2023-2024學(xué)年四川省仁壽南區(qū)高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省仁壽南區(qū)高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題1．若向量，向量，則（

）A． B．C． D．2．從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一本政治與都是數(shù)學(xué) B．至少有一本政治與都是政治C．至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué) D．恰有1本政治與恰有2本政治3．已知M、N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且MP=2PN，設(shè)向量，，，則=（

）A． B．C． D．4．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則6．某省在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績是按照3（語文、數(shù)學(xué)、英語）（物理、歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2的模式設(shè)置的，則某考生選擇物化生組合的概率是（

）A． B． C． D．7．在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．8．如圖，在邊長為的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上移動(dòng)，且滿足，則線段的長度的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．向量，若，則．B．若空間四個(gè)點(diǎn)，，則三點(diǎn)共線．C．已知向量，，若，則為鈍角．D．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底；10．是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo),我國標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值,即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級(jí),在之間空氣質(zhì)量為二級(jí),在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日日均值（單位:）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),則下列敘述不正確的是（

）A．從5日到9日,日均值逐漸降低B．這10天中日均值的平均數(shù)是49.3C．這10天的日均值的中位數(shù)是45D．從這10天的日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是11．下列敘述正確的是（

）A．互斥事件不一定是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件B．甲?乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿镃．從裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件D．在件產(chǎn)品中，有件一等品和件二等品，從中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率為12．已知三棱柱為正三棱柱，且，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正三棱柱外接球的表面積為B．若直線與底面所成角為，則的取值范圍為C．若，則異面直線與所成的角為D．若過且與垂直的截面與交于點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為三、填空題13．用分層抽樣的方法從某校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高二年級(jí)有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校高中學(xué)生總數(shù)是人.14．已知事件A，B，C兩兩互斥，且，，，則．15．在△中，是邊上一點(diǎn)，且，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為．16．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM＝BN＝a（0＜a＜）．則下列結(jié)論：①當(dāng)a＝時(shí)，ME與CN相交；②MN始終與平面BCE平行；③異面直線AC與BF所成的角為45°；④MN的最小值為．正確的序號(hào)是．四、解答題17．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且.(1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，若向量與平行，求實(shí)數(shù)k的值.18．三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．19．某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，后得到如圖的頻率分布直方圖.(1)求抽取的40名學(xué)生同學(xué)的成績的中位數(shù)；(2)若該校高二年級(jí)共有學(xué)生560人，試估計(jì)該校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)；(3)若從數(shù)學(xué)成績?cè)谂c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值不小于10的概率.20．某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲?乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨(dú)立的，那么(1)甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？(2)甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.21．如圖所示，在四棱錐中，平面，，，且，，，為上一點(diǎn).

(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.22．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.1．C【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算.【詳解】向量，向量，則.故選：C2．D【分析】總的可能的結(jié)果為“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，然后寫出各個(gè)事件包含的事件，結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念，即可得出答案.【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，可能的結(jié)果有：“兩本政治”，“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”.對(duì)于A，事件“至少有一本政治”與事件“都是數(shù)學(xué)”是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，兩個(gè)事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件“至少有一本數(shù)學(xué)”包含事件：“兩本數(shù)學(xué)”，“一本數(shù)學(xué)一本政治”，因此兩個(gè)事件都包含事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“恰有1本政治”表示事件“一本數(shù)學(xué)一本政治”，與事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不對(duì)立，故D正確.故選:D.3．C【分析】由空間向量的線性運(yùn)算，，再轉(zhuǎn)化為用表示即得解【詳解】由題意，=+=×(+)+×=故選：C4．D【分析】根據(jù)空間向量的投影向量公式進(jìn)行求解.【詳解】，故在上的投影向量為.故選：D5．C【分析】A選項(xiàng)，分和兩種情況，結(jié)合線面垂直得到面面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到線面垂直，得到面面垂直；C選項(xiàng)，舉出反例；D選項(xiàng)，證明出，結(jié)合，所以，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，如圖1，當(dāng)，時(shí)，因?yàn)?，所以，如圖2，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，設(shè)，過點(diǎn)作，則，且因?yàn)?，所以，所以，A正確；B選項(xiàng)，如圖3，若，，所以，因?yàn)椋蚀嬖?，使得，且，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故，B正確；則C選項(xiàng)，如圖4，滿足，，，但不滿足，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，如圖5，因?yàn)?，，所以，又，所以，故D正確.故選：C6．D【分析】列舉法求得選物理和歷史的所有種數(shù)，再利用古典概型求解【詳解】在2（物理，歷史）選（化學(xué)、生物、地理、政治）選2中，選物理的有6種，分別為：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同時(shí)，選歷史的也有6種，共計(jì)12種，其中選擇物化生的有1種，某考生選擇物化生的概率是.故選：D7．B【分析】連接交于點(diǎn)，連接，得到（補(bǔ)角）是異面直線與所成角求解．【詳解】解：如圖所示：

連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?所以（補(bǔ)角）是異面直線與所成角．因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，則為直角三角形，設(shè)，在中，，所以，故選：B．8．D以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)得出、滿足的關(guān)系式，并求出的取值范圍，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最大值.【詳解】如下圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、，設(shè)點(diǎn)，，，，，得，由，得，得，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：D.本題考查立體幾何中線段長度最值的計(jì)算，涉及利用空間向量法處理向量垂直問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9．ABD【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC，由空間向量的基本定理與共線定理以及向量基底可判斷BD.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?，則，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，則，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C：若為鈍角：則，且與不共線，由得，當(dāng)時(shí)與平行時(shí)，，由與不共線得，于是得當(dāng)且時(shí)，為鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：是空間的一組基底，則向量不共面，由，所以也不共面，故也是空間的一組基底，故D正確，故選：ABD10．C【分析】根據(jù)折線圖可知選項(xiàng)A正確,根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可知選項(xiàng)B正確,將10天的日均值從小到大排列,取中間兩數(shù)的平均數(shù)可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤,數(shù)出日均值在以下的天數(shù),根據(jù)概率計(jì)算公式可知選項(xiàng)D正確.【詳解】解:由圖可知從5日到9日,日均值逐漸降低，故選項(xiàng)A正確;由圖平均數(shù)為，故選項(xiàng)B正確;由圖可知這10天的數(shù)據(jù)從小到大排列為：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位數(shù)為:，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由數(shù)據(jù)可知,10天中日均值以下有4天，故空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是，故選項(xiàng)D正確.故選：C11．ABD【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷AC選項(xiàng)，根據(jù)概率的基本性質(zhì)求BD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，它可以同時(shí)不發(fā)生，對(duì)立事件是必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：甲不輸?shù)氖录窍鲁珊推宓氖录c甲獲勝的事件和，它們互斥，則甲不輸?shù)母怕蕿椋珺正確；對(duì)于C選項(xiàng)：由給定條件知，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球這兩個(gè)事件都含有一紅一黑的兩個(gè)球這一基本事件，即它們不互斥，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：5件產(chǎn)品中任取兩件有10個(gè)基本事件，它們等可能，其中“至多一件一等品”的對(duì)立事件為“恰兩件一等品”，有3個(gè)基本事件，從而所求概率為，D正確.故選：ABD.12．AD【分析】選項(xiàng)：先求外接圓的半徑，根據(jù)勾股定理求外接球的半徑，從而求表面積；選項(xiàng)：確定出點(diǎn)與重合時(shí)，最?。稽c(diǎn)與重合時(shí)，最大，然后在直角三角形中求其正弦值；選項(xiàng)：將正三棱柱補(bǔ)成直四棱柱，然后找異面直線與所成的角；選項(xiàng)：把三棱錐的體積最小，轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積最大，然后根據(jù)到平面距離的最大值求三棱錐的體積的最小值.【詳解】選項(xiàng)：因?yàn)橥饨訄A的半徑，，所以正三棱柱外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故項(xiàng)正確；選項(xiàng)：取的中點(diǎn)，連接，，，，由正三棱柱的性質(zhì)可知平面平面，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，最小，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，最大，所以，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)：將正三棱柱補(bǔ)成如圖所示的直四棱柱，則(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成的角，易得，，所以，故項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)：如圖所示，因?yàn)?，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設(shè)的中點(diǎn)為，作出截面如圖所示，因?yàn)?，所以在以為直徑的圓上，所以點(diǎn)到底面距離的最大值為，所以三棱錐的體積的最小值為，故項(xiàng)正確.故選.平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．13．1800【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).【詳解】，故該校高中學(xué)生總數(shù)是1800人.故180014．0.9##【分析】由互斥事件與對(duì)立事件的相關(guān)公式求解【詳解】由題意得，則．故0.915．【詳解】分析：根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則，通過，把用和表示出來，可得m的值．詳解：如圖：∵，∴，則，又∵B，P，N三點(diǎn)共線，∴，故得m=．故答案為．點(diǎn)睛：點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，求證：直線上任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t，使得關(guān)于基底{OA,OB}的分析式為反之，若則A，P，B三點(diǎn)共線（特別地令t=,稱為向量中點(diǎn)公式）16．②④【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解.【詳解】由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由正方形，的邊長1，所以因?yàn)?，所以，若與相交，則四點(diǎn)共面，又在平面，所以當(dāng)且僅當(dāng)在平面時(shí)，與相交，此時(shí)，故①錯(cuò)誤；平面的法向量為，，，，所以MN始終與平面BCE平行，故②正確；，設(shè)異面直線與所成的角為，，所以異面直線AC與BF所成的角為，故③錯(cuò)誤；，故④正確.故②④17．(1)；(2).【分析】（1）求出向量坐標(biāo)，再利用相等向量列出方程組，求解作答.（2）求出的坐標(biāo)，再利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，及共線向量的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋谑?，整理得，即有，解得，所?（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)橄蛄颗c平行，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接、，即可得到四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）方法一：幾何法，過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由，從而得到平面，再證明平面，從而求出，最后由點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即可得解；方法二：利用等體積法計(jì)算可得.【詳解】（1）連接、，由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，，于是，又由可知，四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，于是平面.（2）方法一：過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，，根據(jù)勾股定理，，因?yàn)槊?，面，所以，所以，所以平面，又平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面，在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.方法二：過作，垂足為，作，垂足為，因?yàn)槊?，面，所以，所以，所以平面，由題干數(shù)據(jù)可得，，，，根據(jù)勾股定理，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，由，解得.19．(1)75分；(2)196；(3).【分析】（1）由各組的頻率和為1，求出，再利用中位數(shù)的定義可求得結(jié)果；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出成績不低于80分的頻率，再乘以560可乘以所求的人數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出數(shù)學(xué)成績?cè)谂c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生的頻率，從而可求出各段上的人數(shù)，然后列出所有的情況，以及兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值不小于10的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得，因?yàn)榍?組的頻率和，前4組的頻率和，所以中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為75分；（2）由頻率分布直方圖可得成績不低于80分的頻率為，因?yàn)樵撔８叨昙?jí)共有學(xué)生560人，所以該校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不低于80分的人數(shù)約為（人）；（3）由頻率分布直方圖可得成績?cè)趦?nèi)的人數(shù)為人，記為，成績?cè)趦?nèi)的人數(shù)為人，記為，若從數(shù)學(xué)成績?cè)谂c兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的所有情況有：，，，，共15種情況，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值不小于10的有：，，共8種，所以所求概率為.20．(1)甲獲得錄取的可能性大；(2).【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求出甲?乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.（2）應(yīng)用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【詳解】（1）記“甲通過筆試”為事件，“甲通