數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成

中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素和教學(xué)建構(gòu)1數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能素養(yǎng)構(gòu)成及教學(xué)建構(gòu)2數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)構(gòu)成及教學(xué)建構(gòu)中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素和教學(xué)建構(gòu)利用數(shù)學(xué)思想建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

利用轉(zhuǎn)化思想加強(qiáng)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中各網(wǎng)點(diǎn)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能素養(yǎng)構(gòu)成及教學(xué)建構(gòu)1中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素和教學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)思想對于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法具有巨大的凝聚力，它是聯(lián)系知識(shí)的紐帶，具有舉一綱而萬目張的作用。常見的數(shù)學(xué)思想方法有：方程和函數(shù)思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想等。函數(shù)是高中代數(shù)的主線，因此，函數(shù)思想可以看作中學(xué)代數(shù)知識(shí)的生長點(diǎn)，利用函數(shù)思想建構(gòu)代數(shù)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

利用數(shù)學(xué)思想建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，由數(shù)學(xué)知識(shí)的連續(xù)性,決定了相鄰兩個(gè)知識(shí)塊之間具有相關(guān)性和相容性；由數(shù)學(xué)知識(shí)的對稱性、合同性,決定了某些不同知識(shí)之間具有相似性。充分利用這些聯(lián)系，對問題的情境進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使之達(dá)到思想明朗化，方法簡單化的目的。利用轉(zhuǎn)化思想加強(qiáng)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中各網(wǎng)點(diǎn)之間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)記憶能力數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)觀察能力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力數(shù)學(xué)化能力數(shù)學(xué)思維能力空間想象能力數(shù)學(xué)運(yùn)算能力2數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)構(gòu)成及教學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)觀察力是一種有目的、有選擇并伴有注意的對數(shù)學(xué)材料的知覺能力或初步加工能力。培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀察能力必須做到以下幾點(diǎn)：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，培養(yǎng)抓本質(zhì)特征的能力；在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，培養(yǎng)建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力；在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理時(shí)，培養(yǎng)掌握數(shù)學(xué)法則或規(guī)律的能力；在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，培養(yǎng)正確選擇解題途徑和數(shù)學(xué)模型的能力；提高對數(shù)學(xué)的興趣，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力的重要條件。一、數(shù)學(xué)觀察能力的建構(gòu)1、在概念教學(xué)中，增強(qiáng)觀察的目的性一、數(shù)學(xué)觀察能力的建構(gòu)2、在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣中，培養(yǎng)觀察的持久性3、在分析問題中，培養(yǎng)觀察的精確性1、在概念教學(xué)中，增強(qiáng)觀察的目的性一、數(shù)學(xué)觀察能力的建構(gòu)將圓沿著一條直徑對折，同學(xué)們觀察到了什么情況？這時(shí)學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師總結(jié)得出圓的軸對稱性概念。接著電腦繼續(xù)演示，并講解：由圖（１）中ＣＤ為圓Ｏ的直徑；變到圖（２）中在圓Ｏ上任意取一點(diǎn)Ａ；再變到圖（３）從點(diǎn)作直徑ＣＤ的垂線交圓Ｏ于另一點(diǎn)Ｂ，這時(shí)要求學(xué)生觀察圖（３）中的點(diǎn)Ｂ與點(diǎn)Ａ是否是對稱點(diǎn)？關(guān)于什么對稱？進(jìn)一步提出當(dāng)直徑ＣＤ垂直于弦ＡＢ，觀察將能得到什么結(jié)論？

一、數(shù)學(xué)觀察能力的建構(gòu)2、在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣中，培養(yǎng)觀察的持久性在學(xué)習(xí)直徑定理的推論時(shí)，先請兩名中等生回答定理內(nèi)容，并說出這個(gè)定理的題設(shè)和結(jié)論。這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察：若（１）過圓心；（２）垂直于弦；則（３）平分弦；（４）平分這條弦所對的優(yōu)??；（５）平分這條弦所對的劣弧。將（２）和（３）對調(diào)，得到一個(gè)命題，將（１）和（３）對調(diào)，得到一個(gè)命題；然后將（２）和（４）或（５）對調(diào)，又得到一個(gè)命題。一、數(shù)學(xué)觀察能力的建構(gòu)3、在分析問題中，培養(yǎng)觀察的精確性例1：分解因式：x4+2x3+x2+1+2（x+x2）例2：若a·b≠1，且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0。求

的值。數(shù)學(xué)記憶能力是一種對數(shù)學(xué)材料、對典型的推理和運(yùn)算模式的概括的記憶力。在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)記憶能力時(shí)，必須做到以下幾點(diǎn)：明確記憶目的，提高有意識(shí)記能力；掌握科學(xué)的記憶方法，是增強(qiáng)記憶有效措施；激發(fā)思維，加深理解，提高對數(shù)學(xué)問題類型標(biāo)志、解題模式、數(shù)學(xué)思想方法的記憶力；運(yùn)用聯(lián)想規(guī)律，增強(qiáng)數(shù)學(xué)記憶能力；提高對數(shù)學(xué)的興趣，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)記憶能力的重要條件。二、數(shù)學(xué)記憶能力的建構(gòu)1、只有深刻的理解，才能記得扎實(shí)2、只有引起學(xué)生的興趣，才能記得深刻3、只有形式簡練，才能記得迅速二、數(shù)學(xué)記憶能力的建構(gòu)4、只有聯(lián)系實(shí)際，才能記得主動(dòng)1、只有深刻的理解，才能記得扎實(shí)二、數(shù)學(xué)記憶能力的建構(gòu)例1：三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對應(yīng)線段成比例。二、數(shù)學(xué)記憶能力的建構(gòu)例1：平面幾何中有不少定理,除了教科書中所闡述的一些定理外,還有許多著名的定理,以這些定理為基礎(chǔ),可以推出不少幾何事實(shí),得到完美的結(jié)論,以至巧妙而簡捷地解決不少問題。梅內(nèi)勞斯定理：一直線截△ABC的邊BC,CA,AB交其延長線于點(diǎn)D、E、F,求證：

·

·=1。2、只有引起學(xué)生的興趣，才能記得深刻數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是一種在運(yùn)算定理和運(yùn)算定律指導(dǎo)下，對數(shù)與式的組合分解變形的能力。學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)必須做到以下幾點(diǎn)：使學(xué)生正確理解和熟練掌握進(jìn)行各種運(yùn)算的有關(guān)概念、性質(zhì)、公式、法則等；進(jìn)行推理訓(xùn)練是提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的必要途徑；加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的更有效途徑。數(shù)學(xué)運(yùn)算訓(xùn)練力求達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算準(zhǔn)確性、熟練性、合理性和簡捷性。三、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的建構(gòu)1、提高學(xué)生計(jì)算的興趣

2、抓好審題訓(xùn)練

3、培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣

4、抓好心理和思維靈活性訓(xùn)練三、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的建構(gòu)5、消除心理障礙，樹立自信心

6、作好優(yōu)化運(yùn)算過程和運(yùn)算方法的訓(xùn)練

7、抓好“雙基”教學(xué)

2、抓好審題訓(xùn)練

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的建構(gòu)例1：已知實(shí)數(shù)m、n滿足m3+n3=2,試確定m+n的取值范圍。3、培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的建構(gòu)例1：(3+1)(32+1)(33+1)(34+1)(35+1)(36+1)例2：分解因式：a3+b3+c3-3abc4、抓好心理和思維靈活性訓(xùn)練三、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的建構(gòu)例1：已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，試確定f(1)、f(2)、f(4)的大小順序。。三、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的建構(gòu)例1：設(shè)x，y，z，w為四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，并且x+=y+=z+=w+求x2y2z2w2的值。6、作好優(yōu)化運(yùn)算過程和運(yùn)算方法的訓(xùn)練

例2：已知ctg(45。-x/2)=a(a≠0),求cosx。

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的建構(gòu)例1：已知正數(shù)x，y滿足條件x+y=4，求：

·的最小值。7、抓好“雙基”教學(xué)

例2：方程x2+(2m-1)x+(m-b)=0,有一根不大于-1，另一根不小于1。（1）求m的取值范圍；（2）求方程的根平方和的最大值和最小值。數(shù)學(xué)思維能力分邏輯思維能力和非邏輯思維能力兩大類。邏輯思維能力是指根據(jù)形式邏輯的思維方式，正確合理地進(jìn)行判斷、推理的思考能力。邏輯思維能力含五種基本成分：數(shù)學(xué)概括、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)化歸和數(shù)學(xué)思維簡縮；非邏輯思維能力是指不按形式邏輯的思維方式，不受特定的邏輯規(guī)則約束，對思考對象的屬性與關(guān)系直接作出正確判斷的思維能力。非邏輯思維能力含兩種基本成分：形象思維和直覺思維。數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的要點(diǎn)：在數(shù)學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力時(shí)，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)；在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師要針對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的最近發(fā)展區(qū)，創(chuàng)設(shè)問題情景培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力；在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)講授思考問題的方法，暴露思維過程，訓(xùn)練解決問題的思路。四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)1、要善于調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維能力2、要教會(huì)學(xué)生思維的方法

3、要培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

4、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

5、創(chuàng)設(shè)探究式問題，提高學(xué)生思維的創(chuàng)造性

6、設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性

7、數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生形象思維能力

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)8、加強(qiáng)學(xué)生的語言和操作的訓(xùn)練

1、要善于調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的思維能力四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例1:8人分別乘兩輛小汽車趕往火車站，每輛小汽車連司機(jī)在內(nèi)限乘5人，該路段限速60千米/小時(shí)，人步行的速度是5千米/小時(shí)，其中一輛小汽車在距離火車站15千米的地方出了故障，此時(shí)離火車停止檢票時(shí)間還有42分鐘，試問這8人能趕上火車嗎？四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例1:如圖，⊙O內(nèi)兩弦AB、CD的延長線相交于圓外一點(diǎn)E，EF//AD于CB相交于點(diǎn)F，作切線FG，G為切點(diǎn)，求證：EF=FG。2、要教會(huì)學(xué)生思維的方法

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例1:如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長交射線CD于點(diǎn)F，過M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G(1)設(shè)AE=X時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）P是MG的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長。3、要培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

例2：Ｋ是什么數(shù)時(shí)，方程ＫＸ２－（２Ｋ＋１）Ｘ＋Ｋ＝０有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例1:如圖，點(diǎn)C是線段BE上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，E重合），在BE同一側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE,連接AE,BD交于點(diǎn)F，則∠AFB=______

6、設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性

變式1：將已知條件變換為AB=AC，CE=DE，∠BAC=∠CED，則∠AFB=____

變式2：將已知條件變換為AB=AC，CE=DE，∠BAC=α則∠AFB=____

變式3：將上圖中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到如下圖，則∠AFB=______

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例1:如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這條邊相對的頂點(diǎn)在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖①所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)，（1）請畫出圖②和圖③的所有“友好矩形”；（2）依照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”。6、設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例2：如圖1，AD是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)D，AB、AC于⊙O相交于點(diǎn)E、F。（1）求證：AE·AB=AF·AC（2）將圖1中的直線BC向上平移與⊙O相交得到圓2，或向下平移得到圓3，此時(shí)，AE·AB=AF·AC是否仍然成立？若成立，請證明。如不成立，說明理由。6、設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例3：如圖1，分別以Rt△ABC的三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用s1，s2，s3表示，不難證明：s1=s2+s3（1）如圖2，分別Rt△ABC的三邊向外作三個(gè)正方形，其面積為s1，s2，s3。那么s1，s2，s3之間有何關(guān)系？（不必證明）（2）如圖3，分別Rt△ABC的三邊向外作三個(gè)等邊三角形，其面積為s1，s2，s3。那么s1，s2，s3之間有何關(guān)系并加以證明。（3）若分別以Rt△ABC的三邊向外作一般三角形，其面積為s1，s2，s3。為使s1，s2，s3之間仍有（2）的關(guān)系，所作的三角形應(yīng)該滿足什么條件？證明你的結(jié)論。（4）請你與（1）、（2）、（3）類比總結(jié)出一個(gè)更具有一般性的結(jié)論。6、設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例4：已知△OAD∽△OCB，∠AOD=∠COB=90。

（1）當(dāng)A、O、C在一條直線上，求證：AD2+BC2=AB2+CD2;（2）將圖1中的△OAD繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使∠AOB=α（0<α<90),得到圖2，問（1）結(jié)論是否成立，并證明你的猜想。6、設(shè)計(jì)開放性問題，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的靈活性

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)例1:方程x2+（k-5）x+9=0在1<x<2內(nèi)有一實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是____________7、數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生形象思維能力

四、數(shù)學(xué)思維能力的建構(gòu)8、加強(qiáng)學(xué)生的語言和操作的訓(xùn)練

例1:已知正比例函數(shù)y=(1-2a)x,若點(diǎn)A（x1,y1）與點(diǎn)B（x2,y2）在此直線上，且x1＜x2,y1＞y2，求a的值?？臻g想象能力是指數(shù)學(xué)地處理間形式，探明其關(guān)系、結(jié)構(gòu)特征而需要的一種想象能力，是形成對幾何結(jié)構(gòu)的表象及其對表象的加工能力。在培養(yǎng)空間想象力的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)注意下面點(diǎn)：學(xué)生學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)空間想像能力的根本；通過對事物的觀察、剖析、測量、設(shè)計(jì)作圖或借助模型等數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，借助豐富的表象來提高學(xué)生數(shù)學(xué)空間想像能力；教師在教學(xué)中善于借助類比方法啟迪學(xué)生的思維，同時(shí)，積極誘導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生類比想象來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)空間想象能力；把立體幾何的教學(xué)作為培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重點(diǎn)。五、空間想象能力的建構(gòu)1、通過探究活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念

2、識(shí)圖、作圖和想圖是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的基礎(chǔ)

3、利用數(shù)形結(jié)合拓寬空間想象力

4、利用多媒體擴(kuò)展空間想象力

5、通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展空間想象能力

五、空間想象能力的建構(gòu)1、通過探究活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念

五、空間想象能力的建構(gòu)例1:“立體圖形的展開圖”長方體盡管是立體圖形中最基本的幾何形體，但在學(xué)生頭腦里卻是由平面思維跨入立體思維領(lǐng)域的第一步。本課設(shè)計(jì)如下問題：

1、選擇部分有代表性的展開圖，包括可以和不可以折成正方體的，讓學(xué)生動(dòng)手剪下后“折一折”，感知某些展開圖“能夠”或“不能”折成正方體，并思考為什么。是否所選的平面圖形都能折疊成多面體。2、觀察你手中的正方體,想想看,它的平面展開圖一樣嗎?動(dòng)手做一做,把一個(gè)正方體的面展開，需要剪幾刀（沿著一條棱剪開算一刀）？3、請同學(xué)試試看。把得到的平面圖形畫出來,你能畫出多少種?4、如圖：是一個(gè)正方體紙盒的展開圖，請?jiān)谄渲械娜齻€(gè)正方形A、B、C，填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得它們折成正方體后的相對面上的兩個(gè)數(shù)為互為相反數(shù)。5、圖2是圖1的平面展開圖，請?jiān)趫D2的括號(hào)內(nèi)填上合適的字母。2、識(shí)圖、作圖和想圖是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的基礎(chǔ)

五、空間想象能力的建構(gòu)例如：“圓錐的側(cè)面積和全面積”設(shè)計(jì)這樣的問題：（1）出示圓錐的模型，請同學(xué)能說出圓錐有哪些特征？（2）連結(jié)圓錐頂點(diǎn)與底面圓任意一點(diǎn)的線段都是母線．圓錐的母線應(yīng)具有什么性質(zhì)？（3）把圓錐的側(cè)面沿它的一條母線剪開，展在一個(gè)平面上，哪位同學(xué)發(fā)現(xiàn)這個(gè)展開圖是什么圖形？請同學(xué)畫出圓錐的圖形及展開圖。并回答：圓錐展示圖——扇形的弧長l等于圓錐底面的什么元素？扇形的半徑其實(shí)是圓錐的什么線段？圓錐的側(cè)面積怎么求？展開圖扇形的圓心角怎么求？數(shù)學(xué)化能力是指人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理組織，以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，將一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題或已知的數(shù)學(xué)模型的能力。為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化能力，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題中日常語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；培養(yǎng)學(xué)生由數(shù)學(xué)語言及數(shù)學(xué)術(shù)語建立數(shù)學(xué)模型。六、數(shù)學(xué)化能力