新教材2023高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分層演練新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.下列結(jié)論不正確的是()A.若y=5,則y'=0B.若y=1x,則y'=-C.若y=-x,則y'=-xD.若y=3x,則y'=3解析:y'=1x'=(x-12答案:B2.若函數(shù)f(x)=cosx,則f'π4+fπ4的值是(A.0B.-1C.1D.2答案:A3.已知曲線y=x3在點(diǎn)P處的切線的斜率為k,則當(dāng)k=3時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)C.(2,8)D.-解析:因?yàn)閥'=3x2,k=3,所以3x2=3,所以x=±1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-1)或(1,1).答案:B4.若函數(shù)f(x)=1x,則f'(2)和f'(3)的大小關(guān)系是f'(2)<f'(3)5.已知直線l過(guò)點(diǎn)Pπ6,12,且與曲線y=sinx在點(diǎn)P處的切線垂直,解:因?yàn)閥=sinx,所以y'=cosx.曲線y=sinx在點(diǎn)Pπ6,12處的切線的斜率是y'|x=所以直線l的斜率為-23因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)Pπ6所以直線l的方程為y-12=-2即2x+3y-32-π3=B級(jí)拓展提高6.若直線y=12x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值為()A.2 B.ln2+1C.ln2-1 D.ln2解析:因?yàn)閥=lnx的導(dǎo)數(shù)y'=1x所以令y'=1x=12,得所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,ln2).代入直線y=12x+b,得b=ln2-1答案:C7.曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是()A.e B.1 C.-1 D.-e解析:因?yàn)閥'=ex,所以y'|x=0=e0=1,所以切線的方程為y-1=x,即y=x+1.令y=0,得x=-1.答案:C8.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,求a1+a2+…+a99的值.解:由題意,可知y'=(n+1)xn,曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率k=y'|x=1=n+1,所以切線方程為y=(n+1)x-n,所以切線與x軸的交點(diǎn)為nn+1,0,則an=lgnn+所以a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多選題若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中不具有T性質(zhì)的有()A.y=ex B.y=lnxC.y=sinx D.y=x3解析:對(duì)于函數(shù)y=ex,因?yàn)閥'=ex,k1=ex1,k2=ex2均大于0,所以k1·k2≠-1,所以函數(shù)y=ex對(duì)于函數(shù)y=lnx,則y'=1x,k1·k2=1x1·1x2.因?yàn)閤1>0,x2>0,所以k1·k2≠-1,所以函數(shù)y=ln對(duì)于函數(shù)y=sinx,則y'=cosx.設(shè)圖象上存在這樣兩點(diǎn)(x1,sinx1),(x2,sinx2),那么兩切線的斜率k1=cosx1,k2=cosx2.當(dāng)x1=2kπ,x2=2kπ+π(或x1=2kπ+π,x2=2kπ),k∈Z時(shí),k1·k2=cosx1·cosx2=-1,即存在這樣的兩點(diǎn),所以函數(shù)y=sinx具有T性質(zhì).對(duì)于函數(shù)y=x3,則y'=3x2,k1=3x12,k2=3顯然k1·k2≠-1,所以函數(shù)y=x3不具有T性質(zhì).答案:ABD10.多空題若函數(shù)y=f(x)滿足f(x-1)=1-2x+x2,則y'=f'(x)=2x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為2x-y-1=0.解析:因?yàn)閒(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,所以f(x)=x2,f