多維隨機變量及其分布

第三章多維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布隨機變量的獨立性3.1二維隨機變量及其分布1、二維隨機變量(p53)設(shè)S是隨機試驗E的樣本空間，X=X(e)，Y=Y(e)是定義在S上的隨機變量，則由它們構(gòu)成的一個二維向量(X,Y)稱為二維隨機變量或二維隨機向量。二維隨機變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān)，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系。因此，單獨討論X和Y的性質(zhì)是不夠的，需要把(X,Y)作為一個整體來討論。隨機變量X常稱為一維隨機變量。

一、二維隨機變量及其分布函數(shù)

一維隨機變量X——R1上的隨機點坐標(biāo)；二維隨機變量(X,Y)——R2上的隨機點坐標(biāo)；

……n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機點坐標(biāo)。多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數(shù)、概率密度函數(shù)或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律。

定義3.1

設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，二元實值函數(shù)F(x,y)=P({X

x}∩{Y

y})=P(X

x,Y

y)

x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。即F(x,y)為事件{X

x}與{Y

y}同時發(fā)生的概率。2、二維隨機變量的(聯(lián)合)分布函數(shù)幾何意義：若把二維隨機變量(X,Y)看成平面上隨機點的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值F(x,y)就表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域-∞＜X≤x，-∞＜Y≤y中的概率。如圖陰影部分：(x,y)xyO

對于(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2)，則隨機點(X,Y)落在矩形區(qū)域[x1<X

x2，y1<Y

y2]內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為P(x1<X

x2，y1<Y

y2)＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)(x1,y1)(x2,y2)O

x1

x2xy1y2y分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：(p54)(1)對任意(x,y)

R2,0

F(x,y)

1。(2)F(x,y)是變量x或y的非降函數(shù)，即

對任意y

R,當(dāng)x1<x2時，F(xiàn)(x1,y)

F(x2,y)；

對任意x

R,當(dāng)y1<y2時，F(xiàn)(x,y1)

F(x,y2)。(3)(4)函數(shù)F(x,y)關(guān)于x是右連續(xù)的，關(guān)于y也是右連續(xù)的，即對任意x

R，y

R，有(5)對于任意(x1,y1)，(x2,y2)

R2，(x1<x2，y1<y2)，F(xiàn)(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0。

反之，任一滿足上述五個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)。二、二維離散型隨機變量及其分布1、二維離散型隨機變量（定義3.2）(p54)

若二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值是有限多對或可列無限多對，則稱(X,Y)是二維離散型隨機變量。2、聯(lián)合分布律(p55)

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其所有可能取值為(xi,yj)，i=1,2,…，j=1,2,…。若(X,Y)取數(shù)對(xi,yj)的概率P(X=xi,Y=yj)=pij，滿足(1)pij≥0；(2)則稱P(X=xi,Y=yj)=pij，i=1,2,…，j=1,2,…為二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律或分布律。二維離散型隨機變量的分布律也可用表格形式表示為：

YXy1y2...yj...x1p11p12...p1j...x2p21p22...p2j.....................xipi1pi2...pij.....................例3.2袋里有5個編號的球，其中1個球編號為1，有2個球編號均為2，有2個球編號均為3。每次從中任取兩個球，以X和Y分別表示這兩個球中編號最小的號碼和最大的號碼。求X和Y的聯(lián)合分布律。解

(X,Y)的全部可能取值為(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5個球從中任取2個，共有C52=10種取法。試驗樣本點總數(shù)為10，用表格表示為

YX2310.20.220.10.4300.1三、二維連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)1、定義(p50)

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負可積函數(shù)f(x,y)，使對任意實數(shù)x，y，有

則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，且稱函數(shù)f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)(概率密度)，或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為(X,Y)~f(x,y)，(x,y)

R22、聯(lián)合密度f(x,y)的性質(zhì)(p56)(1)非負性：f(x,y)

0，(x,y)

R2;(2)歸一性：(3)若f(x,y)在(x,y)

處連續(xù)，則有事實上(4)設(shè)D是平面上一個區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)落在D內(nèi)的概率是概率密度函數(shù)f(x,y)在D上的積分，即例3.3

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求常數(shù)k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解(1)解得k=15O1x1yy=xx+y=1(2)(1)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y

1)。

例3.5

已知解(1)K=6Oxyx+2y=1(2)(3)四邊緣分布1、二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機變量(X,Y)作為一個整體，具有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，而X和Y都是隨機變量，各自也有它們的分布函數(shù)，記X的分布函數(shù)為FX(x)，稱為隨機變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；Y的分布函數(shù)為FY(y)，稱為隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。

由分布函數(shù)的定義可得到聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的關(guān)系(P54)

邊緣分布的幾何意義FX(x)的函數(shù)值表示隨機點(X,Y)落入如下左圖所示區(qū)域內(nèi)的概率；

FY(y)的函數(shù)值表示隨機點(X,Y)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。OxxOxyyy例3.6

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A，B，C為常數(shù)，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)

(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y的邊緣分布函數(shù)；(3)求P(X>2)解

(1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知解得(2)(3)由X的分布函數(shù)可得故2、二維離散型隨機變量的邊緣分布律由(X,Y)的聯(lián)合分布律P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j}＝pij，i,j＝1,2,…i＝1,2,…j＝1,2,…其中pi.和p.j分別為表示的記號。它們分別是事件(X=xi)和(Y=yj)

的概率，且有pi.≥0，p.j≥0，稱P(X＝xi)＝pi.，(i＝1,2,…)為二維離散型隨機變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律；稱P(Y＝y(tǒng)j)＝p.j，(j＝1,2,…)為二維離散型隨機變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。以表格形式表示為YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…x2p21p22…p1j……………………xipi1pi1…pij……………………P(Y=yj)……1例3.7已知(X,Y)的分布律為故關(guān)于X和Y的邊緣分布律分別為：求X、Y的邊緣分布律。

YX1011/103/1003/103/10

YX10pi·11/103/102/503/103/103/5p·j2/53/5X10P2/53/5Y10P2/53/5解例3.8(p55/例1)

設(shè)隨機變量(r.v.)X在1，2，3，4四個整數(shù)中等可能地取值，另一個r.v.在1至X中等可能地取一整數(shù)值，試求(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。解事件(X=i,Y=j)中i的取值為1、2、3、4，而j取不大于i的整數(shù)，因此i=1,2,3,4，j≤ii=1,2,3,4j=1,2,3,4YX1234pi?11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p?j25/4813/487/483/48X和Y的邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/4813/487/483/48可舉例說明：聯(lián)合分布律不同，而邊緣分布律有可能相同，說明僅有邊緣分布律一般不能得到聯(lián)合分布律。即聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布律不一定能確定聯(lián)合分布律。3、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣密度函數(shù)

設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合密度為f(x,y)，此時X、Y也是連續(xù)型隨機變量，稱X的密度函數(shù)fX(x)為(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)，且有稱Y的密度函數(shù)fY(y)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，且有*例3.9

設(shè)二維隨機變量求邊緣密度函數(shù)fX(x)和fY(y)解當(dāng)0<x<1時,O1xy1y=x2y=x3當(dāng)x≤0或x≥1時，fX(x)=0，所以當(dāng)0<y<1時,當(dāng)y≤0或y≥1時，fY(y)=0，所以五、二維連續(xù)型隨機變量的常用分布1、二維均勻分布(P58)設(shè)G為xoy平面上的有界區(qū)域，G的面積為A，若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

則稱二維隨機變量(X,Y)在G上服從均勻分布。若G1是G

內(nèi)面積為A1的子區(qū)域，則即：此概率僅與G1的面積有關(guān)(成正比)，而與G1在G內(nèi)的位置無關(guān)。例3.10

設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域G上的均勻分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P(Y<2X)；(3)求F(0.5,0.5)。O0.5

1xG解(1)區(qū)域G的面積為1(2)G1y=2xy區(qū)域G1的面積為1P(Y<2X)(3)F(0.5,0.5)=P(X≤0.5,Y≤0.5)G2其中，

1、

2為實數(shù)，

1>0、

2>0、|

|<1，則稱(X,Y)服從參數(shù)為

1，

2，

1，

2，

的二維正態(tài)分布，記為2、二維正態(tài)分布(P59)

若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為二維正態(tài)分布的重要性質(zhì)(p59)：若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)的指數(shù)部分則即同理可得x∈(-∞,+∞)由此性質(zhì)看到，(X,Y)的邊緣分布都與

無關(guān)，說明

不同，得到的二維正態(tài)分布也不同，但其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一確定聯(lián)合分布的，即使X,Y都是服從正態(tài)分布的隨機變量，(X,Y)不一定是服從二維正態(tài)分布。二維正態(tài)分布的邊緣分布必為一維正態(tài)分布，反之不真。例3.12

設(shè)二維隨機變量x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)，求fX(x)，fY(y)。解因此同理可得但

(X,Y)不服從二維正態(tài)分布。（P60/例6）分布函數(shù)的概念可推廣到n維隨機變量的情形。事實上，對n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)，

F(x1,x2,…,xn)＝P(X1

x1,X2

x2,…,Xn

xn)稱為n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)，或隨機變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。3.2隨機變量的獨立性(P62)一、兩個隨機變量的獨立性定義1

設(shè)F(x,y)是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)，F(xiàn)Y(y)分別是一維隨機變量X與Y的邊緣分布函數(shù)，若對一切x,y∈R，均有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)?

P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)?FY(y)則稱隨機變量X與Y相互獨立。結(jié)論：隨機變量X與Y是相互獨立的充要條件是事件(X≤x)與事件(Y≤y)相互獨立。定義2(

P63)若(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij

，i,j=1,2,…,則X與Y相互獨立的定義為是對任意i，j，P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)?P(Y=yj)，即pij

=pi??p?j。定義3(P65)若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，則X與Y相互獨立的定義為f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上幾乎處處成立。由上述結(jié)論可知，要判斷兩個離散型隨機變量X與Y的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看對(X,Y)的每一對可能取值點,邊緣分布的乘積是否都等于聯(lián)合分布即可。例3.13

已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3試確定常數(shù)a,b，使X與Y相互獨立。解先求出(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律要使X與Y相互獨立，可用pij

=pi??p?j來確定a,b

。P(X=2,Y=2)=P(X=2)?P(Y=2)，P(X=3,Y=2)=P(