理解練習知識題及參備考資料答案解析

**第四章靜態(tài)場的解 練習題1、設點電荷q位于金屬直角劈上方，其坐標如右圖所示，求謝謝閱讀（1）畫出鏡像電荷所在的位置（2） 直角劈內任意一點(x,y,z)處的電位表達式精品文檔放心下載（3）qqq圖1圖2解：（1）鏡像電荷所在的位置如圖1所示。（2）如圖2所示任一點(x,y,z)處的電位為q11114rrrr01234r x12y22z2精品文檔放心下載1r x12y22z2感謝閱讀其中， 2r x12y22z2感謝閱讀3r x12y22z2感謝閱讀42、兩個點電荷Q和Q位于半徑為a的接地導體球的直徑延長線上，距球心均為感謝閱讀2a3Qd。證明鏡像電荷構成一位于球心的電偶極子，且偶極矩大小為 d2 。感謝閱讀證明：由點電荷的球面鏡像法知，＋Q和－Q的鏡像電荷Q,Q分別位于球內＋Q和－精品文檔放心下載Q連線上大小分別為aQa2（分別位于球心兩側）?？梢奞,Q構D，且分別距球心為D**成電偶極子，由電偶極距的定義式得偶極距的大小為：aa22a3QpqlQ。結論得證。DDD23、已知一個半徑為a的接地導體球，球外一個點電荷q位于距球心O為d處。利用鏡感謝閱讀像法求球外空間任意點的電位分布。解：由點電荷的球面鏡像法可知，q的像電荷q必定位于球內，且在q與球心0連線上，感謝閱讀位置在距離球心設為f 處。建立直角坐標系，由邊界條件(球）=0可取球面上兩個特殊感謝閱讀A,B討論。A,B是q與球心0連線所對應的直徑與球面的兩個交點。由圖示及點電荷的電位公式得：謝謝閱讀q(A)4(d0q(B)4(d0解此方程組得：qaq,fa2。謝謝閱讀d d所以任意場點P(x,y)處的電位為：

q，0a)4(af)0a)4(af)0。0q4r4r。0 0其中r,r分別是點電荷q和q到場點P的距離。謝謝閱讀值分別為r[(xd)2y2]12,r[(xf)2y2]12。精品文檔放心下載4、半徑為a的不接地導體球附近距球心O為d（da）處有一點電荷q，用鏡像法計算感謝閱讀球外任一點的電位。解：由點電荷的球面鏡像法可知，q的像電荷除了有q（即導體球接地時對應的結果，謝謝閱讀aq，其位置為fa2），還在球心處有另外一個鏡像電荷q，以保證導體球面電qdd勢不為零的邊界條件成立，且可知qq。感謝閱讀**所以任意場點P處的電位為：qq4r4r4r感謝閱讀0 0 0其中r,r,r分別是點電荷q、q和q到場點P的距離（可在具體坐標系中表示出來）。謝謝閱讀5、接地無限大導體平面上半空間有一點電荷，電荷量為1，距導體平面為h。精品文檔放心下載（1）導出電位函數(shù)滿足的方程并應用鏡像法求出位函數(shù)的解。精品文檔放心下載（2）求導體表面上感應面電荷密度，并證明總感應電荷為－1。精品文檔放心下載解：（1）由題意知，導體平面上半空間無點電荷體分布，即0。故電位函數(shù)滿足拉普拉謝謝閱讀斯方程 20。建立坐標系，令z0為導體平面，已知點電荷位于z軸上，坐標為（0，謝謝閱讀0，h）。邊界條件為： ()0,(z0)0。則鏡像電荷位于z軸上（0，0，h）精品文檔放心下載點，大小為-1.于是空間任意場點P【坐標為（x,y,z），】的電位為已知點電荷1與鏡像電謝謝閱讀荷-1共同產生的，其值為11。其中r,r是場點分別到已知點電荷1與4r4r/00鏡像電荷-1的距離，其值分別為r2x2y2(zh)2,rx2y2(zh)2。（2）證明：由上題電位值可計算出P點的電場強度各分量的值份分別為Ex(11),Ey(11),E1(zhzh)x4r3r3y4r3r3z4r3r3000由靜電場的邊界條件D，可得導體表面的電荷面密度為：nsEhs0Z2(x2y2h2)32所以導體表面上總感應電荷為：qdshdxdy1，結論得證。s2(x23y2h2)26、如題圖（a）所示，在z0的下半空間是介電常數(shù)為的介質，上半空間為謝謝閱讀空氣，距離介質平面距為h處有一點電荷q。求**（1）z0和z0的兩個半空間內的電位；精品文檔放心下載（2）介質表面的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷q。感謝閱讀z z zqho

qR1qqhPhR2o0ohR0P2.13q題4.24圖（a）題4.24圖（b）題4.24圖（c）解：（1）在點電荷q的電場作用下，介質分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷精品文檔放心下載替代介質分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖（b）謝謝閱讀、（c）所示）q0q，位于zh0q0q，位于zh0上半空間內的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產生，即謝謝閱讀qq4R4R1010q14r2(zh)20

10(zh)2r20下半空間內的電位由點電荷q和鏡像電荷q共同產生，即感謝閱讀qqq12)r2(zh)24R2(20（2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為感謝閱讀n?PP (EE)感謝閱讀p 1 2 z0 0 1z 2z z0**(()hq21)00zzz02()(r2h2)320極化電荷總電量為q2rdr()hqrdrdS0(r2h2)32PPPS000(0)qq07、如圖示，一個半徑為R的導體球帶有電荷量為Q，在球體外距離球心為D處有一個點D電荷q。dQqoqqz（1）求點電荷q與導體球之間的靜電力；R（2）證明當q與Q同號，且QRD3RqD(D2R2)2成立時，F(xiàn)表現(xiàn)為吸引力。解：（1）導體球上除帶有電荷量Q之外，點電荷q還要在導體球上感應出等量異精品文檔放心下載號的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷q和q的大小和位置分別為（如題圖所感謝閱讀示）Rq，R2qdDDqqDRq，d0謝謝閱讀導體球自身所帶的電荷Q則與位于球心的點電荷Q等效。故點電荷q受到的靜電精品文檔放心下載力為FFFFqqqqqqQq4(Dd)24D200**qQ(RD)qRqD42（2）當q與Q同號，且F表現(xiàn)為吸引力，即F0時，則應有Q(RD)qRq0D2DDRD22由此可得出QRD3RqD(D2R2)28、已知一點電荷q與無窮大導體平面相距為h，若把它移動到無窮遠處需要作謝謝閱讀多少功？解：建立一維直角坐標系，坐標原點位于無窮大導體平面上。令已知點電荷q位謝謝閱讀于坐標軸上，距坐標原點為h。直接計算電場力做功為謝謝閱讀WqE?dl其中電場是已知點電荷q所在空間的電場（由q以外的電荷所激發(fā)），即鏡像電謝謝閱讀荷q在此空間產生的電場：q?qe?yE4(2y)2ey4(2y)200則要求的功為qqdyWqE?dlqEdyq2hh4(2y)16200可見，電場力做負功，則外力克服電場力做功為q2W09、無限大導體平面上方有一電荷線密度為l的長直線電荷，電荷線與導體平面的距離為h，求此電荷線單位長度所受的力。精品文檔放心下載**解：由于連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導體平面附近時，根據(jù)疊加原理可知，精品文檔放心下載同樣可以應用點電荷的平面鏡像法求解。因此，長直線電荷的鏡像電荷為線精品文檔放心下載l密度為，距離導體平面為h的電荷。已知線電荷所受的力即鏡像電荷感謝閱讀l l l在此空間產生的電場E所施加。其電場為lrerl0則長度為L的線電荷l（總電荷QlL）所受的電場力為謝謝閱讀FQEL2Llll2π(2h)4πh00故單位長度所受的力為：F2fLl4πh010、一導體長槽兩側壁向y方向無限延伸且電位為零，槽底面電位為U，如圖精品文檔放心下載0所示。求槽橫截面內的電位分布。解：由于所求區(qū)域無源，且為二維場，電位函數(shù)x,y滿足的拉普拉斯方程為：2x,y2202y2邊界條件為：0x00aUy0 00利用分離變量法，令：x,yfxgy謝謝閱讀則得：**d2fk2f0dx2xd2gk2g0dy2yk2k20xy0，x,y的通解可寫為：根據(jù)邊界條件x0xaynnx,yAsinaxeaynn1再由邊界條件，可得nUAsinxy0na0n1利用三角函數(shù)的正交歸一性，求得A為：nA4U0n1,3,5nn則得槽內的電位分布為x,y4Unnyn0sinxean1,3,5...a11、如圖所示為一長方形截面的導體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相精品文檔放心下載絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為U，求槽內的電位函數(shù)。謝謝閱讀0解：根據(jù)題意，電位(x,y)滿足的邊界條件為感謝閱讀**(0,y)(a,y)0(x,0)0(x,b)U0根據(jù)條件①和②，電位(x,y)的通解應取為Asinh(ny)sin(nx)(x,y)aan1由條件③，有UAsinh(nb