人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第二冊(cè))同步講義第24講 拓展五：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的9種方法總結(jié)含解析

拓展五：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的9種方法總結(jié)考點(diǎn)一移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)二及時(shí)換元后構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)三等價(jià)轉(zhuǎn)化后構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)四挖出同構(gòu)關(guān)系后構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)五選擇關(guān)鍵部位構(gòu)造函數(shù)考點(diǎn)六放縮法證明不等式 （一）參數(shù)放縮 （二）利用結(jié)論放縮 （三）切線放縮考點(diǎn)七拆分法證明不等式考點(diǎn)八利用“隱零點(diǎn)”證明不等式考點(diǎn)九數(shù)列不等式的證明知識(shí)1構(gòu)造法證明不等式1、移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)移項(xiàng)作差法是證明不等式的最常用的方法，將含的項(xiàng)或所有項(xiàng)均挪至不等號(hào)的一側(cè)，將一側(cè)的解析式構(gòu)造為函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而進(jìn)行證明，其優(yōu)點(diǎn)在于目的明確，構(gòu)造方法簡單，但對(duì)于移項(xiàng)后較復(fù)雜的解析式則很難分析出單調(diào)性．2、及時(shí)換元后構(gòu)造函數(shù)由于是證明兩個(gè)變量的大小關(guān)系問題，通過換元，將兩元變換成一元，這樣降低了問題的難度，使之變成我們熟悉的、容易解決的問題了．3、等價(jià)轉(zhuǎn)化后構(gòu)造函數(shù)在充分挖掘題目內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，將待證的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化、變形，使之等價(jià)變形為另一個(gè)大小關(guān)系證明的問題，然后再通過建立新函數(shù)輕松地解決了問題．如等價(jià)轉(zhuǎn)化為進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)；4、挖出同構(gòu)關(guān)系后構(gòu)造函數(shù)由于待證的不等式比較復(fù)雜，在分析、化簡、變形的基礎(chǔ)上，再經(jīng)過換元處理，成功的找到了同構(gòu)關(guān)系，然后通過設(shè)新函數(shù)，這樣，成功地解決問題就是很容易了．5、選擇關(guān)鍵部位構(gòu)造函數(shù)在解題過程中，根據(jù)大小比較的需要，對(duì)表達(dá)式中的一部分采用構(gòu)造函數(shù)處理，也是一個(gè)重要的解題思路，這種求解方法的關(guān)鍵是精確替換，以起作用、易解決為替換原則．知識(shí)2放縮法證明不等式放縮式是放縮法的重要組成部分，是放縮法的"骨肉".用好放縮法的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用放縮式，我們既然想去放縮一個(gè)式子來證明不等式，那最基本、最重要的就是掌握一些重要的放縮式.這里將放縮式分為基本放縮式和變形放縮式.基本放縮式也就是常說的“不等式串”，大部分放縮式都由它變形而來，是必須掌握的放縮式.放縮小技巧：（一）不等號(hào)的方向在放縮中，我們應(yīng)注意想放縮的那一項(xiàng)的位置是否在分母上或是否帶有負(fù)號(hào)，有時(shí)需要變更它的符號(hào).比如，當(dāng)時(shí)，由放縮式可得到,又可得到（二）整體代換整體代換使用的是數(shù)學(xué)中的整體思想，比如，這個(gè)式子中便運(yùn)用了此方法，學(xué)會(huì)將已知的放縮式變更為解題需要的放縮式很重要．（三）調(diào)整次數(shù)一般來說，調(diào)整次數(shù)有以下幾個(gè)功能：便于配方，便于約分，便于合并同類項(xiàng).比如，已知，為了證明，則必須證明，通過先求導(dǎo)再討論單調(diào)性來證明比較麻煩，而我們知道完全平方非負(fù)，且，所以有.放縮法主要解決問題的類型：1、函數(shù)解析式中含有已知范圍的參數(shù)，可以考慮借助于常識(shí)或已知的范圍減少變量，對(duì)參數(shù)適當(dāng)放縮達(dá)到證明的目的.放縮法的合理運(yùn)用，往往能起到事半功倍的效果，有時(shí)能令人拍案叫絕.但其缺點(diǎn)也是顯而易見，如果使用放縮法證題時(shí)沒有注意放和縮的"度"，容易造成不能同向傳遞.2、切線放縮：若第一小題是求曲線的切線方程，就要注意是否運(yùn)用切線放縮法進(jìn)行放縮解決問題.拓展：（1）若在區(qū)間D上二階可導(dǎo)，且，則對(duì)任意，有（2）若在區(qū)間D上二階可導(dǎo)，且，則對(duì)任意，有（1）（2）的幾何意義是凸（凹）函數(shù)的圖像在其切線的上（下）方.知識(shí)3拆分法證明不等式利用不等式性質(zhì)對(duì)所證不等式進(jìn)行拆分，轉(zhuǎn)化成為的形式，若能證明，即可得：，本方法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)的項(xiàng)進(jìn)行分割變形，可將較復(fù)雜的解析式拆成兩個(gè)簡單的解析式.但缺點(diǎn)是局限性較強(qiáng)，如果與不滿足，則無法證明.所以用此類方法解題的情況不多?？键c(diǎn)一移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)1．（2022秋·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)求該函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，則，所以，，，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，則.2．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值即可證明不等式；（2），對(duì)分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，，可得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，∴，即．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若只有唯一的極值點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分，和討論函數(shù)單調(diào)性即可求解；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，題意轉(zhuǎn)化成，令，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可【詳解】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則或；由可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，①若，即，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；②若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，不符合題意，舍去；③若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，符合題意.綜上所述，的取值范圍.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)，要證：，設(shè)，，設(shè)，，，當(dāng)，當(dāng)，于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，則由可得，當(dāng)，當(dāng)，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，那么，即證【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．考點(diǎn)二及時(shí)換元后構(gòu)造函數(shù)4．（2022春·云南文山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求出的極值點(diǎn)；(2)證明：對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則.【答案】(1)是的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)，得函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）換元令，根據(jù)用分別表示，，將證明轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造，求導(dǎo)數(shù)，證明其大于零即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).（2）證明：由（1），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋环猎O(shè)，令，則，，由，得，即，即，即，解得，，所以，故要證，即證，即證，即證，因?yàn)?，所以，所以即證，令，，因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)得等式，設(shè)，用分別表示，，用分析法將證明轉(zhuǎn)化為證明.5．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，(1)求的取值范圍；(2)證明：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）易得，分和討論，對(duì)時(shí)，根據(jù)存在兩零點(diǎn)得，求出的范圍，再結(jié)合，放縮得，確定，則，再構(gòu)造函數(shù)，，求出其單調(diào)性即可得到的范圍；（2）利用基本不等式得，放縮證明，利用比值換元法設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)證明其單調(diào)性，得到其范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，又，，所以當(dāng)時(shí)，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，，且，所以，由單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，即所以，而，即，所以，而，令，則，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以（2），當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，而，故要證，即證，即證即證，即證，.設(shè)，，，，，令，，令，，易知在上單調(diào)遞增，故，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2問首先采用了基本不等式進(jìn)行放縮得，從而將題目的證明轉(zhuǎn)化為證明，然后得到，利用經(jīng)典的比值換元法，設(shè)，，則，從而設(shè)，，通過多次求導(dǎo)研究其單調(diào)性和值域即可.6．（2022秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）令，分離參數(shù)得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由的圖象特征可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由整理得，化簡得,整體代換得，要證，變形即證，構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)而得證.【詳解】（1）令，得，即.設(shè)，則，則時(shí)，時(shí)，.故在時(shí)取最大值.又時(shí)，時(shí)，，從而，得；（2）由得，，從而，又，,即，設(shè)，易知，故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以.7．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)證明見解析.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)的取值范圍，對(duì)的符號(hào)進(jìn)行討論，即可得出的單調(diào)性；（2）由第一問中有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，和化簡不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行證明.【詳解】（1）∵，（）∴定義域?yàn)?，∴，（），令，（），①?dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，解得，，∴當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，，（i）當(dāng)時(shí)，，，，，∴此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，，令，解得，，且，∴當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴此時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由第（1）問知，若，（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，且的兩根即為，，且，，∴，，∴，又∵，∴不等式等價(jià)于，∵，∴，，又∵，∴，∴不等式又等價(jià)于，即，∴只需證，令，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵，∴，，∴，∴若，（）是的兩個(gè)極值點(diǎn)，.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法有構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，（1）構(gòu)造函數(shù)法①直接構(gòu)造函數(shù)：若需要證明（或），可通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明（或）；②化簡構(gòu)造函數(shù)：若原不等式較為復(fù)雜，或者構(gòu)造函數(shù)后，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性較為困難，可以將原不等式適當(dāng)化簡變形后再構(gòu)造函數(shù).本題第（2）問的證明，就是綜合了以上兩種方法.（2）放縮法：通常會(huì)利用常見結(jié)論放縮或結(jié)合已知條件進(jìn)行放縮.8．（2023秋·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(3)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；（2）求得導(dǎo)數(shù)并變形為，由此找到時(shí)，，此時(shí)結(jié)論成立，然后證明只有時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，不合題意；（3）令，化為，再進(jìn)行換元，采用分析證明的方法，直到利用（2）中結(jié)論，證明不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,,故，所以在處的切線方程為，即.（2）由題意得，由當(dāng)時(shí)，恒成立，而，即時(shí)函數(shù)取得最小值，由于，，故，當(dāng)時(shí)，，等號(hào)僅會(huì)在時(shí)取得，則，此時(shí)當(dāng)時(shí)，遞增，且；下面證明只有時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立.因?yàn)?，所以，只需證明恒成立；設(shè)，令，僅在時(shí)取得等號(hào)，故單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增，所以，即此時(shí)當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，，則，令，則，在上為增函數(shù)，且，，故存在使得，則時(shí)，，則遞減，且，即在上遞減，而，則當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，故當(dāng)時(shí)，不合題意，綜合上述可知：.（3）當(dāng)時(shí)，令，則，即，故要證明當(dāng)時(shí)，，只需證明：，令，則，故需證明：，令，則需證：恒成立，由（2）知恒成立，即恒成立，故當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：在證明當(dāng)時(shí)，時(shí)，要注意變形既換元法的應(yīng)用，，則原不等式化為，難點(diǎn)就在于采用分析證明的方法，連續(xù)換元，構(gòu)造函數(shù)，直到可以利用（2）中結(jié)論為止.考點(diǎn)三等價(jià)轉(zhuǎn)化后構(gòu)造函數(shù)9．（2022秋·吉林·高三?？计谀┮阎瘮?shù)設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)分類討論，討論的符號(hào)，的單調(diào)性，即可得出答案．（2）求導(dǎo)得，，又存在，為的極值點(diǎn)，則，即的存在兩個(gè)根為，，且，，由韋達(dá)定理可得，，要證明存在，，使得，即證明存在，，，即可得出答案．【詳解】（1）解：因?yàn)槎x域?yàn)?，則，令，解得或，若，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）證明：因?yàn)?，，所以，，則，又存在，為的極值點(diǎn)，則，所以的兩個(gè)根為，，且，，即的存在兩個(gè)根為，，且，，所以，，因?yàn)?，，所以，即，要證明存在，，使得，即證，即證明存在，，使得，又，即證明存在，，，即證明存在，，，即證明存在，，，即證明存在，，，令，則當(dāng)時(shí)，，所以需要證明在上存在區(qū)間單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．10．（2022秋·北京大興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求的值；(2)判斷函數(shù)單調(diào)性并說明理由；(3)證明：對(duì)，都有成立.【答案】(1)1(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可；（2）判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得單調(diào)性；（3）利用（2）確定的單調(diào)性，作差比較即可.【詳解】（1），所以，由，得，所以.（2）函數(shù)在單調(diào)遞增.因?yàn)椋院瘮?shù)定義域?yàn)?，因?yàn)樗?因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）證明：當(dāng)時(shí)，顯然有，不等式成立；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則.因?yàn)椋?，所以，所?綜上，對(duì)任意的，成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點(diǎn)四挖出同構(gòu)關(guān)系后構(gòu)造函數(shù)11．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)判斷極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的圖像，從而分類討論與，得到的正負(fù)情況，由此得解；（2）利用同構(gòu)法得到，再構(gòu)造函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則，所以只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，存在，，使，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以若，則；若，則；若，則；若，則；所以有三個(gè)極值點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn).（2），令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，令，則等價(jià)于，因?yàn)椋缘葍r(jià)于，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．12．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性及極值，并判斷方程的實(shí)根個(gè)數(shù)；(2)證明：．【答案】(1)單調(diào)性及極值見解析，原方程有唯一實(shí)根(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)的單調(diào)性，求解極值，結(jié)合單調(diào)性的結(jié)論判斷方程的實(shí)根個(gè)數(shù)；（2）不等式變形為，換元后即證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值即可得證.【詳解】（1），函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有極小值．方程可變形為，即，當(dāng)時(shí)，，有，在上單調(diào)遞增，則有，函數(shù)和的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)位于第一象限，所以在上有唯一實(shí)根，故原方程有唯一實(shí)根．（2）證明：由知，所要證的不等式等價(jià)于，等價(jià)于．（*）令，則不等式（*）等價(jià)于（**）．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)．所以．即（**）成立．故原不等式成立．【點(diǎn)睛】1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3..證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，按照和的大小關(guān)系分類討論；（2）先轉(zhuǎn)化需證明的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的符號(hào)，推得，進(jìn)而證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，，由，得，當(dāng)，即時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，即證，令，，則，令，可得，令，可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，得證．【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的兩個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.考點(diǎn)五選擇關(guān)鍵部位構(gòu)造函數(shù)14．（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：若，則.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性原理，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、通過構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行求解即可，【詳解】（1），切點(diǎn)為，則切線方程為，當(dāng)時(shí)，在中，分別令得該切線分別與兩坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，故三角形面積為，因此，解得，當(dāng)時(shí)，，顯然該直線與兩坐標(biāo)軸圍不成三角形，綜上所述：；（2）①當(dāng)，所以；②當(dāng)，要證，即證，令，，令，，所以在上單調(diào)遞增.取，使得，即，則，又，所以由零點(diǎn)存在定理知存在唯一零點(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn).又，即，故，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.綜上所述，當(dāng)，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的極值定義、函數(shù)零點(diǎn)存在性原理是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)六放縮法證明不等式（一）參數(shù)放縮15．（2023秋·吉林長春·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的極值點(diǎn)；(2)證明：當(dāng)時(shí)，曲線恒在圖象的上方.【答案】(1)為的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，由極值點(diǎn)的定義可得結(jié)果；（2）由可推導(dǎo)得到；根據(jù)所證結(jié)論可知只需證得即可；分別令、，利用導(dǎo)數(shù)可求得和，由可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；，，在上恒成立，即，，又，，即當(dāng)時(shí)，曲線恒在圖象的上方.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值點(diǎn)、證明兩函數(shù)圖象位置關(guān)系的問題；本題第二問求解的關(guān)鍵是能夠結(jié)合放縮的思想去掉變量，將兩函數(shù)圖象位置關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為不等式的證明問題，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)的方式進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)最值之間關(guān)系的求解問題.16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，并求出其最大值，即可得參數(shù)范圍；（2）由（1）知，應(yīng)用分析法，將問題化為證恒成立，討論、，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定區(qū)間符號(hào)，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，令，則在上恒成立，所以在上遞增，顯然，，故使，則上，上，所以上，遞增；上，遞減；又，即，則，綜上，.（2）由（1）知：，所以且，要使恒成立，只需證恒成立，只需證恒成立，當(dāng)時(shí)，若，則，即遞增，又也遞增，所以在上遞增，故恒成立，當(dāng)時(shí)，令且，則，即遞增，故，所以在上恒成立，故，令，則，所以在上遞減，故，即，綜上，在上恒成立，所以，時(shí)得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問轉(zhuǎn)化為在上恒成立，第二問化為證明恒成立，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可.17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明恒成立.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，分、、三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)恒成立可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先證明出，由（1）可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，證明出，可證得，進(jìn)而可證得原不等式成立.【詳解】（1）解：，且該函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以時(shí)不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，顯然成立；③當(dāng)時(shí)，由解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，，即，所以，，解得.綜上所述，.（2）證明：由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，先證明，令，則，由（1）可知，所以，，設(shè)，其中，則且不恒為零，所以，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，所以，，因?yàn)?，故，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).18．（2022秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：不等式.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論的單調(diào)性即可；（2）法一：將證明成立轉(zhuǎn)化為證成立，然后根據(jù)單調(diào)性得到，即可得到；法二：將證明成立轉(zhuǎn)化為證成立，然后根據(jù)的單調(diào)性得到，即可得到.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，①若恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以恒成立，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即時(shí)，在上是單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，則的根為，，由，得，，由，得或，，得.∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，時(shí)，在上是單調(diào)遞增；時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）要證，只須證.∵，即證.法一：∵，∴只需證，則，令，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，又，.∴使，即，∴.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.∴，得證.法二：令，只須證.，令，則.∵，∴，∴在上單調(diào)遞增.又∵，而，∴，使，∴，即.∵，在上單調(diào)遞增，∴，即，又知，知.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)證明不等式方法：（1）構(gòu)造函數(shù)：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（2）放縮法：要證，而，只要證明即可，可以通過函數(shù)不等式，切線不等式進(jìn)行放縮.（3）隱零點(diǎn)法：當(dāng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求時(shí)可先證明零點(diǎn)存在，再用此零點(diǎn)代入求函數(shù)最小值；（4）轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)最值大?。阂C，只要證即可.（二）利用結(jié)論放縮19．（2023秋·浙江寧波·高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)恒成立，求k的取值范圍；(3)求證：對(duì)，不等式恒成立.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)根據(jù)題意將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；(3)結(jié)合（2）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1）因，所以，所以所求切線方程為，即；（2）因?yàn)樵谏虾愠闪?，而，令得所以①?dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則的對(duì)稱軸為，所以在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故，不合題意.綜上，k的取值范圍為；（3）由（2），當(dāng)時(shí)，在恒成立，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對(duì)，不等式恒成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問解題關(guān)鍵是在（2）中令得到，將所證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可.20．（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)為常數(shù).(1)若，求的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由可求出，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證成立，令，則只需證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于等于零即可.【詳解】（1）由題得，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）證明：由（1）知：，所以要證即證，即證，即證，因?yàn)椋约醋C，令，則只需證明，由（1）知，令，則在遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值0，所以，即，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為，然后通過換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.21．（2022秋·四川攀枝花·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（）．(1)若函數(shù)的極大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值，求得答案；（2）利用（1）的結(jié)論，將不等式轉(zhuǎn)化為，即證當(dāng)時(shí)，，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的最值，進(jìn)而證明不等式.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)?，且．∴?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無極大值．當(dāng)時(shí)，由解得；由解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,∴,即，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．（2）證明：由（1）知，即．要證當(dāng)時(shí)，，即證，當(dāng)時(shí)，,即證,令函數(shù)，則，令，則，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，使得，即,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故為函數(shù)在區(qū)間上的唯一極小值點(diǎn)，所以，所以當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要證當(dāng)時(shí)，，利用（1）的結(jié)論，即證，關(guān)鍵就是再轉(zhuǎn)化為證明，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值，解決問題.22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明過程見詳解【分析】(1)分，和三種情況討論，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)行求解即可；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得：，令，解得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)椋?（2）由(1)知：時(shí)，在上恒成立，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以要證，只需證，即證，令，則有，又，所以，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，有時(shí)可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，借助單調(diào)性進(jìn)行求解.（三）切線放縮23．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求；(2)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合曲線的切線得出，即可解出，，即可得出答案；（2）令，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出，即，則要證明，只需證明，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出，即，要證明，只需證明，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可證明，即可得出答案.【詳解】（1），在點(diǎn)處的切線方程為，，解得，，所以．（2）令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即．若要證明，只需證明，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以．故只需證明．令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以．綜上知，．24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，都有.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)證明見解析.【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)，找到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，判斷零點(diǎn)分定義域所得區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）化簡結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明，結(jié)合，利用不等式的性質(zhì)證明結(jié)論.【詳解】（1），令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）要證明，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，要證，因?yàn)闀r(shí)，，，此時(shí)不等式成立，當(dāng)時(shí)，，，只需再證時(shí)，即可.令，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，都有.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).考點(diǎn)七拆分法證明不等式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)為正、為負(fù)的x取值區(qū)間作答.（2）等價(jià)變形給定不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因?yàn)椋瑒t不等式，當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是得，即，所以.26．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)；(2)若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用求根公式，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再證明函數(shù)存在極小值點(diǎn)；（2）首先不等式整理為，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即和，即可證明不等式.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．?duì)于方程，．解方程，可得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)有唯一極小值點(diǎn)．（2）要證明，即證，即證，即證．令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．所以．構(gòu)造函數(shù)，其中，，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．所以，則，所以．故原不等式得證．27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷0是否為的極小值點(diǎn)，并說明理由；(2)證明：.【答案】(1)0是的極小值點(diǎn)，理由見解析(2)證明過程見解析【分析】（1）求的定義域，求導(dǎo)，得到，且時(shí)，，時(shí)，，故0是的極小值點(diǎn)；（2）對(duì)不等式變形得到，令，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，從而得到g(x)正負(fù)，故恒成立，結(jié)論得證.【詳解】（1）0是的極小值點(diǎn)，理由如下：定義域?yàn)?，，其中，?dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故0是的極小值點(diǎn)；（2）等價(jià)于，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，故.考點(diǎn)八利用“隱零點(diǎn)”證明不等式28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程．(2)當(dāng)時(shí)，求證．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）求出，由求得，然后計(jì)算出，用點(diǎn)斜式得切線方程并化簡；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，從而確定的零點(diǎn)存在，得出其為極小值點(diǎn)，由得間的關(guān)系，代入變形，然后由基本不等式結(jié)合已知條件得證結(jié)論．【詳解】（1）由解得，所以，，所以，，切線方程為，即所求切線方程為；（2）證明得定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，故是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以存在，使得①，且時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，故②，由①式得③，將①③兩式代入②式，結(jié)合得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合②式可知，此時(shí)，故恒成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法：利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，證明最小值大于0即得，問題常常遇到最小值點(diǎn)不能直接求出，只有利用零點(diǎn)存在定理確定為，為此可利用的性質(zhì)：確定與參數(shù)的關(guān)系，從而化為一個(gè)變量的函數(shù)（一元函數(shù)），然后由不等式的知識(shí)或函數(shù)知識(shí)得出其大于0.29．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若直線是函數(shù)的切線，求實(shí)數(shù)的值；(3)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析【分析】(1)先求函數(shù)的定義域及其導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，由此確定不等式和的解集，由此確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，由此求，；(3)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的單調(diào)性，并求其最小值，集合基本不等式證明結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，在上為減函數(shù)，，，在上為增函數(shù).（2）由（1）得設(shè)切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，得，所以設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以因?yàn)榉匠虄H有一解，所以；（3）因?yàn)?，設(shè)，則有所以在單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．30．（2023秋·天津南開·高三崇化中學(xué)校考期末）已知函數(shù)．(1)若實(shí)數(shù)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)設(shè)，若且，使得，證明：．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率即可求解；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)以及分類討論即可求解；(3)利用極值點(diǎn)偏移證明求解.【詳解】（1）時(shí)，，，，所以切線的斜率為，切線方程為即.（2）的定義域?yàn)?，，若，則恒成立，則在單調(diào)遞增，若，令解得，令解得，所以則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.（3）由題知，且，不妨設(shè)，使得所以整理得令所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)椋运运砸驗(yàn)?，所以，即，所以，下面證明，即證，設(shè)，即證明，只需證明，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，所以所以，所以，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問中，利用放縮得到從而，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是本題關(guān)鍵，將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量是常用的證明辦法.31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）記．則恒成立，即．當(dāng)，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．．解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）記．在上單調(diào)遞增．令，則，所以即在上單調(diào)遞增．由，知．．即，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．，由（*）式，可得．代入式，得．由（1）知，當(dāng)時(shí)有，故．．由．故，即，原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．考點(diǎn)九數(shù)列不等式的證明32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)證明：；(2)證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值為，即可得證；（2）由（1）知，時(shí)，，即，令，得，再根據(jù)對(duì)數(shù)知識(shí)可證不等式成立.【詳解】（1），令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所的最小值為，所以.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，即，即，令，得，所以，故．33．（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)當(dāng)，證明；(2)討論的單調(diào)性；(3)利用（1）中的結(jié)論，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間計(jì)算最值得到證明.（2）求導(dǎo)得到，討論，，三種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.（3）根據(jù)得到，依次帶入數(shù)據(jù)相加得到證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得，當(dāng)在之間變化時(shí)，及的變化情況如下表：10單調(diào)遞增0單調(diào)遞減因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，故；（2）