2021年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題試卷 解析版

2021年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）1．2021的相反數(shù)是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣2．從今年公布的全國第七次人口普查數(shù)據(jù)可知，湖北省人口約為5700萬，其中5700萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．5.7×106 B．57×106 C．5.7×107 D．0.57×1083．如圖，將一塊含有60°角的直角三角板放置在兩條平行線上，若∠1＝45°，則∠2為（）A．15° B．25° C．35° D．45°4．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)﹣2＝﹣a2 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（a2）3＝a65．如圖是小明某一天測(cè)得的7次體溫情況的折線統(tǒng)計(jì)圖，下列信息不正確的是（）A．測(cè)得的最高體溫為37.1℃ B．前3次測(cè)得的體溫在下降 C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是36.8 D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是36.66．如圖是由4個(gè)相同的小正方體構(gòu)成的一個(gè)組合體，該組合體的三視圖中完全相同的是（）A．主視圖和左視圖 B．主視圖和俯視圖 C．左視圖和俯視圖 D．三個(gè)視圖均相同7．如圖，從一個(gè)大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個(gè)小正方形，若隨機(jī)向大正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）A． B． C． D．8．如圖，某梯子長(zhǎng)10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角為α?xí)r，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)A處，底端落在水平地面的點(diǎn)B處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為β，已知sinα＝cosβ＝，則梯子頂端上升了（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米9．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的q＝143，則p的值為（）A．100 B．121 C．144 D．16910．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OB＝2OC，則下列結(jié)論：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④當(dāng)﹣1＜b＜0時(shí)，在x軸下方的拋物線上一定存在關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），使得AN⊥BM，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)處的橫線上）11．計(jì)算：|﹣1|+（π﹣2021）0＝．12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若∠C＝50°，則∠BAD的度數(shù)為．13．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若+＝3，則k＝．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使點(diǎn)C′落在AB邊上，則點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．（結(jié)果保留π）15．2021年5月7日，《科學(xué)》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)“祖沖之”號(hào)的相關(guān)研究成果．祖沖之是我國南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他是第一個(gè)將圓周率π精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位的人，他給出π的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式：（約率）和（密率）．同時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有＜x＜，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則是x的更為精確的近似值．例如：已知＜π＜，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個(gè)更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分?jǐn)?shù)…現(xiàn)已知＜＜，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分?jǐn)?shù)為．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，OD平分∠AOC交AC于點(diǎn)G，OD＝OA，BD分別與AC，OC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AD，CD，則的值為；若CE＝CF，則的值為．三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）17．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+）÷，其中x＝1．18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）證明四邊形BEDF是菱形．19．（10分）疫苗接種初期，為更好地響應(yīng)國家對(duì)符合條件的人群接種新冠疫苗的號(hào)召，某市教育部門隨機(jī)抽取了該市部分七、八、九年級(jí)教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：已接種未接種合計(jì)七年級(jí)301040八年級(jí)3515a九年級(jí)40b60合計(jì)105c150（1）表中，a＝，b＝，c＝；（2）由表中數(shù)據(jù)可知，統(tǒng)計(jì)的教師中接種率最高的是年級(jí)教師；（填“七”或“八”或“九”）（3）若該市初中七、八、九年級(jí)一共約有8000名教師，根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)未接種的教師約有人；（4）為更好地響應(yīng)號(hào)召，立德中學(xué)從最初接種的4名教師（其中七年級(jí)1名，八年級(jí)1名，九年級(jí)2名）中隨機(jī)選取2名教師談?wù)劷臃N的感受，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的概率．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y2＝（m＞0）的圖象交于點(diǎn)C（1，2），D（2，n）．（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）連接OD，求△BOD的面積．21．（9分）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BC⊥DE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：AB＝BC；（2）若⊙O的直徑AB為9，sinA＝．①求線段BF的長(zhǎng)；②求線段BE的長(zhǎng)．22．（10分）如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個(gè)長(zhǎng)為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B處，現(xiàn)對(duì)其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y＝﹣x2+bx+c，現(xiàn)測(cè)得A，B兩墻體之間的水平距離為6米．（1）直接寫出b，c的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準(zhǔn)備多少根竹竿？23．（11分）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為；（2）①如圖1，P是邊長(zhǎng)為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為h1，h2，h3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝；（結(jié)果用含a的式子表示）②如圖2，P是邊長(zhǎng)為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1，h2，h3，h4，h5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（參考數(shù)據(jù)：tan36°≈，tan54°≈）（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA＝4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC∥OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留π）②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點(diǎn)G在AF的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理由24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N，Q是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

2021年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）1．2021的相反數(shù)是（）A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣【分析】利用相反數(shù)的定義分析得出答案，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．【解答】解：2021的相反數(shù)是：﹣2021．故選：A．2．從今年公布的全國第七次人口普查數(shù)據(jù)可知，湖北省人口約為5700萬，其中5700萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．5.7×106 B．57×106 C．5.7×107 D．0.57×108【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：5700萬＝57000000＝5.7×107，故選：C．3．如圖，將一塊含有60°角的直角三角板放置在兩條平行線上，若∠1＝45°，則∠2為（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】過三角形的60°角的頂點(diǎn)F作EF∥AB，先根據(jù)平行線的性質(zhì)即推出∠EFG＝∠1＝45°，進(jìn)而求出∠EFH＝15°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：過三角形的60°角的頂點(diǎn)F作EF∥AB，∴∠EFG＝∠1＝45°，∵∠EFG+∠EFH＝60°，∴∠EFH＝60°﹣∠EFG＝60°﹣45°＝15°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠EFH＝15°，故選：A．4．下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)﹣2＝﹣a2 B．a(chǎn)2+a3＝a5 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（a2）3＝a6【分析】分別根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則逐一判斷即可．【解答】解：A．a(chǎn)﹣2＝﹣，故本選項(xiàng)不合題意；B．a(chǎn)2與a3不是同類項(xiàng)，所以不能合并，故本選項(xiàng)不合題意；C．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項(xiàng)不合題意；D．（a2）3＝a6，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．如圖是小明某一天測(cè)得的7次體溫情況的折線統(tǒng)計(jì)圖，下列信息不正確的是（）A．測(cè)得的最高體溫為37.1℃ B．前3次測(cè)得的體溫在下降 C．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是36.8 D．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是36.6【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和中位數(shù)，眾數(shù)的定義分別進(jìn)行解答，即可求出答案．【解答】解：由拆線統(tǒng)計(jì)圖可以看出這7次的體溫?cái)?shù)據(jù)從第1次到第7次分別為37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．A、測(cè)得的最高體溫為37.1℃，故A不符合題意；B、觀察可知，前3次的體溫在下降，故B不符合題意；C、36.8℃出現(xiàn)了2次，次數(shù)最高，故眾數(shù)為36.8℃，故C不符合題意；D、這七個(gè)數(shù)據(jù)排序?yàn)?6.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃．中位數(shù)為36.8℃．故D符合題意．故選：D．6．如圖是由4個(gè)相同的小正方體構(gòu)成的一個(gè)組合體，該組合體的三視圖中完全相同的是（）A．主視圖和左視圖 B．主視圖和俯視圖 C．左視圖和俯視圖 D．三個(gè)視圖均相同【分析】先得到該幾何體的三視圖，再進(jìn)行判斷即可．【解答】解：如圖所示：故該組合體的三視圖中完全相同的是主視圖和左視圖，故選：A．7．如圖，從一個(gè)大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個(gè)小正方形，若隨機(jī)向大正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【分析】由兩個(gè)小正方形面積可推出最大正方形的邊長(zhǎng)及面積，從而可求陰影部分的面積，根據(jù)米粒落在圖中陰影部分的概率為陰影部分與大正方形面積比即可得到答案．【解答】解：由圖可知大正方形中的兩個(gè)小正方形連長(zhǎng)分別為2cm、cm．∴大正方形的邊長(zhǎng)為＝3（cm）．則大正方形的面積為＝27，陰影部分的面積為27﹣12﹣3＝12（cm2）．則米粒落在圖中陰影部分的概率為＝．故選：A．8．如圖，某梯子長(zhǎng)10米，斜靠在豎直的墻面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角為α?xí)r，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)A處，底端落在水平地面的點(diǎn)B處，現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子與地面所成角為β，已知sinα＝cosβ＝，則梯子頂端上升了（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【分析】在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝6（米），在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝6（米），用勾股定理可求EC＝8（米），最后AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米），即得答案．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×AB＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故選：C．9．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的q＝143，則p的值為（）A．100 B．121 C．144 D．169【分析】每個(gè)圖形中，左邊三角形上的數(shù)字即為圖形的序數(shù)n，右邊三角形上的數(shù)字為p＝n2，下面三角形上的數(shù)字q＝（n+1）2﹣1，先把q＝143代入求出n的值，再進(jìn)一步求出p的值．【解答】解：通過觀察可得規(guī)律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，∵q＝143，∴（n+1）2﹣1＝143，解得：n＝11，∴p＝n2＝112＝121，故選：B．10．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OB＝2OC，則下列結(jié)論：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④當(dāng)﹣1＜b＜0時(shí)，在x軸下方的拋物線上一定存在關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），使得AN⊥BM，其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象可判斷a，b，c的符號(hào)，a＞0，b＜0，c＜0，從而可判斷①錯(cuò)誤；由OB＝2OC可推出點(diǎn)B（﹣2c，0）代入解析式化簡(jiǎn)即可判斷②正確；由拋物線與x軸的交點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（﹣2c，0），再結(jié)合韋達(dá)定理可得x1?x2＝＝（﹣2）×（﹣2c）＝4c，可得a＝，即可判斷③正確；根據(jù)a＝，2b﹣4ac＝1，可得c＝2b﹣1，從而可得拋物線解析式為y＝x2+bx+（2b﹣1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2b，﹣b2+2b﹣1），繼而可求得A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．所以對(duì)稱軸為直線x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由對(duì)稱性可知，∠APB＝90°，且點(diǎn)P一定在對(duì)稱軸上，則△APB為等腰直角三角形，PQ＝PQ＝＝2﹣2b，得P（﹣2b，2b﹣2），且2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，解得b＞1或b＜﹣1，故可判斷④錯(cuò)誤．【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，∴C（0，c），B（﹣2c，0）．由圖象可知，a＞0，b＜0，c＜0．①：∵a＞0，b＜0，∴a﹣b＞0，∴．故①錯(cuò)誤；②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，∴4ac﹣2b+1＝0，即2b﹣4ac＝1，故②正確；③：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（﹣2c，0），∴x1＝﹣2和x2＝﹣2c為相應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得：x1?x2＝＝（﹣2）×（﹣2c）＝4c，∴a＝．故③正確；④：如圖，∵a＝，2b﹣4ac＝1，∴c＝2b﹣1．故原拋物線解析式為y＝x2+bx+（2b﹣1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2b，﹣b2+2b﹣1）．∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣2b．要使AN⊥BM，由對(duì)稱性可知，∠APB＝90°，且點(diǎn)P一定在對(duì)稱軸上，∵△APB為等腰直角三角形，∴PQ＝＝[2﹣4b﹣（﹣2）]＝2﹣2b，∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，整理得：b2＞1，解得：b＞1或b＜﹣1，這與﹣1＜b＜0矛盾，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有②③，一共2個(gè)，故選：B．二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)處的橫線上）11．計(jì)算：|﹣1|+（π﹣2021）0＝．【分析】利用絕對(duì)值和零指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：|﹣1|+（π﹣2021）0＝﹣1+1＝．故答案為：．12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，若∠C＝50°，則∠BAD的度數(shù)為40°．【分析】連接BD，由圓周角定理的推論可知∠ABD＝90°，因?yàn)椤螩與∠ADB所對(duì)的弧為，所以∠ADB＝∠C＝50°．所以∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．【解答】解：連接BD，如圖．∵AD為直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠C與∠ADB所對(duì)的弧為，∴∠ADB＝∠C＝50°．∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．故答案為：40°．13．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若+＝3，則k＝．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，將其代入已知等式，列出關(guān)于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，∴+＝＝＝3．解得k＝．經(jīng)檢驗(yàn)，k＝是原方程的解．故答案為：．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使點(diǎn)C′落在AB邊上，則點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為π．（結(jié)果保留π）【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求∠BAC＝60°，AB＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求∠BAB'＝∠BAC＝60°，由弧長(zhǎng)公式可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝，∴∠BAC＝60°，cos∠ABC＝，∴AB＝3，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，∴點(diǎn)B所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)＝＝π，故答案為：π．15．2021年5月7日，《科學(xué)》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導(dǎo)量子計(jì)算機(jī)“祖沖之”號(hào)的相關(guān)研究成果．祖沖之是我國南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家，他是第一個(gè)將圓周率π精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位的人，他給出π的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式：（約率）和（密率）．同時(shí)期數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和（即有＜x＜，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則是x的更為精確的近似值．例如：已知＜π＜，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個(gè)更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：＝；由于≈3.1404＜π，再由＜π＜，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分?jǐn)?shù)…現(xiàn)已知＜＜，則使用兩次“調(diào)日法”可得到的近似分?jǐn)?shù)為．【分析】根據(jù)“調(diào)日法”逐次進(jìn)行計(jì)算求解．【解答】解：∵，∴利用一次“調(diào)日法”后可得到的一個(gè)更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：，∵且，∴，∴再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分?jǐn)?shù)為：．故答案為：．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，OD平分∠AOC交AC于點(diǎn)G，OD＝OA，BD分別與AC，OC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AD，CD，則的值為；若CE＝CF，則的值為．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得到OA＝OC，即三角形OAC是等腰三角形，又由“三線合一”的性質(zhì)得到點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，可得OG是△ABC的中位線，可得＝；由CE＝CF，可得∠CEF＝∠CFE，再根據(jù)“對(duì)頂角相等”，“直角三角形兩銳角互余”等可得∠OFB+∠OBD＝90°，即△OBC是等腰直角三角形，再由OG∥BC，得△BCF∽△DOF，則＝＝＝．【解答】解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，∴OA＝OC＝OB，∵OD平分∠AOC，∴OG⊥AC，且點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，∴OG∥BC，且OG＝BC，即＝；②∵OD＝OA，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵OG⊥AC，∴∠DGE＝90°，∴∠GDE+∠DEG＝90°，∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE，∵∠CEF＝∠DEG，∠CFE＝∠OFB，∠ODB＝∠OBD，∴∠OFB+∠OBD＝90°，∴∠FOB＝90°，即CO⊥AB，∴△OBA是等腰直角三角形，∴BC：OB＝；由（1）知，OG∥BC∴△BCF∽△DOF，∴＝＝＝．故答案為：；．三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）17．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+）÷，其中x＝1．【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．【解答】解：（1+）÷＝＝＝，當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝＝﹣2．18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）證明四邊形BEDF是菱形．【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CDF；（2）由菱形的性質(zhì)可得BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，可求EO＝FO，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如圖，連接BD，交AC于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，又∵BD⊥EF，∴平行四邊形BEDF是菱形．19．（10分）疫苗接種初期，為更好地響應(yīng)國家對(duì)符合條件的人群接種新冠疫苗的號(hào)召，某市教育部門隨機(jī)抽取了該市部分七、八、九年級(jí)教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：已接種未接種合計(jì)七年級(jí)301040八年級(jí)3515a九年級(jí)40b60合計(jì)105c150（1）表中，a＝50，b＝20，c＝45；（2）由表中數(shù)據(jù)可知，統(tǒng)計(jì)的教師中接種率最高的是七年級(jí)教師；（填“七”或“八”或“九”）（3）若該市初中七、八、九年級(jí)一共約有8000名教師，根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)未接種的教師約有2400人；（4）為更好地響應(yīng)號(hào)召，立德中學(xué)從最初接種的4名教師（其中七年級(jí)1名，八年級(jí)1名，九年級(jí)2名）中隨機(jī)選取2名教師談?wù)劷臃N的感受，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的概率．【分析】（1）由統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)求解即可；（2）分別求出七、八、九年級(jí)教師的接種率，即可得出結(jié)論；（3）由該市初中七、八、九年級(jí)共有的人數(shù)乘以未接種的教師所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的結(jié)果有10種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）a＝35+15＝50，b＝60﹣40＝20，c＝10+15+20＝45，故答案為：50，20，45；（2）七年級(jí)教師的接種率為：30÷40＝0.75，八年級(jí)教師的接種率為：35÷50＝0.7，九年級(jí)教師的接種率為：40÷60≈0.67，∵0.75＞0.7＞0.67，∴統(tǒng)計(jì)的教師中接種率最高的是七年級(jí)教師，故答案為：七；（3）根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)未接種的教師約有：8000×＝2400（人），故答案為：2400；（4）把七年級(jí)1名教師記為A，八年級(jí)1名教師記為B，九年級(jí)2名教師記為C、D，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的結(jié)果有10種，∴選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的概率為＝．20．（8分）如圖，一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y2＝（m＞0）的圖象交于點(diǎn)C（1，2），D（2，n）．（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）連接OD，求△BOD的面積．【分析】（1）將C、D代入反比例函數(shù)中即可求出m、n的值，代入一次函數(shù)中即可分別求出兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B坐標(biāo)即可根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求出S△BOD．【解答】解：（1）由y2＝過點(diǎn)C（1，2）和D（2，n）可得：，解得：，故y2＝，又由y1＝kx+b過點(diǎn)C（1，2）和D（2，1）可得：，解得，故y1＝﹣x+3．（2）由y1＝﹣x+3過點(diǎn)B，可知B（0，3），故OB＝3，而點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為2，∴S△BOD＝＝3．21．（9分）如圖，D是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)D的切線DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BC⊥DE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：AB＝BC；（2）若⊙O的直徑AB為9，sinA＝．①求線段BF的長(zhǎng)；②求線段BE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，則OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通過證明得出∠A＝∠C，結(jié)論得證；（2）①連接BD，在Rt△ABD中，利用sinA＝求得線段BD的長(zhǎng)；在Rt△BDF中，利用sin∠A＝sin∠FDB，解直角三角形可得結(jié)論；②利用△EBF∽△EOD，列出比例式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）證明：連接OD，如圖，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE．∵BC⊥DE，∴OD∥BC．∴∠ODA＝∠C．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A．∴∠A＝∠C．∴AB＝BC．（2）①連接BD，則∠ADB＝90°，如圖，在Rt△ABD中，∵sinA＝，AB＝9，∴BD＝3．∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，∴∠A＝∠FDB．∴sin∠A＝sin∠FDB．在Rt△BDF中，∵sin∠BDF＝＝，∴BF＝1．②由（1）知：OD∥BF，∴△EBF∽△EOD．∴．即：．解得：BE＝．22．（10分）如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟．小明家的菜地上有一個(gè)長(zhǎng)為16米的蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B處，現(xiàn)對(duì)其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻體A的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足y＝﹣x2+bx+c，現(xiàn)測(cè)得A，B兩墻體之間的水平距離為6米．（1）直接寫出b，c的值；（2）求大棚的最高處到地面的距離；（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準(zhǔn)備多少根竹竿？【分析】（1）根據(jù)題意可推出點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，2），將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求得b、c的值；（2）將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，即可求得大棚的最高點(diǎn)；（3）先求出大棚內(nèi)可以搭建支架土地的寬，再求需要搭建支架部分的面積，進(jìn)而求得需要準(zhǔn)備的竹竿．【解答】解：（1）b═，c═1．（2）由y══，可知當(dāng)x═時(shí)，y有最大值，故大棚最高處到地面的距離為米；（3）令y═，則有═，解得x1═，x2═，又∵0≤x≤6，∴大棚內(nèi)可以搭建支架的土地的寬為6﹣═（米），又大棚的長(zhǎng)為16米，∴需要搭建支架部分的土地面積為16×═88（平方米），故共需要88×4═352（根）竹竿，答：共需要準(zhǔn)備352根竹竿．23．（11分）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡(jiǎn)便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為1；（2）①如圖1，P是邊長(zhǎng)為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為h1，h2，h3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝；（結(jié)果用含a的式子表示）②如圖2，P是邊長(zhǎng)為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ABCDE各邊距離分別為h1，h2，h3，h4，h5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（參考數(shù)據(jù)：tan36°≈，tan54°≈）（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA＝4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC∥OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留π）②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點(diǎn)G在AF的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理由【分析】（1）先求出斜邊長(zhǎng)為5，由等面積法可得斜邊上高為，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，利用分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積可得：S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO，從而可得內(nèi)切圓半徑r＝1；（2）①易知△ABC的面積為＝，由等面積法可得：易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，所以h1+h2+h3＝，②運(yùn)用類比①的方法可得：（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五邊形ABCDE，設(shè)點(diǎn)O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA，OB，易知S五邊形ABCDE＝5S△OAB，過O作OQ⊥AB于點(diǎn)Q，由多邊形內(nèi)角和公式可得∠EAB＝108°，故∠OAQ＝54°，故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，解得h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．（3）①根據(jù)等面積法，有S△OCB＝S△ACB，則圖中陰影部分的面積即為扇形OCB的面積．可證明扇形OCB圓心角度數(shù)為60°，則S扇形OCB＝＝＝陰影面積，②連接DF，過點(diǎn)E作EG∥DF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則點(diǎn)G即為所求，連接DG．運(yùn)用等面積法即可證明．【解答】解：（1）如圖所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，設(shè)斜邊上高為h，由等面積法可知：AC?BC＝h?AB，＝．設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，利用分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積可得：S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．即3×4÷2＝AC?r+BC?r+AB?r，即＝6，∴r＝＝＝1．故答案為：，1；（2）①：由已知中圖可知，△ABC的面積為＝，由等面積法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，解得：h1+h2+h3＝．故答案為：．②：類比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五邊形ABCDE，設(shè)點(diǎn)O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA，OB，如圖2．易知S五邊形ABCDE＝5S△OAB，過O作OQ⊥AB于點(diǎn)Q，∠EAB＝＝108°，故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ?tan54°＝，故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，從而得到：h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．（3）①：若以BC作為△OCB和△ACB的底，則△OCB和△ACB等高，∴S△OCB＝S△ACB．∴圖中陰影部分的面積即為扇形OCB的面積．∵AB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠OBA＝90°，又OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，∴△OCB為等邊三角形．∴∠COB＝60°，∴S扇形OCB＝＝．故陰影部分面積為．故答案為：．②如圖3，連接DF，過點(diǎn)E作EG∥DF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則點(diǎn)G即為所求．連接DG，∵S六邊形ABCDEF＝S五邊形ABCDEF+S△DEF，∵EG∥DF，∴S△DEF＝S△DGF，∴S六邊形ABCDEF＝S五邊形ABCDF+S△DGF＝S五邊形ABCDG．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在拋物線上且滿足∠PCB＝∠CBD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N，Q是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QMN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將點(diǎn)A（﹣1，0）代入，求出a即可得出答案；（2）利用待定系數(shù)法求出直線BD解析式為y＝2x﹣6，過點(diǎn)C作CP1∥BD，交拋物線于點(diǎn)P1，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CP1的解析式為y＝2x﹣3，聯(lián)立方程組即可求