CAD+∠GCA＝90°．∴∠AGC=90°，即AD⊥CF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、垂直的定義、等腰三角形的性質(zhì)以及判定是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)濟(jì)南育英中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)，DE⊥AD交射線AC于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠BAC=60°，當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，求∠EDC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①判斷∠EDC與∠BAD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點(diǎn)G，隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分線和∠DEF的角平分線的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，∠G的度數(shù)會(huì)變化嗎？如果不變，求出∠G的度數(shù)；如果變化，說明理由．【答案】（1）30°；（2）①∠EDC=∠BAD，理由見解析；②∠G的度數(shù)不變，理由見解析；（3）不變，45°.【分析】（1）先求出∠ACB=30°，再利用角平分線得出∠DAC=30°，即可得出∠ADC=120°即可得出結(jié)論；（2）①利用直角三角形的兩銳角互余和等角的余角相等即可得出結(jié)論；②先利用①的結(jié)論得出∠BAD+∠DEF=90°，進(jìn)而得出∠DAG+∠DEG=45°，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（3）利用三角形的外角和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=12∠BAC=30°∴∠ADC=120°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=30°；（2）①相等，在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，∵∠ADE=90°，∴∠EDC+∠ADB=90°，∴∠EDC=∠BAD；②∠G的度數(shù)不變，理由：∵EF⊥BC，∴∠EDF+∠DEF=90°，∵∠ADB+∠EDF=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵∠BAD+∠ADB=90°，∴∠BAD+∠DEF=90°，∵∠BAD、∠DEF的角平分線相交于點(diǎn)G，∴∠DAG=12∠BAD，∠DEG=12∠∴∠DAG+∠DEG=12（∠BAD+∠DEF）=45°∵∠DAE+∠DEA=90°，∴∠GAE+∠GEA=90°+45°=135°，∴∠G=45°；（3）∠G的度數(shù)不變化，理由：如圖3，∵AD⊥DE，∴∠ADB+∠BDE=90°，∵EF⊥BD，∴∠DEF+∠BDE=90°，∴∠ADB=∠DEF，∵EM是∠DEF的角平分線，∴∠DEM=12∠DEF=12∠∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=12∠BAD，延長(zhǎng)DE交AG于N∴∠AEN=∠ADE+∠DAE=90°+∠DAE，∴∠ENG=∠AEN+∠EAG=90°+∠DAE+∠EAG=90°+∠DAG=90°+12∠BAD∴∠G=180°-（∠ENG+∠GEN）=180°-（∠ENG+∠DEM），=180°-（90°+12∠BAD+12∠=90°-12（∠BAD+∠ADB）=45°【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出∠ADC=120°，解（2）的關(guān)鍵是求出∠DAG+∠DEG=45°，解（3）的關(guān)鍵是利用三角形的外角的性質(zhì)．【知識(shí)點(diǎn)4飛鏢模型】【條件】四邊形ABDC如上左圖所示.【結(jié)論】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四邊形凹外角等于三個(gè)內(nèi)角和)【證明】如上右圖，連接AD并延長(zhǎng)到E，則：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本質(zhì)為兩個(gè)三角形外角和定理證明.【題型4飛鏢模型】【例4】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度數(shù)是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°【答案】B【分析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC,再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠DEO，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠DFO，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出∠DFC的度數(shù)．【詳解】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，如圖，∵∠OAB+∠B+∠AOB=180°,∴∠AOB=180°-∠B-∠OAB,同理得∠AOC=180°-∠OAC-∠C,∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-(180°-∠B-∠OAB)-(180°-∠OAC-∠C)=∠B+∠C+∠BAC=107°,∵∠BED=72°,∴∠DEO=180°-∠BED=108°,∴∠DFO=360°-∠D-∠DEO-∠EOF=360°-35°-108°-107°=110°,∴∠DFC=180°-∠DFO=180°-110°=70°,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．【變式4-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，已知在△ABC中，∠A=40°，現(xiàn)將一塊直角三角板放在△ABC上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)B,C，直角頂點(diǎn)D落在△ABC的內(nèi)部，則∠ABD+∠ACD=（

）．A．90° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，已知四邊形ABDC，求證∠BDC=∠A+∠B+∠C．【答案】見解析【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；方法2作射線AD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，兩式相加即可得到結(jié)論；方法3延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】方法1如圖所示，連接BC.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即在△BCD中，∵∠BDC+∠1+∠2=180∴∠BDC=∠A+方法2如圖所示，連接AD并延長(zhǎng).∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠1+同理，∠4=∠2+∠ACD.∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD.即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.方法3如圖所示，延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC=∠A+∠ABD.∵∠BDC是△DEC的外角，∴∠BDC=∠DEC+∠ACD.∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．【變式4-3】（2023春·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若∠EOC=115°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．【知識(shí)點(diǎn)5風(fēng)箏模型】【條件】四邊形ABPC，分別延長(zhǎng)AB、AC于點(diǎn)D、E，如上左圖所示.【結(jié)論】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【證明】如上右圖，連接AP，則：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得證.【題型5風(fēng)箏模型】【例5】（2023春·重慶渝北·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定義可求出∠BED+∠BDE的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=∴∠B=180°-(∠BED+∠BDE)=180°-140°=40°故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)為（

）．A．14° B．15° C．28° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進(jìn)而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【詳解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠A=65°,∠B=75°，將∠C沿DE翻折，使點(diǎn)C落在△ABC外的點(diǎn)C'處．若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為【答案】100°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠C'，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-65°-75°=40°，由折疊的性質(zhì)可知，∠C'=∠C=40°，∴∠3=∠1+∠C'=60°，∴∠2=∠C+∠3=100°，故答案是：100°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【知識(shí)點(diǎn)6兩內(nèi)角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)I.【結(jié)論】【證明】∵BI是∠ABC平分線，∴∵CI是∠ACB平分線，∴由A→B→I→C→A的飛鏢模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】【例6】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)期中）直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)（3）如圖3，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及反向延長(zhǎng)線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則【答案】（1）不發(fā)生變化，∠AEB=135°；（2）不發(fā)生變化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【分析】（1）根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠（2）延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進(jìn)而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，可知∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠ABM，由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=45°，再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，進(jìn)而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個(gè)角是另一個(gè)角的【詳解】解：（1）∠AEB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）=45°∴∠AEB=135°；（2）∠CED的大小不變．延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F．∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，∴∠BAD=12∠BAP，∠ABC=12∠∴∠BAD+∠ABC=12（∠PAB+∠ABM）=135°∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠CED=67.5°；（3）∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12（∠BOQ-∠BAO）=12∠∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍棄）；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍棄）．∴∠ABO為60°或45°．故答案為：60°或45°．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE與CF交于點(diǎn)G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，則∠A=（

）A．80° B．75° C．60° D．45°【答案】C【分析】連接BC,先求解∠DBC+∠DCB,再求解∠GBC+∠GCB,可得∠GBD+∠GCD,再利用角平分線的定義可得：∠ABD+∠ACD,從而可得：∠ABC+∠ACB,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠A的大小.【詳解】解：連接BC,∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理求解與之相關(guān)的角的大小是解題的關(guān)鍵.【變式6-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，若∠BOC＝130°，則∠D＝【答案】40°【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠ACO=12∠ACB∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE）=12∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長(zhǎng)線交OM于點(diǎn)G．（1）若∠MON=60°，則∠ACG=；（直接寫出答案）（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若∠MON=80°，過點(diǎn)C作CF∥OA交AB于點(diǎn)F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）60°；（2）90°-12n°；（3）∠BGO-∠ACF【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAO+∠ABO，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACF=∠CAG，根據(jù)（2）的結(jié)論解答．【詳解】解：（1）∵∠MON=60°，∴∠BAO+∠ABO=120°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）=60°∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，故答案為：60°；（2）∵∠MON=n°，∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=12∠∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）=90°-12n∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°（3）∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，由（2）得：∠ACG=90°-12×80°=50°∴∠BGO-∠ACF=50°．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)7兩外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BI、CI分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點(diǎn)O.【結(jié)論】.【證明】∵BO是∠EBC平分線，∴，∵CO是∠FCB平分線，∴由△BCO中內(nèi)角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【題型7兩外角角平分線模型】【例7】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題背景】（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請(qǐng)說明∠A+∠B=∠C+∠D；【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數(shù)；【問題探究】（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請(qǐng)猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．【拓展延伸】（4）①在圖4中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為：（用α、β表示②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=2α+β3②∠P=【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）直接利用（1）中的結(jié)論兩次，兩式相加，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．（4）①同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．②同法利用（1）種的結(jié)論列出方程即可解決問題．【詳解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如圖3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）（4）①設(shè)∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=2α+β3故答案為：∠P=2α+β3②設(shè)∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=180°+∠B+∠D2故答案為：∠P=180°+∠B+∠D2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考幾何問題，屬于中考?？碱}型．【變式7-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE在∠BCD,∠EDC處的外角分別是∠FCD,∠GDC,CP,DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P．若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°，則∠CPD=．【答案】105°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出五邊形的內(nèi)角和，根據(jù)題意求出∠BCD＋∠CDE的度數(shù)，從而求出∠PCD＋∠PDC的度數(shù)，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠CPD的度數(shù)．【詳解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°，∴∠BCD＋∠CDE＝（5?2）×180°?160°?80°?90°＝210°，∴∠PCD＋∠PDC＝12（180°×2?210°）＝75°在△CPD中，∠CPD＝180°?（∠PCD＋∠PDC）＝180°?75°＝105°，故答案為：105°．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式，三角形內(nèi)角和定理，以及外角的平分線，根據(jù)已知條件求出∠BCD＋∠CDE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分線交點(diǎn)，延長(zhǎng)BP交AC于G，請(qǐng)寫出∠A和∠CPG的數(shù)量關(guān)系.【答案】∠CPG=90°+【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可用含∠A的式子表示出∠CBP和∠BCP的和，再利用三角形外角的性質(zhì)即可得到∠A和∠CPG的數(shù)量關(guān)系.【詳解】解：∵∠ACB+∠ABC=180°-∠A,∴∠ECB+∠FBC=180°×2-(180°-∠A)=180°+∠A,∵點(diǎn)P是ΔABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分線交點(diǎn)，∴∠CBP+∠BCP＝12又∵∠CPG＝∠CBP+∠BCP，∴∠CPG=90°+1【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角和的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì).熟練應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式7-3】（2023春·八年級(jí)期末）如圖1，△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數(shù)為；（2）如圖2，過點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N，若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)給出三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）70°（2）α+β-12∠A=90°

（3）①見解析

②不成立；【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠F的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到∠BFC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠A與α+β的數(shù)量關(guān)系；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣12∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β②分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)（2）中的結(jié)論∠BFC＝90°﹣12∠A，以及平角的定義，即可得到∠A與α，β【詳解】解：（1）如圖1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×220°＝∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點(diǎn)F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×（180°+∠A）＝90°+1∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°即α+β﹣12∠A＝90°故答案為：α+β﹣12∠A＝90°（3）①α+β﹣12∠A＝90°如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°即α+β﹣12∠A＝90°②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系不成立．分兩種情況：如圖4，當(dāng)M在線段AB上，N在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣12∠A﹣α+β＝180°即β﹣α﹣12∠A＝90°如圖5，當(dāng)M在AB的延長(zhǎng)線上，N在線段AC上時(shí)，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣12∠A﹣β+α＝180°即α﹣β﹣12∠A＝90°綜上所述，∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為β﹣α﹣12∠A＝90°或α﹣β﹣12∠A＝【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度求解與證明，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖．【知識(shí)點(diǎn)8內(nèi)外角角平分線模型】【條件】△ABC中，BP、CP分別是△ABC的內(nèi)角和外角的角平分線，且相交于點(diǎn)P.【結(jié)論】【證明】∵BP是∠ABC平分線，∴∵CP是∠ACE平分線，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①對(duì)①式兩邊同時(shí)除以2，得：∠1=∠3+……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比較②③式子可知：.==.【題型8內(nèi)外角角平分線模型】【例8】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的平分線，CA2是∠A1CD的平分線，BA【答案】α【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解∠A1=12∠A，同理求出∠A【詳解】∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴12（∠A+∠ABC）=12∠ABC+∠A∴∠A1=12∠A∵∠A=α．∠A1=12∠A=12α，同理可得∠A2=12∠A1=根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)，∴∠A2020=故答案為α2【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角性質(zhì)，角平分線定理，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·八年級(jí)期末）如圖，已知△ABC的兩條高BD、CE交于點(diǎn)F，∠ABC的平分線與△ABC外角∠ACM的平分線交于點(diǎn)G，若∠BFC=8∠G，則∠A=°．【答案】36【分析】首先根據(jù)三角形的外交性質(zhì)求出∠A=2∠G，結(jié)合三角形的高的知識(shí)得到∠G和∠A之間的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；【詳解】由圖知：∠ACM=∠A+∠ABC，∵CG是∠ACM的角平分線，∴∠ACM=2∠GCM，∴∠A+∠ABC=2∠GCM，∵BG是