粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用分析

粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用分析

在飽和粘土層中挖掘隧道引起了人們的注意[1.4]。隧道開挖后地層中初始應(yīng)力場(chǎng)釋放,應(yīng)力重新分布形成二次應(yīng)力場(chǎng),從而引起隧道的變形。為了確保隧道開挖后的穩(wěn)定性,工程中常用襯砌材料進(jìn)行支護(hù)。最初人們根據(jù)圍巖(土)壓力理論來計(jì)算襯砌結(jié)構(gòu)上的荷載,并以此進(jìn)行設(shè)計(jì),這樣設(shè)計(jì)出的襯砌厚而不經(jīng)濟(jì)。實(shí)際上圍巖(土)壓力不是無(wú)條件的全部由襯砌結(jié)構(gòu)來承擔(dān),而是通過相互作用由襯砌和圍巖(土)共同承擔(dān)的。另一方面,襯砌材料(砼或配筋砼)具有徐變特性。因此,考慮地層和襯砌材料的流變性態(tài)進(jìn)行地下結(jié)構(gòu)襯砌計(jì)算,能更好的反映襯砌-土相互作用過程中隨時(shí)間變化的受力特征。文獻(xiàn)考慮襯砌和圍巖的徐變特性進(jìn)行了圓形隧道的粘彈性應(yīng)力分析。然而,將襯砌材料和圍巖(土)視為多孔介質(zhì)更為合理。Biot最早建立了飽和多孔介質(zhì)的力學(xué)計(jì)算理論?；贐iot理論,Carter研究了飽和土體的圓形隧道的固結(jié)問題。Li假設(shè)襯砌材料完全柔性且為多孔彈性介質(zhì),得到了半封閉條件下飽和土體中圓形隧道的固結(jié)解答,但未考慮材料的流變。文獻(xiàn)考慮了土體的流變性態(tài),分析了飽和土體中深埋圓形隧道的應(yīng)力和位移,但未考慮襯砌剛度的影響。綜合以上,可見目前尚無(wú)既考慮材料流變又考慮土體固結(jié)情況下深埋圓形隧道襯砌-土相互作用問題的解答。本文考慮襯砌和土體的流變性態(tài),其中襯砌的流變性態(tài)采用Venderporl模型(也稱K-H模型)描述,研究分析粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用,根據(jù)薄壁圓柱殼理論分析了襯砌的內(nèi)力和變形,利用獻(xiàn)的結(jié)果在Laplace變換域中得到了隧道襯砌與土體接觸面上的應(yīng)力和變形及襯砌內(nèi)的薄膜力和彎矩解答。并利用DurbinLaplace數(shù)值逆變換公式得到時(shí)間域中的結(jié)果,分析討論了襯砌和土體的相對(duì)剛度、阻尼比、襯砌的相對(duì)厚度對(duì)隧道襯砌-土相互作用的影響。1襯砌結(jié)構(gòu)模型在飽和土體中開挖深埋圓形隧道模型如圖1所示,其中r0和r2分別為襯砌的中曲面半徑和外半徑,El、μl和Es、μs分別為襯砌材料和飽和土體的彈性模量和泊松比。隧道開挖后,土體中的初始應(yīng)力場(chǎng)釋放,在隧道邊界上(r=2r)形成的應(yīng)力邊界條件為:式中,σh和σv分別為水平方向和豎直方向的初始應(yīng)力,兩者之間的關(guān)系為或用有效應(yīng)力表示式中N0、K0為側(cè)壓力系數(shù),如果地下水位位于地表,則N0=K0+γw1(-K0)/γs,其中γw、γs分別為孔隙流體和土體的重度。隧道開挖后需要進(jìn)行襯砌支護(hù)。由于襯砌與土體相互作用,襯砌結(jié)構(gòu)只承擔(dān)隧道邊界上的部分初始應(yīng)力。本文假定襯砌安裝時(shí)初始應(yīng)力尚未釋放,計(jì)算模型(圖1)適用于頂管法隧道開挖,同時(shí)也可以近似模擬盾構(gòu)法隧道開挖。隧道邊界上的初始應(yīng)力一部分由襯砌結(jié)構(gòu)承擔(dān),一部由土體自身承擔(dān),可以表示為:式中p(θ,t)、τ(θ,t)為襯砌承擔(dān)的初始應(yīng)力;σrs、τrsθ為隧道邊界上土體承擔(dān)的初始應(yīng)力。為了便于分析,將隧道邊界上的初始應(yīng)力表達(dá)式(1),分解為三種基本荷載形式,并與滲流邊界條件共同構(gòu)成以下三類邊界:第一類邊界,隧道邊界上均布御載:第二類邊界,隧道邊界上初始孔壓釋放:第三類邊界,隧道邊界上非均布御載:式中p為超孔隙水壓力;k為無(wú)量綱參數(shù),表示隧道邊界的滲透特性,,kl為墻體的滲透系數(shù),kr為土體的滲透系數(shù),1r為襯砌的內(nèi)半徑(r1=2r0-r2),p0為初始孔隙水壓力。當(dāng)k→0時(shí)隧道襯砌不透水,而當(dāng)k→∞時(shí)襯砌完全透水。第二類邊界僅為一種理想情況,在實(shí)際問題中隧道邊界上作用的應(yīng)力比較復(fù)雜,往往是以上幾種應(yīng)力的組合,在復(fù)雜應(yīng)力邊界條件下的解答可以通過以上幾種簡(jiǎn)單條件下的解疊加得到。2襯砌無(wú)限長(zhǎng)的理論模型由于圓形隧道襯砌的厚度遠(yuǎn)小于其中曲面半徑,且假定襯砌無(wú)限長(zhǎng),則可以按薄壁圓柱殼的彎矩理論進(jìn)行計(jì)算,其計(jì)算模型如圖2所示。在襯砌的中曲面上作用單位長(zhǎng)度上的薄膜力N、彎矩M、剪力Q。2.1道邊界初始應(yīng)力假設(shè)隧道襯砌的外邊界上(r=2r)作用徑向均布荷載p(θ,t)和剪切荷載τ(θ,t),由于圓形隧道邊界上的初始應(yīng)力的表達(dá)式為富立葉分量形式,則襯砌上的荷載:式中P(t)、T(t)分別為徑向和剪切荷載系數(shù);σrl為荷載系數(shù)的值。n取0、2,第一類邊界條件下n=0,第三類邊界條件下n=2。根據(jù)薄壁圓柱殼計(jì)算理論,中曲面(r=0r)上的荷載p0(θ,t)和τ0(θ,t)可由外邊界上的荷載得到:2.2襯砌基本方程根據(jù)薄壁圓柱殼計(jì)算理論,無(wú)限長(zhǎng)圓形隧道襯砌計(jì)算的基本方程可以簡(jiǎn)化為:(1)平衡方程(2)幾何方程式中?為轉(zhuǎn)角;ρ為曲率半徑。(3)物理方程式中url,uθl為襯砌的徑向和切向位移;h為襯砌的厚度,。2.3襯砌有限元模型文獻(xiàn)根據(jù)薄壁圓柱殼理論將隧道襯砌視為圓形曲桿,并將襯砌表面荷載展開為富立葉級(jí)數(shù)形式,得到了襯砌內(nèi)力和變形的級(jí)數(shù)解。如果襯砌表面僅作用徑向均布荷載p(θ,t),即τ(θ,t)=0,n=0。則根據(jù)薄壁圓柱殼計(jì)算理論,襯砌內(nèi)url,uθl,N,M,Q均與θ值無(wú)關(guān),故襯砌內(nèi)力和變形可由方程(9)、(11)簡(jiǎn)化得到(或直接利用文獻(xiàn)的結(jié)果):式(12)表明在襯砌上僅作用有均布荷載時(shí),襯砌內(nèi)產(chǎn)生徑向變形和軸力,無(wú)彎矩和切向變形。由于砼襯砌具有徐變特性,根據(jù)粘彈性力學(xué)的對(duì)應(yīng)性原理,只要將線彈性解答中的彈性模量El經(jīng)Laplace變換后用粘彈性介質(zhì)的蠕變度函數(shù)sJ(s)代換即可得到粘彈性條件下的解答。本文假定襯砌材料符合Venderporl模型,則蠕變度函數(shù)可表示為:,El1、El2為模型的彈性常數(shù),ηl為模型的粘滯系數(shù)。在徑向均布荷載條件下,考慮襯砌流變性態(tài)條件下的解可以得到:式中。2.4由9、11式如果襯砌表面作用軸對(duì)稱荷載p(θ,t)和τ(θ,t),即n=2。根據(jù)薄壁圓柱殼計(jì)算理論,在Laplace變換域中,由(9)、(11)式可得:式中。文獻(xiàn)已給出了襯砌上作用徑向和切向均布荷載條件下,襯砌內(nèi)力和變形方程(11)、(14)和(15)式的級(jí)數(shù)解,取n=2,同時(shí)將與荷載系數(shù)無(wú)關(guān)的襯砌的剛體位移忽略,即可得到襯砌的內(nèi)力和變形:將(16a)和(16b)式表示為以下形式:則有式中;由(18)式可以得到襯砌上荷載系數(shù)和變形系數(shù)的關(guān)系式:3土體的內(nèi)力和變形以上已得到了襯砌在軸向均布荷載和切向荷載下的變形和內(nèi)力,而土體的內(nèi)力和變形可由文獻(xiàn)給出的解獲得。由于隧道襯砌和土體接觸面上的變形和內(nèi)力是隧道設(shè)計(jì)的關(guān)鍵所在,因此,在此僅給出粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌和土體接觸面上的變形和內(nèi)力解答。3.1彈性飽和土體土體中深埋圓形隧道應(yīng)力和位移解的確定隧道邊界上土體承擔(dān)一部分荷載σrs,在拉普拉斯變換域中:在此類邊界條件下,文獻(xiàn)已給出了粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道的應(yīng)力和位移解,在此直接引用即得襯砌和土體接觸面上(r=2r)應(yīng)力和變形的關(guān)系式:式中。第一類邊界條件下,隧道襯砌-土體接觸面上的初始應(yīng)力由襯砌結(jié)構(gòu)和土體共同承擔(dān),襯砌-土體接觸面上的應(yīng)力和變形協(xié)調(diào),則有將(13)和(21)式代入(22)得到:3.2初始孔壓釋放邊界條件在第二類邊界條件下,隧道邊界徑向應(yīng)力和剪應(yīng)力為零為一理想條件,不能獨(dú)立存在。初始孔壓釋放邊界條件僅對(duì)土體起作用,對(duì)襯砌沒有影響,即不產(chǎn)生變形、軸力和彎矩。因此,文獻(xiàn)中的結(jié)果對(duì)第二類邊界條件下的隧道襯砌-土體相互作用仍適用。3.3襯砌-土體接觸面上應(yīng)力和位移的應(yīng)用隧道邊界上土體承擔(dān)一部分荷載σrs(θ,t),在拉普拉斯變換域中:式中為土體中的徑向應(yīng)力和剪應(yīng)力系數(shù)。利用文獻(xiàn)給出了粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道的應(yīng)力和位移解可得:式中:第三類邊界條件下,在隧道襯砌-土體接觸面上的應(yīng)力和變形協(xié)調(diào),則有:對(duì)(8)式進(jìn)行Laplace變換,和(24)代入(26)式得到:將(19)和(25)式代入上式,得到襯砌和土體接觸面上的變形系數(shù):式中:在求得襯砌和土體接觸面上的變形系數(shù)后,即可得到襯砌和體分別承擔(dān)初始應(yīng)力值,再代入文獻(xiàn)中的結(jié)果即可得到襯砌和土體接觸面上的應(yīng)力和孔隙水壓力。代入(21)、(18b)和(18c)式得到襯砌內(nèi)的軸力和彎矩,從而可以進(jìn)行襯砌的設(shè)計(jì)。4襯砌為復(fù)合材料的接觸面,形態(tài)參數(shù)選取?前文考慮襯砌和土體相互作用,在Laplace變換域中分別得到了三類邊界條件下,襯砌和土體接觸面上的應(yīng)力、位移以及襯砌內(nèi)薄膜力(軸力)和彎矩解答,結(jié)果表明隧道開挖后的初始應(yīng)力場(chǎng)由襯砌和土體共同承擔(dān),如果不考慮襯砌和土體的相互作用而按傳統(tǒng)的圍巖(土)壓力理論來進(jìn)行隧道襯砌的計(jì)算和設(shè)計(jì),其結(jié)果勢(shì)必偏大。時(shí)間域中的解可以采用近似的Laplace數(shù)值逆變換得到。本文采用Durbin拉普拉斯數(shù)值逆變換公式進(jìn)行計(jì)算,以分析反映襯砌和土體的相對(duì)剛度、阻尼比以及襯砌厚度與襯砌中曲面半徑的比值(相對(duì)厚度)對(duì)隧道襯砌-土相互作用的影響,部分計(jì)算結(jié)果如圖3～圖9。在隧道襯砌上僅作用軸向均布荷載條件下(第一類邊界),襯砌和土體接觸面上僅有徑向位移,襯砌內(nèi)也僅有軸力,不產(chǎn)生彎矩。襯砌和土體接觸面上(r=2r)的位移及襯砌內(nèi)的軸力在不同相對(duì)剛度和相對(duì)厚度條件下的歷時(shí)曲線如圖3、4?；居?jì)算參數(shù)取值:襯砌的彈性常數(shù)El1=El2(用El表示),土體的彈性常數(shù),ηs=10MPa?d,ηl=1MPa?d。圖3中可以看出:襯砌和土體的相對(duì)剛度(El/Es)越大,隧道產(chǎn)生向著隧道中心的徑向位移越小。襯砌和土體的相對(duì)厚度(h/r0)越大,徑向位移也越小。由于襯砌材料和土體的流變性態(tài)以及土體中超孔隙水壓力的消散,徑向位移隨時(shí)間的增加而增大,并趨于穩(wěn)定。在軸向均布荷載條件下,襯砌內(nèi)的軸力(圖4)隨相對(duì)剛度和相對(duì)厚度的增大而增大,并隨時(shí)間的增加趨于一穩(wěn)定值。第三類邊界條件下,襯砌和土體相對(duì)剛度、阻尼比以及襯砌相對(duì)厚度對(duì)接觸面上的徑向位移(變形)的影響如圖5～7。圖5反映的襯砌和土體的相對(duì)剛度對(duì)徑向位移的影響與在第一類條件下具有相同的規(guī)律性,且從圖中可以看出:相對(duì)剛度值越大,徑向位移趨于穩(wěn)定的歷時(shí)越短。土體與襯砌的阻尼比對(duì)徑向位移的影響如圖6所示,文獻(xiàn)認(rèn)為土體的粘滯阻尼在0～100000范圍內(nèi)對(duì)土體中應(yīng)力和位移場(chǎng)產(chǎn)生影響,因此,我們選取ηs/ηl=1,100,10000三個(gè)值來分析土體的粘彈性和襯砌的徐變特性,可以看出隨著阻尼比的增大,徑向位移呈減小趨勢(shì),且其影響沒有相對(duì)剛度的影響大。圖7為t*=1時(shí)(t*=ct/r22),在圓形隧道上半部分(接觸面上)的徑向位移隨相對(duì)厚度的變化規(guī)律,同樣可見徑向位移隨相對(duì)厚度的增加而減小。此外隧道的起拱線處(θ=,0180)產(chǎn)生遠(yuǎn)離隧道中心的最大位移,而拱部(θ=90)則產(chǎn)生向著隧道中心的最大位移。圖8、9為第三類邊界條件下,在t*=1時(shí)刻,相對(duì)剛度對(duì)圓形隧道的上半部分襯砌內(nèi)的軸力和彎矩的影響曲線。軸力(圖8)隨相對(duì)剛度的增大而增大,在襯砌的拱部(θ=90)出現(xiàn)負(fù)的最大值(受拉),而在襯砌的起拱線(θ=,0180)受壓且有最大值。襯砌內(nèi)的彎矩隨相對(duì)剛度的增大而增大(圖9),彎矩的分布規(guī)律和軸力相似。5襯砌材料的結(jié)構(gòu)及厚度對(duì)隧道襯砌-土相互作用的影響在Laplace變換域中,本文研究了粘彈性飽和土體中深埋圓形隧道襯砌-土相互作用問題,得到隧道襯砌-土體接觸面