2023-2024學(xué)年四川省成都市高三上冊入學(xué)考試文科數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市高三上冊入學(xué)考試文科數(shù)學(xué)試題一、單選題（60分）1．設(shè)集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，則集合B中元素的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．歐拉公式（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學(xué)中的一個神奇公式．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．橢圓的焦距是2，則m的值為（

）A．5 B．3 C．5或3 D．204．已知冪函數(shù)，下列能成為“是上奇函數(shù)”充分條件的是（

）A．， B．，C．， D．，5．某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示：則下列兩個圖形①②中，可能是其俯視圖的是A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能6．若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．如圖，一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動一個單位，則移動3次后質(zhì)點位于1的位置的概率是（

）

A． B． C． D．8．已知是兩個非零向量，設(shè)．給出定義：經(jīng)過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，則稱向量，為在上的投影向量．已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．9．如圖，圓柱的軸截面為矩形ABCD，點M，N分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．10．若，則（

）A． B． C． D．11．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用圖明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質(zhì)點的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（

）A． B． C． D．12．函數(shù)的圖像如圖所示，已知，則方程在上有（

）個非負實根.A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（20分）13．命題p：“”則為.14．已知函數(shù)，則．15．在中，內(nèi)角的對邊長分別為，且，，則b的值為．16．如圖拋物線的頂點為A，焦點為F，準線為，焦準距為4；拋物線的頂點為B，焦點也為F，準線為，焦準距為6．和交于P、Q兩點，分別過P、Q作直線與兩準線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過F的直線與封閉曲線APBQ交于C、D兩點，則下列說法正確的是

①；②四邊形MNST的面積為；③；④的取值范圍為.三、解答題（70分）17．新冠狀病毒嚴重威脅著人們的身體健康，我國某醫(yī)療機構(gòu)為了調(diào)查新冠狀病毒對我國公民的感染程度，選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：感染不感染合計年齡不大于50歲80年齡大于50歲10合計70100(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；(2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為感染新冠狀病與不同年齡有關(guān)？附：，．0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63518．已知矩形ABCD中，，，M，N分別為AD，BC中點，O為對角線AC，BD交點，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將折疊，并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN圍成的無蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：MN⊥平面；(2)求此多面體體積V的最大值．19．記為數(shù)列的前n項和，且，已知．(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍．20．已知函數(shù)，.(1)若經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點，求實數(shù)a的值；(2)設(shè)，若有兩個極值點為，，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．已知雙曲線的離心率為，左焦點到雙曲線的漸近線的距離為，過點作直線與雙曲線的左、右支分別交于點、，過點作直線與雙曲線的左、右支分別交于點、，且點、關(guān)于原點對稱．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)，試用表示點的橫坐標；(3)求證：直線過定點．注：22與23是選做題，2選1，均為10分22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)求和的直角坐標方程；(2)若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求．23．已知.(1)求的最小值M；(2)關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.1．C【分析】根據(jù)集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．【詳解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，∵-1∈A且1∈A，0的相反數(shù)是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．∴B={-1，0，1}故B中元素個數(shù)為3個；故選C．本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2．A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.【詳解】由歐拉公式，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第一象限．故選：A．3．C【分析】由題意可得，討論焦點在軸或軸，根據(jù)即可求解.【詳解】因為焦距是，所以，當焦點在軸時，解得，，當焦點在軸時，解得，，故選：C．4．D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域、奇偶性的判斷方法依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，的定義域為，又，是定義在上的奇函數(shù)，充分性不成立，A錯誤；對于B，，的定義域為，為非奇非偶函數(shù)，充分性不成立，B錯誤；對于C，，的定義域為，又，是定義在上的偶函數(shù)，充分性不成立，C錯誤；對于D，，的定義域為，又，是定義在上的奇函數(shù)，充分性成立，D正確.故選：D.5．A由三視圖的正視圖和側(cè)視圖分析，幾何體上部、中部、下部的形狀，判斷，可得出選項．【詳解】若是①，可能是三棱錐；若是②，可能是棱錐和圓錐的組合；所以①②都有可能，故選：A.本題考查簡單空間圖形的三視圖，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．6．B【分析】由線性約束條件畫出可行域，再將目標函數(shù)化為斜截式，結(jié)合圖形去的最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入目標函數(shù)取得最值.【詳解】由實數(shù)滿足約束條件作可行域如圖:

目標函數(shù)可化為，為直線的縱截距的相反數(shù)，令與交點為,則，由圖可知過時直線的縱截距最小，則最大，最大值為，故選：B7．C【分析】根據(jù)古典概型求解即可；【詳解】設(shè)向右移動一次的事件為，則因為質(zhì)點位于1的位置，所以該質(zhì)點向右移動2次，向左移動1次，所以故選:C.8．D【分析】先求向量的單位向量，再利用投影向量的求法求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，可得與方向相同的單位向量為，所以在上的投影向量為：，故選：D.9．B【分析】作出異面直線與所成角，然后通過解三角形求得所成角的余弦值.【詳解】連接，設(shè)，則是的中點，設(shè)是的中點，連接，則，則是異面直線與所成角或其補角.由于，，所以，由于，而是圓柱底面圓的直徑，則，所以，則，，而，在三角形中，由余弦定理得.故選：B

10．A【分析】對等是進行變形，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由題可得：，函數(shù)是定義在的增函數(shù)，，所以.故選：A11．A【分析】先求出初始位置時對應(yīng)的角，再根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系式，將代入，即可求解.【詳解】設(shè)初始位置時對應(yīng)的角為，則，則，因為筒車轉(zhuǎn)到的角速度為，所以水桶到水面的距離，當時，可得.故選：A.12．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷方程在上的根的個數(shù).【詳解】由圖象可得函數(shù)在上有3個極值點，不妨設(shè)其極值點為，其中，設(shè)，，，由圖象可得，，時，函數(shù)單調(diào)遞增，，又函數(shù)的圖象由陡峭變?yōu)槠骄?，故逐漸變小，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的圖象先由平緩變?yōu)槎盖?，再由陡峭變?yōu)槠骄?，先變大再變小，函?shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，所以取值先負后正，所以存在，使得，當，，當，，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象由平緩變?yōu)槎盖?，函?shù)單調(diào)遞增，所以當時，，當時，，當時，，所以當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不存在零點，且，因為，因為表示點與點的連線的斜率，表示曲線在點處的切線的斜率，結(jié)合圖象可得，故，所以函數(shù)在上存在唯一零點，故方程在上有1個非負零點，故選：B.13．【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得答案.【詳解】因為命題p為特稱命題，所以命題p：“”的否定為.故答案為.14．8【分析】根據(jù)題意代入分段函數(shù)計算即可.【詳解】由題意得.故815．【分析】由可得，即而得，利用正余弦定理化簡可得，結(jié)合條件，即可求得答案.【詳解】由，可得，即，即有，即，故，化簡得，結(jié)合，可得，解得或0（舍），故4．16．①②③④【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷①，以為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進而判斷②，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷③，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點弦的性質(zhì)可判斷④.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于由題可知，所以，，故①正確；如圖以為原點建立平面直角坐標系，則，，所以拋物線的方程為，

連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故②正確；連接，因為，所以，所以，故，故③正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當點在拋物線，點在拋物線上時，，當與重合時，最小，最小值為，當與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當，即時取等號，故此時；當點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故④正確.故①②③④.構(gòu)建平面直角坐標系，結(jié)合拋物線定義可求解長度和角度問題，判斷①②，根據(jù)拋物線的對稱性，判斷，從而，從而判斷③，分別討論的位置，然后判斷的取值范圍，判斷④，是本題的難點.17．(1)列聯(lián)表見解析(2)能【分析】(1)根據(jù)總數(shù)100求解；(2)根據(jù)卡方計算并判斷；【詳解】（1）由于所選居民總?cè)藬?shù)為100，列聯(lián)表如下表所示：感染不感染合計年齡不大于50歲206080年齡大于50歲101020合計3070100（2），所以能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為感染新冠狀病與不同年齡有關(guān)；18．(1)證明見解析(2)1【分析】（1）取中點E，通過證明平面，平面，證得即可得出線面垂直；（2）由幾何體的對稱性化為求的最值，即M到面的距離最大，再結(jié)合三棱錐體積公式計算即可.【詳解】（1）

在圖2中，取的中點E，連，因為，E為的中點，所以，同理得，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面．（2）根據(jù)圖形的對稱性可知，，因為的面積為，為定值，所以當點M到平面OCN的距離最大值時，三棱錐體積最大，此時平面OMC⊥平面ONC，點M到平面OCN的距離等于點M到OC的距離，等于，所以此多面體體積V的最大值為．19．(1)(2)【分析】（1）由已知得為公差為的等差數(shù)列，求得，利用與的關(guān)系求得，再利用累乘法即可得到結(jié)果.（2）利用等差數(shù)列前項和公式表示出，即可得出，然后利用裂項相消法求得其前項的和，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意得為公差為，首項為的等差數(shù)列，則，即，兩式作差得，即，所以，即，，因為也適合上式，所以.（2）由（1）知，由可得，所以，則，當時，有，因為，所以恒成立等價于，從而.20．(1)(2)【分析】（1）由題意，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解即可；（2）將有兩個極值點為，，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的根，根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題，進而即可求解.【詳解】（1）的定義域為，由，得，則，因為經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像相切于點，所以，所以，解得，（2），則，因為有兩個極值點為，，所以在上有兩個不同的根，此時方程在上有兩個不同的根，則，且，解得，若不等式恒成立，則恒成立，因為不妨設(shè)，則，因為，所以，所以在上遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將極值點問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的根，求出的范圍，再將不等式恒成立，則恒成立，然后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.21．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知，利用雙曲線的性質(zhì)建立方程求解.（2）根據(jù)已知，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，再利用韋達定理求解.（3）根據(jù)已知，借助第（2）問的結(jié)論，再利用直線的點斜式方程，根據(jù)直線方程來確定直線恒過定點.【詳解】（1）設(shè)，由，則，即，所以漸近線方程為．又到雙曲線的漸近線的距離為，則，即，．所以雙曲線方程為．（2）設(shè)，，直線的方程為，直線的方程與雙曲線聯(lián)立，．又，則所以，即，.（3）

由（2）同理，，則，則直線方程為，令，則，即所以直線過定點．22．(1)；當時，直線的直角坐標方程為