根軌跡法知識題和答案解析

.第四章根軌跡法習(xí)題及答案4-1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K*G(s)H(s)(s1)(s2)(s4)謝謝閱讀試證明s1j3在根軌跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益K*和開環(huán)增益K。精品文檔放心下載1解 若點(diǎn)s在根軌跡上，則點(diǎn)s應(yīng)滿足相角條件1 1G(s)H(s)(2k1)，如圖所示。感謝閱讀對于s1j3，由相角條件G(s)H(s)0(1j31)謝謝閱讀1 1(1j32)(1j34)精品文檔放心下載0236滿足相角條件，因此s1j3在根軌跡上。1將s代入幅值條件：1G(s)H（s）K*1111j311j321j34解出：K*12，KK*3824-2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求參數(shù)b從零變化到無窮大時(shí)的根軌跡方程，并寫出b2時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。感謝閱讀（1）G(s)20（2）G(s)10(s2b)(s4)(sb)s(s2)(sb)解(1)b(s4)b(s4)G(s)s24s20(s2j4)(s2j4).G(s)(s)1G(s)

s2

206s28G(s)b(s22s20)=b(s1j19)(s1j19)精品文檔放心下載s(s22s10)s(s1j3)(s1j3)謝謝閱讀(s)G(s)10(s4)401G(s)s34s214s2s4-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)(s4)(sb)，試?yán)L制參數(shù)b從零變感謝閱讀化到無窮大時(shí)的根軌跡，并寫出s=-2這一點(diǎn)對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。謝謝閱讀G(s)b(s4)s(s6)根軌跡如圖。s2時(shí)b4，2s2s(s)s210s16(s2)(s8)4-4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。謝謝閱讀⑴G(s)k(2)k(s1)s(0.2s1)(0.5s1)G(s)s(2s1)(3)G(s)k*(s5)(4)G(s)k*(s1)(s2)s(s2)(s3)s(s1)K10K解⑴G(s)s(0.2s1)(0.5s1)s(s5)(s2).三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：p0,p2,p5123①實(shí)軸上的根軌跡：,5,2,0謝謝閱讀 a②漸近線： a

025733(2k1),33③分離點(diǎn)：1 1 1 0d d5 d2解之得：d0.88，d 3.7863(舍去)。謝謝閱讀1 2④與虛軸的交點(diǎn)：特征方程為D(s)s37s210s10k0感謝閱讀Re[D(j)]7210k0感謝閱讀令 Im[D(j)]3100精品文檔放心下載 10解得k7與虛軸的交點(diǎn)（0， 10j）。根軌跡如圖所示。G(s)K(s1)K(s1)s(2s1)1)2s(s2根軌跡繪制如下：①實(shí)軸上的根軌跡：,1,0.5,0精品文檔放心下載②分離點(diǎn)：111dd0.5d1解之得：d0.293,d1.707。謝謝閱讀根軌跡如圖所示。.⑶根軌跡繪制如下：①實(shí)軸上的根軌跡：5,3, 2,0精品文檔放心下載a023(5)0②漸近線：2(2k1)a22③分離點(diǎn)：1111dd2d3d5用試探法可得d0.886。根軌跡如圖所示。(4)根軌跡繪制如下：①實(shí)軸上的根軌跡：[0,1],[-1,-2]②分離點(diǎn)：1111dd1d1d2求解得：d0.37，d 1.371 2根軌跡如圖所示。4-5已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為kG(s)s(0.02s1)(0.01s1)感謝閱讀要求：(1)繪制系統(tǒng)的根軌跡；(2)確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)開環(huán)增益k的值；精品文檔放心下載(3)確定系統(tǒng)臨界阻尼比時(shí)開環(huán)增益k的值。k5000k解(1)G(s)s(0.02s1)(0.01s1)s(s50)(s100).①實(shí)軸上的根軌跡：[0,-50],[-100,-]精品文檔放心下載②分離點(diǎn)：1110dd50d100求解得d21.13，d 78.87感謝閱讀1 2③漸近線：，60o，oaa根軌跡如圖所示。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)k*750000，k150精品文檔放心下載系統(tǒng)臨界阻尼比時(shí)k*48112.5，k9.62感謝閱讀k*4-6 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)s(s28s20)，要求繪制根軌跡并確精品文檔放心下載定系統(tǒng)階躍響應(yīng)無超調(diào)時(shí)開環(huán)增益k的取值范圍。G(s)H(s)s(s28s20)感謝閱讀①實(shí)軸上的根軌跡：,0②漸近線：0(4j2)(4j2)8a33(2k1),a33③分離點(diǎn)：1110dd4j2d4j2解之得：d2,d3.33。④與虛軸交點(diǎn)：D(s)s38s220sk把sj代入上方程，整理，令其實(shí)、虛部分別為零得：精品文檔放心下載.Re(D(j))Im(D(j))0解得：k0

k820203025k160⑤起始角：由相角條件 63， 63。p2 p3根軌跡如圖所示。所有根為負(fù)實(shí)根時(shí)階躍響應(yīng)無超調(diào)，此時(shí)14.8k*16，所以0.74k0.8謝謝閱讀k(2s1)4-7 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，(s1)2(74s1)試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。解：根軌跡繪制如下：①實(shí)軸上的根軌跡：0.5，7/4②漸近線：117/4(0.5)1a28(2k1)a22③與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D(s)74s317s2(2k107)sk10精品文檔放心下載把sj代入上方程，.120Re(D(j))K17令10)4Im(D(j))(2K30770解得：，29K1K7根軌跡如圖所示。由圖可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為1K97。精品文檔放心下載4-8已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡（要求求出起始角）。謝謝閱讀G(s)H(s)K（s2）(s24s9)2解根軌跡繪制如下：①實(shí)軸上的根軌跡： ,2②漸近線：2j52j5(2)233a(2k1),a33③分離點(diǎn)：221d2j5d2j5d2解之得：d3.29d0.71(舍去)④與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D(s)(s24s9)2K（s2）0把sj代入上方程，Re(D(j))434812K02令)803. 21解得：K96⑤起始角：90（2290）（2k1）p1解出45,135根軌跡如圖所示。p1p24-9已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制以a和T為變化參數(shù)的根軌跡。精品文檔放心下載(1)G(s)1/4(sa)，a0；(2)G(s)2.61)，T0s2(s1)s(0.1s1)(Ts解(1)G(s)s(s0.5)2a/4①實(shí)軸上的根軌跡：(，0)②漸近線：，60o，oaa③分離點(diǎn)：d1/6根軌跡如圖所示。(2)Ts2(s10)G(s)s210s26①實(shí)軸上的根軌跡：(，0)②起始角終止角：2(180otg11)tg11(90o)180o55p解得起始角78.7op20o(tg11tg11)180oz55解得終止角90o根軌跡如圖所示。z.4-10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應(yīng)的根軌跡，精品文檔放心下載并求出所有根為負(fù)實(shí)根時(shí)開環(huán)增益k的取值范圍及系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)k的值。謝謝閱讀k(s1)G(s)H(s)(s1)2(s18)感謝閱讀解①實(shí)軸上的根軌跡：[18，1]②分離點(diǎn)：d4.22，d6.2817.5，2③漸近線：90oaa④與虛軸交點(diǎn)：s1.86j，k*37.71,2根軌跡如圖所示。d處k*116.6，d處k*117.6，kk*/1812結(jié)論：6.48k6.53時(shí)所有根為負(fù)實(shí)根，k2.095時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。謝謝閱讀4-11已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù)T的變化對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。感謝閱讀.100解：G(s)Ts3s220s1T(s220s100)作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(s)根軌跡繪制如下：（注意：k*1/T)①實(shí)軸上的根軌跡：(,10],10,0感謝閱讀②分離點(diǎn)：32解得d30。dd10根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的T0.015。③虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D(s)Ts3s220s1000把sj代入上方程，整理，令實(shí)虛部分別為零得：精品文檔放心下載Re(D(j))Im(D(j))

1002020T3010解得： T0.2④起始角： 60p1參數(shù)T從零到無窮大變化時(shí)的根軌跡如圖所示。(請注意根軌跡的方向！)感謝閱讀從根軌跡圖可以看出，當(dāng) 0T0.015時(shí)，系統(tǒng)階躍響應(yīng)為單調(diào)收斂過程；謝謝閱讀0.015T0.2時(shí)，階躍響應(yīng)為振蕩收斂過程；T0.2時(shí)，有兩支根軌跡在s右半感謝閱讀平面，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若取另外一種等效開環(huán)傳遞函數(shù)則解題步驟如下：.Ts3G(s)s220s100三條根軌跡中兩條起于-10，一條起于，均終止于原點(diǎn)精品文檔放心下載①實(shí)軸上的根軌跡：(,10],10,0精品文檔放心下載②分離點(diǎn)：32解得d30。dd10其余步驟與上基本相同，根軌跡相同，只是-10處為兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，原點(diǎn)處為3個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，根軌跡方向與圖中一樣。精品文檔放心下載4-12控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試概略繪制其根軌跡(k*0)。感謝閱讀解此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應(yīng)繪零度根軌跡。①實(shí)軸上的根軌跡：,2,1,②分離點(diǎn)：31d2d1解得d0.5③起始角：根據(jù)相角條件，mn2kiji1j1得60，60，180。p1p2p3根軌跡如圖所示。.k(1s)，試?yán)L制其根軌跡，并求出4-13設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)2)s(s使系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根和純虛根的k值。解由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達(dá)式知需繪制0根軌跡。①實(shí)軸上的根軌跡：2,0,[1,)；②分離點(diǎn)：111dd2d1解得：d0.732,d2.73212將sd0.732,sd2.732代入12幅值條