專題03 多邊形及其內(nèi)角和（知識(shí)串講+10大考點(diǎn)）解析版

專題03多邊形及其內(nèi)角和考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）多邊形的相關(guān)概念（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．（2）對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n－2)個(gè)三角形；n邊形對(duì)角線條數(shù)為n(n-（二）多邊形的內(nèi)角和、外角和（1）內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n－2)·180°（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°．（三）正多邊形的相關(guān)概念（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形．（2）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為(n-2)?考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：多邊形的概念解析典例1：（2023秋·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）A．三棱柱有六條棱 B．圓錐的側(cè)面展開圖是三角形C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．各邊相等的多邊形是正多邊形【答案】C【分析】利用三棱柱的特點(diǎn)，圓錐的側(cè)面展開圖，線段公理以及正多邊形的概念判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)三棱柱一共有９條棱，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，不是三角形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤C選項(xiàng)兩點(diǎn)之間線段最短，所以此項(xiàng)正確；D選項(xiàng)各邊都相等，各角也相等的圖形叫正多邊形，所以此項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查棱的概念，圓錐側(cè)面展開圖，正多邊形的概念以及線段公理，熟練掌握正多邊形的概念，線段公理，棱的概念及圓錐側(cè)面展開圖并正確辨析是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)多邊形定義，逐個(gè)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：所示的圖形中，第一個(gè)是三角形、第二個(gè)是四邊形、第三個(gè)是圓、第四個(gè)是正六邊形、第五個(gè)是正方體，∴屬于多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)，共有3個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形定義，熟記多邊形定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·山東淄博·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列圖形中，是正八邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的定義判斷即可．【詳解】解：由正八邊形的定義：即正八邊形有八條邊，且每個(gè)邊都相等，每個(gè)角都相等，由此可知，C選項(xiàng)中的圖形是正八邊形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的定義，正多邊形就是各邊相等，各角也相等的多邊形．【變式3】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖4-2，作出正五邊形的所有對(duì)角線，得到一個(gè)五角星，那么，在五角星含有的多邊形中（

）A．只有三角形 B．只有三角形和四邊形C．只有三角形、四邊形和五邊形 D．只有三角形、四邊形、五邊形和六邊形【答案】C【分析】由正五邊形的性質(zhì)和五角星的特點(diǎn)得出五角星含有的多邊形中，有三角形、四邊形和五邊形.【詳解】解：根據(jù)題意得：在五角星含有的多邊形中,有三角形、四邊形和五邊形,故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的性質(zhì)、五角星的特點(diǎn),熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：多邊形對(duì)角線條數(shù)問題典例2：（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)?？计谀┻^m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，n邊形沒有對(duì)角線，k邊形有2條對(duì)角線，則m-kn=【答案】216【分析】根據(jù)m邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有(m-3)條，從而可求得m的值；又根據(jù)n邊形沒有對(duì)角線，只有三角形沒有對(duì)角線，從而可求得n的值；再根據(jù)k邊形共有對(duì)角線kk-32條，從而可求得【詳解】解：∵m邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有(m-3)條，∴m=7+3=10，又∵n邊形沒有對(duì)角線，∴n=3，又∵k邊形有2條對(duì)角線，∴kk-3∴k=4，k=-1（舍去）∴m-kn故答案為：216．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，解決本題的關(guān)鍵是熟記n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有(n-3)條，共有對(duì)角線nn-3【變式1】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在抗擊新冠肺炎的斗爭(zhēng)中，婁底市根據(jù)疫情的發(fā)展情況，決定全市中小學(xué)延期開學(xué)，并采用線上教學(xué)的形式，真正做到停課不停學(xué)，某中學(xué)初二1班全體同學(xué)自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，不忘關(guān)心同學(xué)的安危，在停課不停學(xué)期間全班每?jī)蓚€(gè)同學(xué)都通過一次電話，我們可以把該班人數(shù)n與通話次數(shù)S間的關(guān)系用下列模型表示：?jiǎn)枺喝粼摪嘤?0名同學(xué)，則它們之間共通了______________次電話；【答案】1225【分析】觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，n為多邊形的邊數(shù)，而S等于邊數(shù)+對(duì)角線條數(shù)，根據(jù)對(duì)角線條數(shù)公式代入即可求解．【詳解】觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，n為多邊形的邊數(shù)，而S等于邊數(shù)+對(duì)角線條數(shù)∴人數(shù)n和通話次數(shù)S間的關(guān)系為S=n+∴當(dāng)n=50時(shí)，S=故答案為1225．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形對(duì)角線條數(shù)的公式nn-3【變式2】（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）探究歸納題：(1)試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過A點(diǎn)可以作__________條對(duì)角線；同樣，經(jīng)過B點(diǎn)可以作__________條；經(jīng)過C點(diǎn)可以作__________條；經(jīng)過D點(diǎn)可以作__________條對(duì)角線.通過以上分析和總結(jié)，圖1共有___________條對(duì)角線.（2）拓展延伸：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2共有_____________條對(duì)角線；圖3共有_____________條對(duì)角線；(3)探索歸納：對(duì)于n邊形(n>3)，共有_____________條對(duì)角線．(用含n的式子表示)(4)特例驗(yàn)證：十邊形有__________________對(duì)角線.【答案】1111259nn-3【分析】(1)根據(jù)對(duì)角線的定義,四邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做1條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有2條對(duì)角線,(2)五邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做2條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有5條對(duì)角線,六邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做3條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有9條對(duì)角線,(3)n邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做(n－3)條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有nn-32(4)十邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做7條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有35條對(duì)角線.【詳解】(1)四邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做1條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有2條對(duì)角線,(2)五邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做2條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有5條對(duì)角線,六邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做3條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有9條對(duì)角線,(3)n邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做(n－3)條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有nn-32(4)十邊形經(jīng)過任意一點(diǎn)可以做7條對(duì)角線,其中會(huì)出現(xiàn)重復(fù),因此四邊形共有35條對(duì)角線.【變式3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）多邊形的對(duì)角線：多邊形的對(duì)角線是連接多邊形______的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有______條對(duì)角線，將n邊形分成______個(gè)三角形，一個(gè)n邊形共有______條對(duì)角線．【答案】任意不相鄰n-3n-2n【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線的定義作答即可．【詳解】解：多邊形的對(duì)角線是指連接多邊形任意不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有n-3條對(duì)角線，將n邊形分成n-2個(gè)三角形，一個(gè)n邊形共有nn-3故答案為：任意不相鄰，n-3，n-2，nn-3【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握多邊形對(duì)角線的定義，對(duì)角線的條數(shù)等知識(shí)．考點(diǎn)3：多邊形分割的三角形個(gè)數(shù)問題典例3：（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┟恳粋€(gè)多邊形都可以分割為若干個(gè)三角形．如圖，按照這種分法，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線可以把n邊形分割成_______個(gè)三角形．【答案】n-2/-2+n【分析】先從特殊的四邊形開始，例舉過四邊形，五邊形，六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線可以把多邊形分割后得到的三角形的數(shù)量，總結(jié)可得過n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以把n邊形分成n-2個(gè)三角形．【詳解】解：從四邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線可得2個(gè)三角形，從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線可得3個(gè)三角形，從六邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線可得4個(gè)三角形，?從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線可以把n邊形分割成n-2個(gè)三角形；故答案為：n-2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形變化類，熟記過n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以做n-3條對(duì)角線，可以把n邊形分成n-2個(gè)三角形．【變式1】（2023秋·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┟恳粋€(gè)多邊形都可分割(分割方法如圖)成若干個(gè)三角形.根據(jù)這種方法八邊形可以分割成____個(gè)三角形.用此方法n邊形能分割成____個(gè)三角形.【答案】6(n-2)【分析】根據(jù)圖中提示，找出規(guī)律．四邊形一點(diǎn)可畫一條對(duì)角線，分成兩個(gè)三角形，五邊形一點(diǎn)可畫兩條對(duì)角線，能分成三個(gè)三角形，則n邊形一點(diǎn)可畫n-3條對(duì)角線，可分n-2個(gè)三角形.【詳解】解：八邊形可以分割成6個(gè)三角形．用此方法n邊形能割成(n-2)個(gè)三角形.故答案為:6,(n-2).【點(diǎn)睛】觀察圖中已知條件，找出邊數(shù)與對(duì)角線，三角形的關(guān)系.【變式2】（2023春·上海長(zhǎng)寧·八年級(jí)上海市延安初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫對(duì)角線，可以將這個(gè)n邊形分割成__________個(gè)三角形．【答案】n-2/-2+n【分析】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)多邊形分割成n-2個(gè)三角形，據(jù)此即可解答．【詳解】解：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)多邊形分割成n-2個(gè)三角形．故答案為：n-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的對(duì)角線，掌握從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，形成的三角形個(gè)數(shù)為n-2是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如果從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作它的對(duì)角線，最多能將多邊形分成2023個(gè)三角形，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為___________．【答案】2025【分析】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作它的對(duì)角線，將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形，由此即可解決問題．【詳解】解：∵從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作它的對(duì)角線，將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形，∴n-2=2023，∴n=2025，故答案為：2025．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作它的對(duì)角線，將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．考點(diǎn)4：多邊形的內(nèi)角和問題典例4：（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=310°，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠CPD的度數(shù)是【答案】65°/65度【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=310°，可求∠BCD+∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：∵五邊形的內(nèi)角和等于540°，∠A+∠B+∠E=310°，∴∠BCD+∠CDE=540°-310°=230°，∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)∴∠PDC+∠PCD=1∴∠CPD=180°-110°=65°．故答案是：65°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記公式以及整體思想的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)杭州市杭州中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正八邊形ABCDEFGH，連接BE，CG交于點(diǎn)I，則∠EIG=___________【答案】67.5【分析】由正八邊形的性質(zhì)可得出∠D=∠BCD=∠DEF=∠F=∠FGH=135°，∠CGF=∠CGH=12∠FGH=67.5°，CD∥BE，BC=DE，可推出四邊形BCDE是等腰梯形，從而結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理得出∠DEB=∠CBE=45°，進(jìn)而可求出∠FEB=∠DEF-∠DEB=90°【詳解】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠D=∠BCD=∠DEF=∠F=∠FGH=(8-2)×180°又由正八邊形性質(zhì)可知：CD∥BE，BC=DE，∠CGF=∠CGH=1∴四邊形BCDE是等腰梯形，∴∠DEB=∠CBE=360°-∠D-∠BCD∴∠FEB=∠DEF-∠DEB=90°，∴∠EIG=360°-∠FEB-∠F-∠CGF=67.5°．故答案為：67.5．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)．掌握正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°；【答案】360【分析】連接AD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠E+∠F=∠MAD+∠ADM進(jìn)而可得結(jié)果；【詳解】解：如圖，連接AD；∵∠AMD=∠EMF∴∠E+∠F=∠MAD+∠ADM∵∠BAM+∠B+∠C+∠CDM+∠MAD+∠ADM=360°∴∠BAM+∠B+∠E+∠F+∠C+∠CDM=360°故答案為：360．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，正確構(gòu)造輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個(gè)30°的角后得到一個(gè)六邊形BCDEMN，則∠1+∠2的度數(shù)為____________．【答案】210°/210度【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可求得∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6-2【詳解】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5-2×180°=540°，∴∠B+∠C+∠D+∠E=510°，∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=6-2∴∠1+∠2=720°-510°=210°，故答案為：210°考點(diǎn)5：多邊形截角后的邊數(shù)、內(nèi)角和問題典例5：（2023秋·四川綿陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，得到的新多邊形為十五邊形，則原來的多邊形邊數(shù)為______．【答案】14或15或16【分析】分三種情況進(jìn)行討論，得出答案即可．【詳解】解：如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，比原來多邊形少了一條邊，∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15+1=16；如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，與原來多邊形的邊數(shù)相同，∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15；如圖，一個(gè)多邊形減去一個(gè)角后，比原來多邊形多了一條邊，∴此時(shí)原多邊形的邊數(shù)為15-1=14；綜上分析可知，原來的多邊形邊數(shù)為14或15或16．故答案為：14或15或16．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的邊數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．【變式1】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后，所形成的一個(gè)新多邊形的邊數(shù)是____．【答案】3或4或5【分析】一個(gè)四邊形剪去一個(gè)角后，分三種情況求解即可，①邊數(shù)可能減少1，②邊數(shù)可能增加1，③邊數(shù)可能不變．【詳解】解：一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后得到的多邊形可能是三角形，可能是四邊形，也可能是五邊形．故答案為：3或4或5．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是多邊形的定義，解題關(guān)鍵是列舉出所有可能的情況．【變式2】（2023春·江蘇·七年級(jí)?？贾軠y(cè)）將一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，得到一個(gè)新的多邊形的內(nèi)角和為3600°，則原來多邊形的邊數(shù)為___________．（用阿拉伯?dāng)?shù)字表示）【答案】21或22或23【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)?180°求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可以增加1、不變、減少1三種情況解答．【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為n，則(n-2)?180°=3600°，解得n=22，多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可以增加1、不變、減少1，所以，22-1=21，或22+1=23，所以原來多邊形的邊數(shù)為21或22或23．故答案為：21或22或23．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是理解截去一個(gè)角后的方法，要分三種情況討論．【變式3】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）將一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后所得的多邊形內(nèi)角和為2880°，則原多邊形的邊數(shù)為_____．【答案】17或18或19【分析】因?yàn)橐粋€(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問題．【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°（n≥3且n是整數(shù)），一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)（n-2）?180°=2880°解得：n=18，則多邊形的邊數(shù)是17或18或19．故答案為：17或18或19．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進(jìn)行討論，避免漏解．考點(diǎn)6：正多邊形的內(nèi)角和問題典例6：（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AE的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，則∠G的度數(shù)為__________．【答案】30度/30°【分析】根據(jù)正六邊形可得∠F=∠CDE=∠FED=(6-2)×180°6=120°，AF=EF，從而得到∠FAE=∠FEA=180°-120°2【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠F=∠CDE=∠FED=(6-2)×180°6=120°∴∠FAE=∠FEA=180°-120°2=30°∴∠AED=120°-30°=90°，∴∠G=90°-60°=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查正六邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題的關(guān)鍵根據(jù)正六邊形得到相應(yīng)角度的關(guān)系．【變式1】（2022秋·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖由內(nèi)角分別相等的四邊形、五邊形、六邊形組合而成的圖形中，∠1=30°，則∠2+∠3的度數(shù)為______度．【答案】102【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式n-2·180°（n≥3【詳解】解：∵四邊形、五邊形、六邊形的各內(nèi)角相等，∴四邊形的每個(gè)內(nèi)角是90°，五邊形的每個(gè)內(nèi)角是108°，六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120∴∠2+∠BAC=90°，∵∠1∵∠1∴∠ABC=132∴∠BAC+∠BCA=180°-102∵∠1∴∠1故答案為：102．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式和三角形的內(nèi)角和，求出正多邊形的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，在正五邊形ABCDE中，以AB為一邊，在正五邊形內(nèi)作正方形ABMN，則∠CBM=______________度．【答案】18【分析】分別求出正五邊形與正方形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，作差即可．【詳解】解：∵多邊形ABCDE為正五邊形，多邊形ABMN為正方形，∴∠CBA=5-2×180°5∴∠CBM=∠CBA-∠MBA=108°-90°=18°．故答案為：18【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形內(nèi)角的計(jì)算，熟記多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·鎮(zhèn)江市外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D所示的五邊形花環(huán)，是用五個(gè)全等的直角三角形拼成的，則圖∠ABC等于___________度．【答案】18【分析】根據(jù)題意，這是一個(gè)正五邊形，由正五邊形外角得到每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°-360°5=108°【詳解】解：由題意可知，這個(gè)圖形是正五邊形，∴正五邊形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°-360°∵五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的直角三角形拼成的，∴∠ABC=108°-90°=18°，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查正五邊形內(nèi)角與外角性質(zhì)，根據(jù)題意，得到正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)及構(gòu)成是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：正多邊形的外角和問題典例7：（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正十邊形與正方形共邊AB，延長(zhǎng)正方形的一邊AC與正十邊形的一邊ED交于點(diǎn)F，則∠AFD=_______.【答案】18°/18度【分析】延長(zhǎng)AB交DF于H，根據(jù)正多邊形的外角為360°n，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可求得∠AHF=72°【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交DF于H，則∠HBD=∠HDB=360°10=36°∴∠AHF=∠HBD+∠HDB=72°，∵∠BAC=90°，∴∠AFD=90°-∠AHF=18°，即x=18，故答案為：18°．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的外角和定理、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余，熟知正多邊形的外角計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是其相鄰?fù)饨嵌葦?shù)的5倍，則該正多邊形的邊數(shù)為______．【答案】12/十二【分析】一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)都是其外角度數(shù)的5倍，利用內(nèi)外角的關(guān)系得出等式，即可求得多邊形的外角和的度數(shù)，依據(jù)多邊形的外角和公式即可求解．【詳解】設(shè)多邊形的每個(gè)外角為n，則其內(nèi)角為：5n，n+5n=180°解得：n=30°，即這個(gè)多邊形是：360°30°故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系以及多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變化而變化．【變式2】（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)40°，再沿直線前進(jìn)10米后，又向左轉(zhuǎn)40°，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了_________米．【答案】90【分析】根據(jù)題意可得小明所走的路線為一個(gè)正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：小明第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，他一共轉(zhuǎn)了360°，且每次都是向左轉(zhuǎn)40°，∵360°÷40°=9，∴小明共轉(zhuǎn)了9次，∵一次沿直線前進(jìn)10米，∴他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了10×9=90米．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)多邊形的外角和解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是能夠理解題意，熟知多邊形的外角和是360°．【變式3】（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，∠1，∠2，∠3是五邊形ABCDE的3個(gè)外角，若∠A+∠B=200°，則∠1+∠2【答案】200°/200度【分析】先求出與∠A和∠B相鄰的外角的度數(shù)和，然后根據(jù)外角和定理即可求解．【詳解】解：∵∠A+∠B=200°，∴與∠A和∠B相鄰的外角的度數(shù)和是：180°×2-200°=160°，∴∠1+∠2+故答案為：200°．【點(diǎn)睛】此題主要考查多邊形的外角，解題的關(guān)鍵是熟知多邊形的外角和為360°．考點(diǎn)8：多（少）算一個(gè)角的問題典例8：（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）在計(jì)算某n邊形的內(nèi)角和時(shí)，不小心少算了一個(gè)內(nèi)角，得到和為2021°，這個(gè)角的大小是_____________．【答案】139°/139度【分析】n邊形的內(nèi)角和是n-2?180°，即為180度的倍數(shù)，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，因而多邊形中，除去一個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和與180【詳解】解：∵2021°÷180°=11?41°，∴少加的內(nèi)角是：180°-41°=139°．故答案為：139°．【點(diǎn)睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，正確理解多邊形角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和等于1000°，原多邊形的邊數(shù)是______．【答案】8/八【分析】設(shè)出相應(yīng)的邊數(shù)和未知的那個(gè)內(nèi)角度數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，則(n-2)×180-x=1000180?n=1360+x∵n為正整數(shù)，0∴當(dāng)n=8，去掉的角的度數(shù)為180°?8-1360°=∴多邊形的邊數(shù)為8，故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)度數(shù)的等量關(guān)系．注意多邊形的一個(gè)內(nèi)角一定大于0度，并且小于180度．【變式2】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小明在將一個(gè)多邊形的內(nèi)角逐個(gè)相加時(shí)，把其中一個(gè)內(nèi)角多加了一次，錯(cuò)誤地得到內(nèi)角和為840°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是___________．【答案】6【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，重復(fù)計(jì)算的內(nèi)角的度數(shù)是x，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角度數(shù)是180°的倍數(shù)，然后利用數(shù)的整除性進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，重復(fù)計(jì)算的內(nèi)角的度數(shù)是x，則（n﹣2）?180°＝840°﹣x，n＝6，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，正確理解多邊形角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形（每個(gè)內(nèi)角小于180°）的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是2018°，則少算了這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為________．【答案】142°/142度【分析】n邊形的內(nèi)角和是n-2?180°，少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得2018°，則內(nèi)角和是n-2?180°與2018°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程n-2?180°≥2018°【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，依題意有n-2?180°≥2018°解得：n≥1319則多邊形的邊數(shù)n＝14；多邊形的內(nèi)角和是14-2?180則未計(jì)算的內(nèi)角的大小為2160°-2018°＝故答案為142°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)9：多邊形內(nèi)角和的實(shí)際應(yīng)用典例9：（2023春·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）一機(jī)器人以3m/s的速度在平地上按下圖中的步驟行走，那么該機(jī)器人從開始到停止所需時(shí)間為____s．【答案】16【分析】該機(jī)器人所經(jīng)過的路徑是一個(gè)正多邊形，利用360°除以45°，即可求得正多邊形的邊數(shù)，即可求得周長(zhǎng)，利用周長(zhǎng)除以速度即可求得所需時(shí)間．【詳解】解：360°÷45°=8，則所走的路程是：6×8=48m則所用時(shí)間是：48÷3=16s故答案為：16．【點(diǎn)睛】題目主要考查多邊形的外角和及有理數(shù)的乘除法的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)用多邊形外角的定理是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校盎ㄓ罢趬Γ鍘n疊窗”，蘇州園林空透的窗欞中蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)元素．如圖是窗欞中的部分圖案．若∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，則∠5=__________°．【答案】80【分析】根據(jù)多邊形外角和等于360°，即可求解．【詳解】解：∵∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠5=360°-75°×2-65°×2=80°，故答案為80．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形外角和，熟練掌握多邊形外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·廣東河源·統(tǒng)考二模）如圖，小江沿一個(gè)五邊形的廣場(chǎng)小道按一定方向跑步健身，他每跑完一圈時(shí)，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是______．【答案】360°/360度【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360度即可求解．【詳解】小江跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度為五邊形的外角和，而任何多邊形的外角和為360度，所以小江身體轉(zhuǎn)過的角度之和為360度．故答案為：360度．【點(diǎn)睛】考查了多邊形的外角，關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于360度的知識(shí)點(diǎn)．【變式3】（2022秋·廣東珠海·八年級(jí)珠海市第四中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為___．【答案】36°【分析】根據(jù)題意先判斷圖形的形狀，再根據(jù)多邊形的外角和定理和三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：由圖可知：形成的最中間的圖形為正五邊形，∴正五邊形的外角和為360°，∴∠ACB=360°÷5=72°，∴∠BAC=180°-72°-72°=36°故答案為：36°．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的外角和定理，三角形內(nèi)角和定理，掌握多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)10：多邊形內(nèi)角和與外角和綜合典例10：（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角都相等，且內(nèi)角是外角的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為________．【答案】8/八【分析】多邊形的一個(gè)內(nèi)角與相鄰?fù)饨堑暮蜑?80°，內(nèi)角是外角的3倍，從中建立方程求出一個(gè)外角的度數(shù)，再利用多邊形的外角和為360°求邊數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)是x°，列方程，得3x+x=180，解得：x=45，多邊形的邊數(shù)為：360°÷45°=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和，抓住內(nèi)外角的關(guān)系列方程求出一個(gè)外角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，則這個(gè)多邊形是_________邊形；如果一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是14條，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是____________【答案】12/十二900°/900度【分析】多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，可求出對(duì)應(yīng)角的外角，根據(jù)外角和定理即可求解；一個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是14條，根據(jù)多邊形的邊數(shù)為n，則對(duì)角線的條數(shù)為n(n-3)2【詳解】解：（1）多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150°，∴對(duì)應(yīng)的外角為180°-150°=30°，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的邊數(shù)為360°30°故答案為：12；（2）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，∴對(duì)角線的條數(shù)為n(n-3)2=14，解方程得，n1∴多邊形的邊數(shù)是7，∴該七邊形的內(nèi)角和為180°×(7-2)=900°，故答案為：900°．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的知識(shí)，理解并掌握多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，對(duì)角線的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）一個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)為60，邊長(zhǎng)為a，一個(gè)外角為b°．（1）若a=6，b的值為___；（2）若b=30，a的值為___．【答案】365【分析】（1）根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，所有邊都相等，可求出邊數(shù)，根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定理可求出每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，由此即可求解；（2）根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，外角和等于360°，且每個(gè)外角都相等，可求出邊數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：（1）60÷6=10，∴圖形是正十邊形，∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是180°×(10-2)10∴b=180°-144°=36°，故答案為：36；（2）360÷30=12，∴圖形是正十二邊形，∴邊長(zhǎng)為60÷12=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，外角和定理，理解和掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是有一個(gè)公共頂點(diǎn)O的兩個(gè)全等正五邊形，若將它們的其中一邊都放在直線a上，則∠AOB的度數(shù)為_______________°．【答案】108【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和外角的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖，正五邊形的內(nèi)角：∠4=∠5=1正五邊形的外角：∠1=∠2=1根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠3=180°-∠1-∠2=180°-72°-72°=36°，因此∠AOB=360°-∠4-∠5-∠3=360°-108°-108°-36°=108°，故答案為：108．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形內(nèi)角和外角的性質(zhì)．正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于1nn-2?180°同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°，則此多邊形的邊數(shù)是（）A．十二 B．十 C．八 D．十四【答案】B【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，列方程求解即可，n邊形的內(nèi)角和為n-2?180°【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得：n-2?180=1440解得：n=10．所以此多邊形的邊數(shù)為10邊．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和的公式．2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為(

)A．120° B．60° C．135° D．45°【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：(n﹣2)180°(n≥3且n為正整數(shù))求出正八邊形的內(nèi)角和，然后求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】解：∵內(nèi)角正八邊形的內(nèi)角和：(8﹣2)?180°＝1080°，∴每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)1080°÷8＝135°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和，熟記多邊形邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·北京·八年級(jí)黃岡中學(xué)北京朝陽學(xué)校校考階段練習(xí)）正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于150o，則該多邊形是正（

）邊形A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)．【詳解】解：∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于150°，∴它的外角是：180°-150°=30°，∴它的邊數(shù)是：360°÷30°=12．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角，做此類題目，首先求出正多邊形的外角度數(shù)，再利用外角和定理求出求邊數(shù)．4．（2023秋·吉林四平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，若∠A+∠C+∠D=280°，則∠B的度數(shù)為(

)A．80° B．90° C．170° D．20°【答案】A【詳解】解：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，∠A+∠C+∠D=280°，∴∠B＝360°－(∠A＋∠C＋∠D)＝360°－280°＝80°，故選：A．5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一機(jī)器人在平地上按圖中的程序行走，要使機(jī)器人行走的路程大于10m，則a的值可能是（

）A．90° B．45° C．36° D．24°【答案】D【分析】先判斷出機(jī)器人所走過的路線是正多邊形，然后用多邊形的外角和除以每一個(gè)外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意得，機(jī)器人所走過的路線是正多邊形，∵每一次都是右轉(zhuǎn)a°，∴多邊形的邊數(shù)＝360°÷a°＝360a∴360a×1＞10，即：a＜36故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，判斷出走過的路線是正多邊形是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河北·校聯(lián)考一模）定縣開元寺塔，又名料敵塔，位于河北省定州市，建于北宋至和二年（1055年），為第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，因塔位于開元寺內(nèi)，故通稱“開元寺塔”（如圖1）．此塔為八角形樓閣建筑，塔身十一級(jí)，底級(jí)俯視圖為正八邊形（如圖2），則該正八邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（

）A．45° B．75° C．105° D．135°【答案】D【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）·180°（n為正多邊形的邊數(shù)，n≥3，且n為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計(jì)算一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【詳解】解：∵正八邊形的內(nèi)角和為n-2×180°=6×180°=1080°∴該正八邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1080°÷8=135°．故選：D【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算公式：多邊形內(nèi)角和等于（n-2）·180（n為正多邊形的邊數(shù)，n≥3，且n為整數(shù)）．7．（2022秋·山東德州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°，那么這個(gè)多邊形是（

）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】C【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和定理建立方程求解．【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得n-2解得：n=7故選C．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，熟記多邊形內(nèi)角和公式n-2·180°，以及外角和360°8．（2022春·重慶·七年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谀┤绻粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和等于2160°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(

)A．14 B．13 C．12 D．11【答案】A【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程求解即可【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：n-2?180=2160解得：n＝14，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是14，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題解決．9．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線正好將該n邊形分成8個(gè)三角形，則n的值是()A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n?3）條對(duì)角線，可組成n?2個(gè)三角形，依此可得n的值．【詳解】解：經(jīng)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成n-2個(gè)三角形，由題意，得n-2=8，解得n=10．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，求對(duì)角線條數(shù)時(shí)，直接代入邊數(shù)n的值計(jì)算，而計(jì)算邊數(shù)時(shí)，需利用方程思想，解方程求n．10．（2023秋·江西新余·八年級(jí)新余市第一中學(xué)階段練習(xí)）一個(gè)五邊形有三個(gè)內(nèi)角是直角，另兩個(gè)內(nèi)角都等于n，則n的值是（）A．30° B．120° C．135° D．108°【答案】C【詳解】由題意可得：90°+90故選C.11．（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)惠州一中?？计谥校﹏邊形的內(nèi)角和為720°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】n邊形的內(nèi)角和可以表示成(n-2)?180°，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．【詳解】解：由題意可得：(n-2)?180=720，解得：n=6．所以，多邊形的邊數(shù)為6．故選：C【點(diǎn)睛】此題只要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求解．12．（2010·四川眉山·中考真題）一個(gè)多邊形截取一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能【答案】D【詳解】解：根據(jù)內(nèi)角和可得：多邊形的邊數(shù)=1620°÷180°+2=11，又∵多邊形截去一個(gè)角有三種情況．一種是從兩個(gè)角的頂點(diǎn)截取，這樣就少了一條邊，即原多邊形為12邊形；另一種是從兩個(gè)邊的任意位置截，那樣就多了一條邊，即原多邊形為10邊形；還有一種就是從一個(gè)邊的任意位置和一個(gè)角頂點(diǎn)截，那樣原多邊形邊數(shù)不變，還是11邊形．綜上原來多邊形的邊數(shù)可能為10、11、12邊形，故選：D．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和13．（2023秋·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，∠A=75°，則∠BDE+∠DEC=（

）A．335° B．135° C．255° D．150°【答案】C【分析】先由三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C=180°-∠A=105°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可求出∠BDE+∠DEC=360°-105°=255°.【詳解】：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°，∴∠B+∠C=180°-∠A=105°，∵∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°，∴∠BDE+∠DEC=360°-105°=255°；故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形、四邊形內(nèi)角和定理，掌握n邊形內(nèi)角和為（n-2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于360度，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【詳解】考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到（n-2）?180°=360°，解方程即可．解答：解：∵（n-2）?180°=360°，解得n=4，∴這個(gè)多邊形為四邊形．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理：多邊形的內(nèi)角和為（n-2）?180°．15．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是（

）A．11 B．12 C．11或12 D．10或11或12【答案】D【分析】首先求出截角后的多邊形邊數(shù)，然后再求原來的多邊形邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)截角后的多邊形邊數(shù)為n，則有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，∴由下面的圖可得原來的邊數(shù)為10或11或12：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的綜合運(yùn)用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的剪拼是解題關(guān)鍵．二、填空題16．（2022秋·江蘇無錫·七年級(jí)統(tǒng)考期中）a個(gè)六邊形、b個(gè)五邊形共有___________條邊．【答案】6a+5b【分析】由六邊形有六條邊，五邊形有五條邊，即可計(jì)算．【詳解】解：∵a個(gè)六邊形有6a條邊，b個(gè)五邊形有5b條邊，∴a個(gè)六邊形、b個(gè)五邊形共有6a+5b條邊，故答案為：6a+5b.【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的概念，關(guān)鍵是掌握n邊形有n條邊．17．（2022秋·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，從八邊形ABCDEFGH的頂點(diǎn)A出發(fā)，最多可以作出___________條對(duì)角線．【答案】5【分析】利用n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出n-3條對(duì)角線可得答案．【詳解】從八邊邊形ABCDEFGH的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引出對(duì)角線的條數(shù)是8-3=5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握計(jì)算公式．18．（2011·湖北恩施·中考真題）已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120o，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_______．【答案】6【分析】一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，根據(jù)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，因而就可以求出外角的度數(shù)．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：∵一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120o，∴這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為：180o-120o=60o，∵多邊形的外角和為360o，∴360o÷60o=6，則這個(gè)多邊形是六邊形．故答案為：6．【點(diǎn)睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．19．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)深圳中學(xué)?？计谀┻^十五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作________________

條對(duì)角線．【答案】12【詳解】減去這個(gè)頂點(diǎn)本身和相鄰的2個(gè)頂點(diǎn)，15-1-2=12.20．（2022秋·福建莆田·八年級(jí)莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，延長(zhǎng)BA，EF交于點(diǎn)O，則∠BOE=【答案】60【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，求出正六邊形的每個(gè)外角的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，多邊形的外角和為360°，∴∠OAF∴∠BOE故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形外角和求出∠OAF21．（2022春·遼寧沈陽·七年級(jí)?？计谥校┮阎狟D、CE是△ABC的高，BD、CE所在的直線相交所成的角中有一個(gè)角為60°，則∠BAC＝_____．【答案】60°或120°．【分析】分兩種情況：（1）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，如圖1；（2）當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，如圖2；根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)果．【詳解】解：分兩種情況：（1）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，如圖1，∵∠DOC＝60°，∴∠EOD＝120°，∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°；（2）當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，如圖2，∵∠F＝60°，同理：∠ADF＝∠AEF＝90°，∴∠DAE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠BAC＝∠DAE＝120°，綜上所述，∠BAC的度數(shù)為60°或120°，故答案為：60°或120°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形高線的定義，四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，掌握相關(guān)定理，能分類討論是解題關(guān)鍵．22．（2023秋·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若n邊形內(nèi)角和為1260°，則這個(gè)n邊形的對(duì)角線共有__________．【答案】27條【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計(jì)算出對(duì)角線的條數(shù)．【詳解】由題意得：（n-2）×180=1260，解得：n=9，從這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)：9×62=27故答案為27條．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式180（n-2）．23．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=35°，去掉∠A后得到一個(gè)六邊形BCDENM，則∠1+∠2的度數(shù)為______．【答案】215°【分析】利用五邊形的內(nèi)角和得到∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)，進(jìn)而讓六邊形的內(nèi)角和減去∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)即為所求的度數(shù).【詳解】解：∵五邊形的內(nèi)角和為5-2×180°=540°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，∴∠B+∠C+∠D+∠E=540°-∠A，∵六邊形的內(nèi)角和為6-2×180°=720°∴∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E=720°，∴∠1+∠2=720°-=720°-=180°+∠A，∵∠A=35°，∴∠1+∠2=180°+35°=215°.即∠1+∠2的度數(shù)為215°.故答案為：215°.【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理：多邊形的內(nèi)角和為n-2·180°（n為多邊形的邊數(shù)，n大于等于3且n為整數(shù)）.利用整體思想表示出∠B+∠C+∠D+∠E并最終用∠A表示出∠1+∠2是解題的關(guān)鍵24．（2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)多邊形所有內(nèi)角和與外角和共為2520°，那么從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有_________條對(duì)角線【答案】11【分析】先根據(jù)題意求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有（n-3）條對(duì)角線即可解答．【詳解】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則有(n-2)?180＋360=2520，解得：n=14，14-3=11，即從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有11條對(duì)角線，故答案為11．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和、多邊形的對(duì)角線，得到多邊形的邊數(shù)是解本題的關(guān)鍵．25．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）從如圖的五邊形ABCDE紙片中減去一個(gè)三角形，剩余部分的多邊形的內(nèi)角和和是__________【答案】360°或540°或【分析】從一個(gè)五邊形中剪去一個(gè)三角形，得到的可能是四邊形、可能是五邊形、可能是六邊形，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的公式求解.【詳解】分三種情況：①若剩余部分的多邊形是四邊形，則內(nèi)角和為360°，②若剩余部分的多邊形是五邊形，則內(nèi)角和為(5-2)×180③若剩余部分的多邊形是六邊形，則內(nèi)角和為(6-2)×180故答案為：360°或540°或【點(diǎn)睛】此題考查多邊形的內(nèi)角和公式，多邊形的剪切問題，培養(yǎng)空間的想象能力非常重要.三、解答題26．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）求12邊形內(nèi)角和度數(shù)；（2）若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和與外角和的差是720°，求n．【答案】（1）1800°；（2）8【分析】（1）根據(jù)內(nèi)角和公式，可得答案；（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式（n-2）?180°可得內(nèi)角和，再根據(jù)外角和為360°可得方程（n-2）?180°-360°=720°，再解方程即可．【詳解】解：（1）由題意，得（12-2）×180°=1800°；（2）由題意得：（n-2）?180°-360°=720°，解得：n=8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理．27．（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是相鄰?fù)饨堑?倍，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)．【答案】8【分析】先根據(jù)一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和外角互補(bǔ)關(guān)系列方程求解出正多邊形的外角,再根據(jù)多邊形的外角和等于360°即可求出正多邊形的邊數(shù).【詳解】設(shè)多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為n°，則內(nèi)角為3n°，n+3n=180，解得n=45，即這個(gè)多邊形的數(shù)是：36045【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角的關(guān)系，關(guān)鍵是計(jì)算出外角的度數(shù)，進(jìn)而得到邊數(shù)．28．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2570°，求這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【答案】130°【分析】設(shè)出相應(yīng)的邊數(shù)和未知的那個(gè)內(nèi)角度數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為正整數(shù)求解，進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和，減去其余的角即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，則（n-2）×180°-x=2570°，n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°，∵0°＜x＜180°，解得16.2＜n＜17.2，又∵n為正整數(shù)，∴n=17，則這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°×（17-2）-2570°=130°．【點(diǎn)睛】解此題的關(guān)鍵在于利用內(nèi)角和公式（n-2）×180°列出等式，再根據(jù)多邊形內(nèi)角的范圍得到關(guān)于邊數(shù)n的不等式，要注意多邊形的邊數(shù)n為正整數(shù)，所以在n的取值范圍內(nèi)取正整數(shù)即為n的值.29．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知如圖：直線DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，求證：（1）∠A+∠1＝180°；（2）∠A＝∠2．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ACD＝∠ABD＝90°，再由四邊形的內(nèi)角和為360°可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論并結(jié)合平角的定義可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，∴∠ACD＝∠ABD＝90°，∴∠A+∠1＝360°﹣90°﹣90°＝180°；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠A+∠1＝180°，∴∠A＝∠2．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直的定義．30．（2023秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有4條對(duì)角線；從m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線把m邊形分成6個(gè)三角形；正t邊形的邊長(zhǎng)為7，周長(zhǎng)為63．求(n-m)t【答案】-1【分析】根據(jù)題意，由多邊形的性質(zhì)，分析可得答案．【詳解】依題意有n=4+3=7，m=6+2=8，t=63÷7=9，則(n﹣m)t=(7﹣8)9=﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出(n﹣3)條對(duì)角線，一共有nn-32條對(duì)角線，經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成(n﹣31．（2022春·浙江金華·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB//CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分線EF于點(diǎn)F，∠AGF=130°，求∠F的度數(shù)．【答案】9.5°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BED=∠CDE=119°，利用角平分線得到∠BEF，求出∠AEF，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠F即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BED=∠CDE=119°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF=12∠BED=59.5°∴∠AEF=180°-∠BEF=120.5°，∵∠AEF+∠F=∠AGF，∠AGF=130°，∴∠F=∠ADF-∠AEF=130°-120.5°=9.5°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的計(jì)算，三角形的外角的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，∠1、∠2是四邊形ABCD的兩個(gè)不相鄰的外角．(1)猜想并說明∠1+∠2與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠ADC的平分線交于點(diǎn)O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度數(shù)；(3)如圖③，BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．請(qǐng)直接寫出∠A、∠C與∠O的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠1+∠2=∠A+∠C，理由見解析(2)133°(3)2∠O=∠C-∠A，理由見解析【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角即可說明∠1+∠2與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系；（2）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ADC=150°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC+∠ODC=75°，即可求∠BOD的度數(shù)；（3）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．進(jìn)而可以寫出∠A、∠C與∠O的的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：猜想：∠1+∠2=∠A+∠C，理由如下：∵∠1+∠ABC=∠2+∠ADC=180°，∴∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=∠A+∠C；（2）解：∵∠A=58°，∠C=152°，∴∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=150°，又∵BO、DO分別平分∠ABC與∠ADC，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠ODC=1∴∠BOD=360°-∠OBC+∠ODC+∠C（3）解：∵BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．∴∠FDC=2∠FDO=2∠ODC，∠EBC=2∠EBO=2∠CBO，由（1）可知：∠FDO+∠EBO=∠A+∠O，2∠FDO+2∠EBO=∠A+∠C，∴2∠A+2∠O=∠A+∠C，∴∠C-∠A=2∠O．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是證明（1）中結(jié)論并應(yīng)用（1）中結(jié)論求解．33．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=x(1)∠ABC+∠ADC=（含x，y的式子直接填空）；(2)如圖1，x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC，∠ADC相鄰