2023-2024學(xué)年四川省高考沖刺數(shù)學(xué)（理）仿真模擬試題（四模）含解析

2023-2024學(xué)年四川省高考沖刺數(shù)學(xué)（理）仿真模擬試題（四模）一、單選題1．設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【正確答案】C【分析】聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到答案.【詳解】聯(lián)立，即，解得：或，即，故的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C2．在平行六面體中，已知，，，，，則的值為（

）A．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.5【正確答案】A【分析】將作為基底，然后用基底表示出，再求其數(shù)量積即可.【詳解】由題意得，，因?yàn)?，，，，，所以，故選：A3．若，則的值為（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由已知可得，進(jìn)而求出.將化為二次齊次式，即可求出結(jié)果.【詳解】由可得，，所以，所以.故選：A.4．給出下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）①若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為6；②回歸方程為時(shí)，變量與具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系；③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則；④甲同學(xué)所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【正確答案】A【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷①；根據(jù)變量x，y的線性回歸方程的系數(shù)，判斷變量x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系可判斷②；利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，計(jì)算求得結(jié)果可判斷③；根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣概率均等，計(jì)算出每人被抽取的概率可判斷④.【詳解】對(duì)于①，若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，回歸方程為，可知，則變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，故②正確；對(duì)于③，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量為200的一個(gè)樣本，則甲被抽到的概率為，故④錯(cuò)誤.故選：A.5．已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】求出的解集，根據(jù)與解集的關(guān)系即可求解.【詳解】由，可得或，因?yàn)槭堑恼孀蛹浴啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件．故選：A6．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域都為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性對(duì)稱性可得函數(shù)的周期性以及，再利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推出的周期以及，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，則，所以函數(shù)以4為周期，，因?yàn)?，所以，即，即，也即，令，則有，所以，由得，所以以4為周期，所以，所以，C正確，對(duì)于其余選項(xiàng)，根據(jù)題意可假設(shè)滿足周期為4，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，故A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤，故選:C.7．如圖，這是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖，其中在判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，可知當(dāng)?shù)谑窝h(huán)后，不滿足判斷框條件，輸出結(jié)果，根據(jù)此時(shí)可得判斷框內(nèi)的條件.【詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序，則第一次循環(huán)時(shí)，，；第二次循環(huán)時(shí)，，；第三次循環(huán)時(shí)，，；以此類(lèi)推，第十次循環(huán)時(shí)，，，此時(shí)需不滿足判斷框條件，輸出，判斷框內(nèi)應(yīng)填入或.故選：D.8．已知拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，且.若拋物線C的焦點(diǎn)為F，則（

）A． B．7 C．6 D．5【正確答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而可得，根據(jù)拋物線定義求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，，代入拋物線可得，所以，，則，則，可得（舍）或，故，由拋物線定義知.故選：B9．已知向量，，則下列命題不正確的是（

）A． B．若，則C．存在唯一的使得 D．的最大值為【正確答案】D【分析】由向量模的計(jì)算公式，可判定A正確；由向量共線的坐標(biāo)表示，可判定B正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得，得到，可判定C正確；根據(jù)向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，求得的最大值，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由向量，，對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，若，可得且，可得，所以B正確；對(duì)于C中，若，可得，整理得，所以，可得，因?yàn)椋傻?，所以C正確；對(duì)于D中，由，因?yàn)椋?，可得，所以的最大值為，即的最大值為，所以D錯(cuò)誤.故選：D.10．若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出、，從而求出切線方程，即可得到方程，解得即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以切線方程為，即，所以，解得；故選：B11．已知函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值，則的取值范圍是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]【正確答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為或在區(qū)間上恒成立，然后利用正弦函數(shù)的圖象求解即可.【詳解】由已知條件得，∵函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，∴或在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，在此范圍內(nèi)不成立；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，即，解得，則的取值范圍是，故選.12．在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值B．若平面，則的最小值為C．若的外心為，則為定值2D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【正確答案】C【分析】由題證得面，所以直線上各點(diǎn)到平面的距離相等，又的面積為定值，可判斷A；取的中點(diǎn)分別為，由面面平行的判定定理可得平面面，因?yàn)槊?，所以平面，?dāng)時(shí)，AQ有最小值可判斷B；由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷C；在上取點(diǎn)，使得，易知點(diǎn)Q的軌跡為圓弧可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以直線上各點(diǎn)到平面的距離相等，又的面積為定值，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又因?yàn)?，，則，又平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，因?yàn)槊妫云矫?，?dāng)時(shí)，AQ有最小值，則易求出，則，即，所以重合，所以AQ的最小值為，故B正確；對(duì)于C，若的外心為M，過(guò)作于點(diǎn)，則，又，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在平面內(nèi)過(guò)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，，在上取點(diǎn)，使得，則，，所以，若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)樗裕瑒t圓弧等于，故D正確.故選：C.二、填空題13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)____________．【正確答案】5【分析】先將乘積展開(kāi)為，再分別利用二項(xiàng)展開(kāi)式計(jì)算和中含的項(xiàng)，即求得的展開(kāi)式含的項(xiàng)，即得結(jié)果.【詳解】，其中的展開(kāi)式通項(xiàng)為，，故時(shí)，得含的項(xiàng)為；的展開(kāi)式通項(xiàng)為，，故時(shí)，得含的項(xiàng)為.因此，式子的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為，即系數(shù)為5.故5.思路點(diǎn)睛：計(jì)算兩個(gè)多項(xiàng)式展開(kāi)的指定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題，通常先固定一個(gè)，利用乘法分配律將另一個(gè)展開(kāi)，分別計(jì)算展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.14．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的表面積為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】根據(jù)三視圖可知這是一個(gè)四面體，根據(jù)長(zhǎng)度即可根據(jù)三角形面積公式求每一個(gè)面的面積，進(jìn)而可得表面積.【詳解】該幾何體的直觀圖是正方體中的四面體，，故.15．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，且兩條漸近線互相垂直，若上一點(diǎn)滿足，則的余弦值為_(kāi)______________________．【正確答案】【分析】由題意可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合雙曲線的定義可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以漸近線方程為，又因?yàn)閮蓷l漸近線互相垂直，所以，所以，即，因此，因此，又由雙曲線的定義可知，則，所以在中由余弦定理可得，故答案為.16．若函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，若函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)?，所以，因此，所以單調(diào)遞增，故，因?yàn)樵谏洗嬖谖ㄒ坏牧泓c(diǎn)，所以有；由，由函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，要想，只需，綜上所述：．故關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵.三、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求證：．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用與的關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）問(wèn)結(jié)論求出，然后利用裂項(xiàng)相消求和法，求出的和即可證明原不等式.【詳解】（1）解：由，得，所以又由，得，滿足，所以，而，所以，所以；（2）證明：因?yàn)?，所?18．如圖，在四棱錐中，平面平面，點(diǎn)在棱上，設(shè).(1)證明.(2)設(shè)二面角的平面角為，且，求的值.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、勾股定理的逆定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?，所?又，所以四邊形是平行四邊形，從而.因?yàn)?，所以，從?因?yàn)?，所以，則.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，從?又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，可得.設(shè)平面的法向量為，由，不妨令，則.因?yàn)槠矫?，所以可取平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，解得或（舍去?19．冬奧會(huì)的成功舉辦極大鼓舞了人們體育強(qiáng)國(guó)的熱情，掀起了青少年鍛煉身體的熱潮.某校為了解全校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”的情況，從高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生參加“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的為“不合格”，否則為合格.若高三年級(jí)“不合格”的人數(shù)不超過(guò)總?cè)藬?shù)的5%，則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“合格”；否則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“不合格”，需要重新對(duì)高三年級(jí)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生.經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后，兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績(jī)?yōu)?0，標(biāo)準(zhǔn)差為6.（數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）(1)求這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差s；(2)假設(shè)高三學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布N（μ，），用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì)，高二學(xué)生體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)是否“合格”；(3)為增強(qiáng)趣味性，在體能達(dá)標(biāo)的跳繩測(cè)試項(xiàng)目中，同學(xué)們可以向體育特長(zhǎng)班的強(qiáng)手發(fā)起挑戰(zhàn).每場(chǎng)挑戰(zhàn)賽都采取七局四勝制.積分規(guī)則如下：以4:0或4:1獲勝隊(duì)員積4分，落敗隊(duì)員積0分；以4:2或4:3獲勝隊(duì)員積3分，落敗隊(duì)員積1分.假設(shè)體育生王強(qiáng)每局比賽獲勝的概率均為，求王強(qiáng)在這輪比賽中所得積分為3分的條件下，他前3局比賽都獲勝的概率.附：①n個(gè)數(shù)的方差；②若隨機(jī)變量Z～N（μ，），則，，.【正確答案】(1)，；(2)合格；(3).【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)獨(dú)立事件和條件概率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），第一組學(xué)生的方差為；解得；第二組學(xué)生的方差為；解得.這40名學(xué)生的方差為，所以；（2）由，，得的估計(jì)值，的估計(jì)值.，∴.從而高三年級(jí)1000名學(xué)生中，不合格的有（人），又，所以高三年級(jí)學(xué)生體能達(dá)標(biāo)為“合格”；（3）設(shè)王強(qiáng)在這輪比賽得3分為事件A，他以的比分獲勝為事件，他以的比分獲勝為事件.則，；所以，設(shè)王強(qiáng)前3局比賽獲勝的事件為B，則，所以.20．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于它的焦距，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于），直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：軸.【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）由題意，，代入點(diǎn)坐標(biāo)求解即可；（2）分直線斜率存在，不存在兩種情況討論，與橢圓聯(lián)立，表示出直線，，，方程，聯(lián)立得到坐標(biāo)，證明即可.【詳解】（1）由題意，即，故橢圓，代入點(diǎn)，可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意右焦點(diǎn)，，，若直線斜率不存在，直線方程為：，代入橢圓方程可得，解得，即，故直線，，，，聯(lián)立，可得；聯(lián)立，可得，，故軸；若直線斜率存在，直線方程為：，與橢圓聯(lián)立，即，恒成立，不妨設(shè)，故，故直線，，，，聯(lián)立，可得；聯(lián)立，可得，，故軸；綜上：軸.21．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，即可得到函數(shù)單調(diào)性；（2）先由，得到，由分離參數(shù)法方法，將原不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法求出其最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，∵，，，令，得，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由對(duì)恒成立，得，設(shè)，則，設(shè)，則時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，所以，，，即因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，，即的取值范圍為.思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對(duì)不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接