2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．如圖在四面體中，，分別在棱，上且滿足，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，用向量，，表示向量應(yīng)為（

）A． B．C． D．3．已知平行四邊形ABCD中，A（4，1，3），，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B．（2，3，1）C． D．4．在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的三等分點(diǎn)靠近C點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面BDF的距離為（

）A． B． C． D．5．若直線l的斜率，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）

A．B．直線與所成角的正弦值為C．向量與的夾角是D．平面8．已知，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量（，不重合），那么下列說法中，正確的有（

）．A．∥∥ B．C． D．10．若(2，－3，1)是平面α的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是（

）A．(，3，) B．(200，，100)C．(，，) D．(，3，0)11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增12．（多選題）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)D，E分別是線段BC，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且．則下列說法正確的是（

）A．平面B．該三棱柱的外接球的表面積為C．異面直線與所成角的正切值為D．二面角的余弦值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．直線的方向向量是，平面的法向量，若直線，則.14．已知，，，，，若，則的值為15．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為．16．設(shè)動(dòng)點(diǎn)在棱長為的正方體的對(duì)角線上，記.當(dāng)為鈍角時(shí)，則的取值范圍是．四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．已知直線.（1）若直線的傾斜角是傾斜角的兩倍，且與的交點(diǎn)在直線上，求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且與的距離為3，求直線的方程．18．在正四棱柱中，，是棱上的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)異面直線與所成角的余弦值．19．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.（1）證明：；（2）若，，設(shè)為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值.20．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn).(1)求直線FC到平面AEC1的距離；(2)求平面AEC1與平面EFCC1所成銳二面角的余弦值.21．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．22．為了保證我國東海油氣田海域海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A，在平臺(tái)O的正東方向12km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．(1)試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離；(2)某日經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在該平臺(tái)O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時(shí)km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請(qǐng)說明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會(huì)行駛多長時(shí)間？1．B【分析】化簡分式不等式和對(duì)數(shù)不等式，結(jié)合交集定義即可求解.【詳解】，，則.故選：B2．A由題意有，，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及共線向量的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵在四面體中，分別在棱、上，且滿足，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴.故選：A.本題考查了向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了利用空間基底表示向量，屬基礎(chǔ)題.3．D【分析】利用，代入坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，設(shè)點(diǎn)，，，所以，解得：，，，即定點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：D4．A【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】在棱長為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A5．C【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系直接求解即可.【詳解】直線的斜率與傾斜角滿足，且，若，則.故選:C.6．A【分析】根據(jù)直線所過的定點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】直線l：恒過定點(diǎn)，由，得到，所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)，），如下圖所示：

當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)l與半圓相切時(shí)，由，得，由圖可知，當(dāng)時(shí)，l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故選：A.7．D【分析】利用基底向量，結(jié)合向量模長公式即可判斷A,利用向量的夾角公式即可判斷BC,由向量垂直即可得線線垂直，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判斷即可判斷D.【詳解】由題意可得,,又，則，故A錯(cuò)誤，由于，則，，又，則，故B錯(cuò)誤，由于,所以向量與的夾角即為與的夾角，由于等邊三角形，故為，進(jìn)而與的夾角為的補(bǔ)角，故與的夾角為，故C錯(cuò)誤，,所以,進(jìn)而可得平面,故平面,故D正確，故選：D8．D【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)計(jì)算可得，，，，2，，進(jìn)而由兩個(gè)向量垂直可得，解可得的值，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，向量

.，，則，

，，，2，，若向量.與.互相垂直，則有，解可得：；故選：D.9．AB【分析】利用法向量與平面的位置關(guān)系以及線面垂直的判定定理判定即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，分別為平面，的法向量，若，則，若則，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，則∥或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB.10．ABC【分析】因?yàn)橥粋€(gè)平面的法向量共線，所以可利用向量共線的判定進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，?,所以與，，均共線，與不共線，所以，，可以作為平面α的法向量故選：ABC.11．BD【分析】根據(jù)圖象，求出函數(shù)的周期，即可得出，判斷A項(xiàng)；根據(jù)“五點(diǎn)法”，結(jié)合函數(shù)過點(diǎn)，即可得出的值；寫出，代入即可檢驗(yàn)C項(xiàng)；求出整體的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知圖象可得，所以，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由已知圖象過點(diǎn)，由“五點(diǎn)法”可得，，所以，.因?yàn)椋?，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由A、B可知，，因?yàn)椋渣c(diǎn)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所?又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.故選：BD．12．AD【分析】對(duì)于A，欲證平面，只需證明，由易證，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，由、、三條直線兩兩垂直，可知直三棱柱是一個(gè)長方體沿對(duì)角面切開得到的直三棱柱，因此原長方體的對(duì)角線是三棱柱外接球的直徑，因此直三棱柱的外接球的表面積易求，然后再判斷.對(duì)于C，由于，異面直線與所成角為，在中，的正切值易求，然后判斷.對(duì)于D，由、、三條直線兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和平面的法向量的夾角，然后再判斷即可.【詳解】解：在直三棱柱中，四邊形是矩形，因?yàn)?，所以，不在平面?nèi)，平面，所以平面，A項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，易知是三棱柱外接球的直徑，所以三棱柱外接球的表面積為，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以異面直線與所成角為．在中，，，所以，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；二面角即二面角，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令可得故二面角的余弦值為，所以D項(xiàng)正確．故選：AD.綜合考查直三棱柱中線線角、線面角的求法，線面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面積的求法，中檔題.13．1【分析】結(jié)合已知條件可得，然后利用垂直向量的數(shù)量積為0即可求解.【詳解】由題意可知，，因?yàn)?，，從而，解?故1.14．##【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及向量垂直求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，解?故答案為.15．##【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則的中點(diǎn)為，,故解得，由知軍營所在區(qū)域中心為，要使從點(diǎn)到軍營總路程最短，即為點(diǎn)到軍營最短的距離為，“將軍飲馬”的最短總路程為，故16．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得，根據(jù)求得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，則，得，所以，，顯然不是平角，所以為鈍角等價(jià)于，即，即，解得，因此的取值范圍是.故

17．（1）（2）或【分析】（1）直線的斜率是，所以的傾斜角是，所以直線的傾斜角就是，再根據(jù)交點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式方程求直線；（2）設(shè)直線的方程為，再根據(jù)平行線的距離求.【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角為.又因?yàn)橹本€的傾斜角是傾斜角的兩倍，故的傾斜角是.因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)為，所以直線的方程是，即.（2）因?yàn)橹本€與直線平行，故可設(shè)直線的方程為.因?yàn)榕c的距離為3，則有，解得或，所以直線的方程或.本題考查直線方程的求法，意在考查直線方程的每種形式需要的條件，但比較重要的還是已知兩點(diǎn)求直線，或者已知直線過一個(gè)定點(diǎn)和直線的斜率．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值．【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，所以?/p>

（2），設(shè)異面直線與所成角的大小為，則，故異面直線AM與BC所成角的余弦值為．19．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由平面平面可得面，從而可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意，面面，，∵面，面面，∴面.又面，∴.（2）解法一：向量法在中，取中點(diǎn)，∵，∴，∴面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵，∴，∴，，，，，∴，，.設(shè)面法向量為，則，解得.設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)椋?所以直線與平面所成角的余弦值為.（2）解法二：幾何法過作交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，過作的平行線，過作的平行線，交點(diǎn)為，連結(jié)，過作交于點(diǎn)，連結(jié)，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，四邊形為矩形，所以面，所以，又，所以面，所以為線與面所成的角.令，則，，，由同一個(gè)三角形面積相等可得，為直角三角形，由勾股定理可得，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20．(1)(2)【分析】（1）以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出，即可證明，得到平面，點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，求出平面的法向量，然后利用空間向量法求解點(diǎn)到平面的距離，即可得到結(jié)果．（2）求出平面的法向量，利用空間向量法求解平面與平面所成銳二面角的余弦值即可．【詳解】（1）解：以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，則，，，，.∴，，，，.∵.∴，∴平面，∴點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，，∴，又，∴點(diǎn)到平面的距離為.（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，∴，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.21．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且．連結(jié)．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且，由知．由知，平面．?）［方法一］：【通性通法】向量法如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得，可取所以．由已知得．所以．解得(舍去)，．所以．又，所以．所以與平面所成角的正弦值為．［方法二］：三垂線＋等積法由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．［方法三］：三垂線＋線面角定義法由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．在中，過N作，在中，過N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因?yàn)椋裕善矫?，可得?/p>