2023-2024學(xué)年湖北省部分區(qū)域高中高二上冊(cè)9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖北省部分區(qū)域高中高二上冊(cè)9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知直線，，若且，則的值為（

）A． B． C． D．22．“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取10位某市居民，他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（

）A．7.5 B．8 C．8.5 D．93．已知三棱錐中，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，設(shè)，，，則向量（

）A． B． C． D．4．從裝有2個(gè)紅球、4個(gè)白球的袋子中任意摸出2個(gè)球，事件“至少有1個(gè)紅球”，事件“至多有1個(gè)白球”，則（

）A． B．C． D．5．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．6．一個(gè)透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)正方體容器，則水面在容器中形成的所有可能的形狀是（）①三角形

②非正方形的菱形

③五邊形

④正方形

⑤正六邊形A．②④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．①②③④⑤7．定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（

）A．B．C．D．若，，則8．八卦文化是中華文化的精髓，襄陽(yáng)市古隆中景區(qū)建有一巨型八卦圖（圖1），其輪廓分別為正八邊形和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點(diǎn)，魚眼（黑白兩點(diǎn)）是圓半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,若，圓的半徑為，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動(dòng)（即圓面及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，的最小值為（）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法正確的有（）A．若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限.B．直線不過定點(diǎn).C．過點(diǎn)，且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為.D．斜率為，且在軸上的截距為的直線方程為.10．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則（

）A． B．C．周長(zhǎng)的最大值為3 D．的最大值為11．一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件C為“兩次能看見的所有面向上的數(shù)字之和不小于15”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件A與事件B相互獨(dú)立B．事件A與事件B互斥C．D．12．如圖，在正方體中，，點(diǎn)M在正方體內(nèi)部及表面上運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）A．若M為棱的中點(diǎn)，則直線∥平面B．若M在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為C．當(dāng)M與重合時(shí)，以M為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長(zhǎng)為D．若M在線段上運(yùn)動(dòng)，則M到直線的最短距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知直線l的一方向向量為.則直線l的傾斜角為.14．已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)=.15．某校高二年級(jí)有男生400人和女生600人，為分析期末物理調(diào)研測(cè)試成績(jī)，按照男女比例通過分層隨機(jī)抽樣的方法取到一個(gè)樣本，樣本中男生的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為10，女生的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為20，由此可以估計(jì)該校高二年級(jí)期末物理調(diào)研測(cè)試成績(jī)的方差為.16．《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽(yáng)馬（如圖），平面，，，點(diǎn)，分別在，上，當(dāng)空間四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17．（1）求經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程．（2）己知的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為，求直線的方程；18．在中，分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．(1)求A；(2)若是線段的中點(diǎn)，且，，求的面積．19．已知函數(shù)，集合，若分別從集合P，Q中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a和b，構(gòu)成數(shù)對(duì)．(1)記事件A為“函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為”，求事件A的概率；(2)記事件B為“方程有4個(gè)根”，求事件B的概率．20．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，，求證：平面平面．21．“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級(jí)的老師命制了某專題共5套測(cè)試卷（總分150分），用于對(duì)該校高二年級(jí)480名學(xué)生進(jìn)行每周測(cè)試，測(cè)試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：試卷序號(hào)i12345考前預(yù)估難度系數(shù)0.70.640.60.60.55測(cè)試后，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：試卷序號(hào)i12345平均分/分10299939387(1)根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；(2)試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測(cè)難度系數(shù)之間會(huì)有偏差，設(shè)為第i套試卷的實(shí)測(cè)難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計(jì)量，若，則認(rèn)為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認(rèn)為不合理．以樣本平均分估計(jì)總體平均分，試檢驗(yàn)這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．(3)聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時(shí)解答上述試卷易錯(cuò)題進(jìn)行“智力競(jìng)賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計(jì)0分，先多得2分者為勝方.若在此次競(jìng)賽中，聰聰選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿?，明明選題時(shí)聰聰?shù)梅值母怕蕿?，各題的結(jié)果相互獨(dú)立，二人約定從0:0計(jì)分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率.22．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，，E為AB的中點(diǎn)．將沿DE折起，使A到達(dá)，連接，，得到四棱錐．(1)證明：；(2)當(dāng)二面角的平面角在內(nèi)變化時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．1．C【分析】由兩直線的平行與垂直求得值后可得結(jié)論.【詳解】由題意,，，，所以．故選：C．2．C【分析】先計(jì)算分位數(shù)的位置，再求出這個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意，這10個(gè)人的幸福指數(shù)已經(jīng)從小到大排列，因?yàn)?，所以這10個(gè)人的分位數(shù)為.故選：C.3．A【分析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，，則，故選：A4．B【分析】由古典概型的概率公式求出，即可得到答案【詳解】記2個(gè)紅球分別為，，4個(gè)白球分別為，則從袋子中任意摸出2個(gè)球的所有情況為：，，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中事件“至少有1個(gè)紅球”包括：，，，，，，，，，共9種，事件“至多有1個(gè)白球”包括：，，，，，，，，，共9種，故，，故選：B5．A【分析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，即，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為，則方程為，即，聯(lián)立方程，解得，即的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故的歐拉線方程為.故選：A.6．C【分析】正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心，從而將問題轉(zhuǎn)化為過正方體中心，作正方體的截面問題.【詳解】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心，過正方體一面上一邊的中點(diǎn)和此邊外的頂點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，且不為正方形，所以②是正確的；

過正方體一面上相對(duì)兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，所以④是正確的；

過正方體的一個(gè)鄰兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，所以⑤是正確的；

過正方體的中心的平面截正方體得到的截面，且該截面將正方體的體積平分，顯然截面不能是三角形和五邊形；故選：C.7．D【分析】A．按的正負(fù)分類討論可得，B．由新定義的意義判斷，C．可舉反例說明進(jìn)行判斷，D．與平面向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，用數(shù)量積求出兩向量夾角的余弦值，轉(zhuǎn)化為正弦值，代入計(jì)算可判斷．【詳解】A．，時(shí)，，，時(shí)，，成立，時(shí)，，，綜上，A不恒成立；B．是一個(gè)實(shí)數(shù)，無意義，B不成立；C．若，，則，，，，，，C錯(cuò)誤；D．若，，則，，，，所以，成立．故選：D．本題考查向量的新定義運(yùn)算，解題關(guān)鍵是理解新定義，并能運(yùn)用新定義求解．解題方法一種方法是直接利用新定義的意義判斷求解，另一種方法是把新定義與向量的數(shù)量積進(jìn)行聯(lián)系，把新定義中的用，而余弦可由數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算．8．C【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，進(jìn)而求得取得最小值，得到答案.【詳解】由題意，點(diǎn)是圓半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)的位置，如圖所示，在八卦圖中，知,又由，則由，當(dāng)八卦圖轉(zhuǎn)動(dòng)（即圓面及其內(nèi)部點(diǎn)繞轉(zhuǎn)動(dòng)）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：C.9．AC【分析】根據(jù)直線方程的相關(guān)定義一一判定即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則，即在第二象限正確；對(duì)于B項(xiàng)，直線方程可化為，易知時(shí)，故該直線過定點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由點(diǎn)斜式方程的定義可知其正確；對(duì)于D項(xiàng)，由斜截式方程的定義可知斜率為，且在軸上的截距為的直線方程為，即D錯(cuò)誤.故選：AC10．BCD【分析】對(duì)于AB，利用正弦定理判斷即可，對(duì)于C，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷，對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，結(jié)合基本不等式可得，從而可求出的最大值【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，所以B正確.對(duì)于C，根據(jù)余弦定理得，所以，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以C正確.對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.，所以D正確.故選：BCD11．ACD【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)古典概型求，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)事件的運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)古典概型運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：第一次向下的數(shù)字為1，2，3，4，共4個(gè)基本事件，則，設(shè)為連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次向下的數(shù)字組合，其中為第一次向下的數(shù)字，為第二次向下的數(shù)字，則有，共16個(gè)基本事件，可知事件包含，共8個(gè)基本事件，則，事件包含，共4個(gè)基本事件，則，可知，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，且事件A與事件B不互斥，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔆正確；事件C等價(jià)于為“兩次向下的數(shù)字之和小于等于5”，包含，共10個(gè)基本事件，則，故D正確；故選：ACD.12．AC【分析】對(duì)于A：作交點(diǎn)，連接，可證，進(jìn)而得到∥平面；對(duì)于B：展開與到同一平面上，由兩點(diǎn)間直線段最短，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；對(duì)于C：在側(cè)面上的射影為，確定交線為以為圓心的圓弧，結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求解；對(duì)于D：根據(jù)垂直關(guān)系分析可知直線與直線的距離為，當(dāng)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)時(shí)，可得，即能找出此點(diǎn)恰在上.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：作交點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，M為棱的中點(diǎn)，則∥，且平面，平面，所以∥平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：展開與到同一平面上如圖：可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：M與重合時(shí)，在側(cè)面上的射影為，故交線是以為圓心的一段圓?。▊€(gè)圓），且圓半徑，故圓弧長(zhǎng)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：取的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，所以平面，由平面，則，又因?yàn)椤?，則，所以直線與直線的距離為，當(dāng)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)時(shí)，則∥，且，且∥，且，可得∥，且，可知為平行四邊形，則∥，且，所以為M到直線最短距離，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.13．##【分析】根據(jù)直線斜率公式結(jié)合已知直線的方向向量可以直接求出直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)斜率求解傾斜角.【詳解】解：因?yàn)橹本€l的一方向向量為，所以直線的斜率為，，設(shè)直線l的傾斜角，則，所以，即.故14．【分析】由題意結(jié)合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定的值.【詳解】由題意可知，存在實(shí)數(shù)滿足：，據(jù)此可得方程組：，求解方程組可得.故答案為．本題主要考查空間向量基本定理，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15．【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，利用平均數(shù)以及方差的計(jì)算，建立方程，可得答案.【詳解】由，不妨設(shè)樣本由男生2人和女生3人組成.由題設(shè)：，，解得，；，解得，；所以樣本的平均分，樣本的方差.故答案為.16．【分析】把剪開，使得與矩形在同一個(gè)平面內(nèi).延長(zhǎng)到M，使得，則四點(diǎn)，E，F(xiàn)，M在同一條直線上時(shí)，取得最小值，即空間四邊形的周長(zhǎng)取得最小值.可得，.設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，則，利用勾股定理進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，把剪開，使得與矩形在同一個(gè)平面內(nèi).延長(zhǎng)到M，使得，則四點(diǎn)，E，F(xiàn)，M在同一條直線上時(shí)，取得最小值，即空間四邊形的周長(zhǎng)取得最小值.在中，C是MD的中點(diǎn)，又，得，.

設(shè)的外心為，外接圓的半徑為r，由得，,則，即.

設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，球心為O，連接，則，則.所以三棱錐外接球的表面積等于.故答案為.17．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件及直線的截距式方程即可求解；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在直線上，結(jié)合直線垂直斜率的關(guān)系及兩直線相交求交點(diǎn)的方法，再利用直線的兩點(diǎn)式方程即可求解.【詳解】（1）設(shè)直線在軸上的截距分別為，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，則直線斜率，直線方程為，即；當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線方程為，則，直線方程為；（2）由題意知：點(diǎn)在直線上，則可設(shè)，中點(diǎn)為，，解得：，，，直線方程為：，即，由得：，即；直線的方程為：，即；18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解即可；（2）法一：取中點(diǎn)，連接，在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而可得，再利用面積公式運(yùn)算求解；法二：根據(jù)中線的向量關(guān)系可得，結(jié)合數(shù)量積可得，再利用面積公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理邊角互化得，整理得，即，因?yàn)?，則，可得，且，所以.（2）法一：如圖，取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，，，在中，，由余弦定理，即，整理得，解得或（舍去），可得，所以的面積為；法二：因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，則，可得，即，可得，解得或（舍去），所以的面積為.19．(1)(2)【分析】（1）列舉樣本空間所有的樣本點(diǎn)，依題意有，列舉滿足條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算；（2）依題意有，列出所有符合條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算.【詳解】（1）由題知，所以，數(shù)對(duì)的可能取值為：共16對(duì)．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則函數(shù)的對(duì)稱軸為，即所以，滿足條件的基本事件有：，共4對(duì)，所以，事件A的概率為（2）因?yàn)?，二次函?shù)開口向上，所以，方程有4個(gè)根，即為和各有2個(gè)根，所以，二次函數(shù)的最小值小于．所以，即，滿足條件的基本事件有：，共11對(duì)，所以，事件B的概率．20．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證得平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理來證得.（2）通過證明平面來證得平面平面．【詳解】（1）因?yàn)榈酌媸钦叫危?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫媾c交于點(diǎn)，平面，平面平面，所以．（2）側(cè)面為等腰直角三角形，且，即，，因?yàn)?，，且兩直線在平面內(nèi)，可得平面，因?yàn)槠?/p>