山東省泰安四中2023年數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析_第1頁(yè)
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山東省泰安四中2023年數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.空間四點(diǎn)共面,但任意三點(diǎn)不共線(xiàn),若為該平面外一點(diǎn)且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.C. D.2.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為,則()A. B.C. D.3.已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若的零點(diǎn)為,極值點(diǎn)為,則()A. B.0C.1 D.24.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積,已知橢圓的面積為,、分別是的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)的直線(xiàn)交于、兩點(diǎn),若的周長(zhǎng)為,則的離心率為()A. B.C. D.5.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y6.在中,已知角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,,,,則()A. B.C. D.17.有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)箱,甲箱中有3張無(wú)獎(jiǎng)票3張有獎(jiǎng)票,乙箱中有4張無(wú)獎(jiǎng)票2張有獎(jiǎng)票,某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱,再?gòu)囊蚁渲腥我獬槌鲆粡?,則最后抽到有獎(jiǎng)票的概率是()A. B.C. D.8.某企業(yè)為節(jié)能減排,用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬(wàn)元,從第二年起,每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬(wàn)元,該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬(wàn)元.設(shè)該設(shè)備使用了年后,年平均盈利額達(dá)到最大值(盈利額等于收入減去成本),則等于()A. B.C. D.9.已知正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足,若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.10.設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件,則的最大值為()A.0 B.C.3 D.411.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為()A. B.C. D.12.若數(shù)列滿(mǎn)足,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知在△中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若△的面積為2,邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)為.且,則△外接圓的面積為_(kāi)__________14.已知數(shù)列,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則數(shù)列的前10項(xiàng)和是______15.已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10.拋物線(xiàn)的方程為_(kāi)____________;準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)______16.若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則k的取值范圍是______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè):實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,:實(shí)數(shù)滿(mǎn)足(1)當(dāng)時(shí),若與均為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),若是的必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍18.(12分)【2018年新課標(biāo)I卷文】已知函數(shù)(1)設(shè)是的極值點(diǎn).求,并求的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:當(dāng)時(shí),19.(12分)新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái),我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)開(kāi)展應(yīng)急科研攻關(guān),研制了一種新型冠狀病毒疫苗,并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律,志愿者接種疫苗后體內(nèi)會(huì)產(chǎn)生抗體,人體中檢測(cè)到抗體,說(shuō)明有抵御病毒的能力.通過(guò)檢測(cè),用表示注射疫苗后的天數(shù),表示人體中抗體含量水平(單位:,即:百萬(wàn)國(guó)際單位/毫升),現(xiàn)測(cè)得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:天數(shù)123456抗體含量水平510265096195根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與(a,b,c,d均為大于0的實(shí)數(shù))哪一個(gè)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值;(3)從這位志愿者前6天的檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取4天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析,記其中的y值大于50的天數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式:用最小二乘法求經(jīng)過(guò)點(diǎn),,,,的線(xiàn)性回歸方程的系數(shù)公式,;.20.(12分)圓錐曲線(xiàn)的方程是.(1)若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,求的取值范圍;(2)若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線(xiàn),求的值.21.(12分)已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)直線(xiàn),的交點(diǎn)M(1)若直線(xiàn)l與直線(xiàn)平行,求直線(xiàn)l的方程;(2)若直線(xiàn)l與x軸,y軸分別交于A,兩點(diǎn),且M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),求的面積(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))22.(10分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且,,(1)若(i)求;(ii)求證數(shù)列成等差數(shù)列(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列,且,試求滿(mǎn)足條件的所有正整數(shù)的值

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由空間向量共面定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】空間四點(diǎn)共面,但任意三點(diǎn)不共線(xiàn),,解得:.故選:A.2、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出【詳解】故選:C3、C【解析】令可求得其零點(diǎn),即的值,再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點(diǎn),即的值,從而可得答案【詳解】解:,當(dāng)時(shí),,即,解得;當(dāng)時(shí),恒成立,的零點(diǎn)為又當(dāng)時(shí),為增函數(shù),故在,上無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,時(shí),取到極小值,即的極值點(diǎn),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查函數(shù)的零點(diǎn),考查分段函數(shù)的應(yīng)用,突出分析運(yùn)算能力的考查,屬于中檔題4、A【解析】本題首先可根據(jù)題意得出,然后根據(jù)的周長(zhǎng)為得出,最后根據(jù)求出的值,即可求出的離心率.【詳解】因?yàn)闄E圓的面積為,所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積,因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為,所以根據(jù)橢圓的定義易知,,,,則的離心率,故選:A.5、B【解析】由題意設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0),結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p,則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),得,即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中,由正弦定理得,解得,故選:B.7、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放入乙箱,進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱,表示在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱,A表示最后抽到有獎(jiǎng)票.所以,,于是.故選:B.8、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元,利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額,利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元,則數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,則,則該設(shè)備使用年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)用總和為,設(shè)第n年的盈利總額為,則,故年平均盈利額為,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故當(dāng)時(shí),年平均盈利額取得最大值4.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類(lèi)型,另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.9、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16,分離參數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?,,,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào)由題意,得,即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,又,所以,即故選:D10、A【解析】先畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域,然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解:滿(mǎn)足約束條件的可行域如下圖所示:由,可得,因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù),即,表示斜率為,截距為的直線(xiàn),由圖可知,當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)截距取得最小值,即取得最大值,所以的最大值為,故選:A.11、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算出和的值,可得出所求切線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程,化簡(jiǎn)即可.詳解】,,,,因此,所求切線(xiàn)的方程為,即.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線(xiàn)方程,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】由,分兩步,當(dāng)求出,當(dāng)時(shí)得到,兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;【詳解】解:因?yàn)棰?,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)②,①②得,所以,當(dāng)時(shí)也成立,所以;故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、或【解析】由已知,結(jié)合正弦定理邊角關(guān)系及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得,再根據(jù)三角形面積公式、余弦定理列方程求邊長(zhǎng)b、c,應(yīng)用余弦定理求邊長(zhǎng)a,根據(jù)正弦定理求外接圓半徑,再用圓的面積公式求面積.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系有,又,∴,∴,∴.又,∴,即又據(jù)題意,得,且,∴或,故或,∴△外接圓的半徑或,∴△外接圓的面積為或故答案為:或14、【解析】將點(diǎn)代入可得,從而得,再由裂項(xiàng)相消法可求解.【詳解】由題意有,所以,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為:.故答案為:15、①.②.【解析】由題意得:拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F(0,),準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=﹣.因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10,所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得到方程,得到該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程【詳解】∵拋物線(xiàn)方程∴拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為F(0,),準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=﹣,又∵點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為10,∴根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,得9+=10,∴p=2,拋物線(xiàn)∴準(zhǔn)線(xiàn)方程為故答案為:,.16、【解析】求導(dǎo)得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有一個(gè)不等于1的零點(diǎn),分離參數(shù)得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象,根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,,令,解得或,若函?shù)有2個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)與圖象在上恰有1個(gè)橫坐標(biāo)不為1的交點(diǎn),而,令,令或,故在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,如圖所示,由圖可得.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)將代入,解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.(2)求出:,根據(jù)題意可得轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),:,:或.因?yàn)?,中都是真命題.所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍是;(2)當(dāng)時(shí),:,:或,所以:,因?yàn)槭堑谋匾獥l件,所以,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、(1)a=;f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.(2)證明見(jiàn)解析.【解析】分析:(1)先確定函數(shù)的定義域,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用f′(2)=0,求得a=,從而確定出函數(shù)的解析式,之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式,結(jié)合極值點(diǎn)的位置,從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域,可以確定當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥,之后構(gòu)造新函數(shù)g(x)=,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得g(x)≥g(1)=0,利用不等式的傳遞性,證得結(jié)果.詳解:(1)f(x)的定義域?yàn)椋琭′(x)=aex–由題設(shè)知,f′(2)=0,所以a=從而f(x)=,f′(x)=當(dāng)0<x<2時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增(2)當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥設(shè)g(x)=,則當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn)故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≥g(1)=0因此,當(dāng)時(shí),點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)與極值、導(dǎo)數(shù)與最值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及證明不等式問(wèn)題,在解題的過(guò)程中,首先要保證函數(shù)的生存權(quán),先確定函數(shù)的定義域,之后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求得參數(shù)值,之后利用極值的特點(diǎn),確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二問(wèn)在求解的時(shí)候構(gòu)造新函數(shù),應(yīng)用不等式的傳遞性證得結(jié)果.19、(1)(2),4023.87(3)分布列答案見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望:【解析】(1)由于這些點(diǎn)分布在一條曲線(xiàn)的附近,從而可選出回歸方程,(2)設(shè),,則建立w關(guān)于x的回歸方程,然后根據(jù)公式和表中的數(shù)據(jù)求解回歸方程即可,再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值,(3)由題意可知x的可能取值為0,1,2,然后求對(duì)應(yīng)的概率,從而可求出分布列和期望【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)分布在一條曲線(xiàn)的附近,所以更適合作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類(lèi)型.【小問(wèn)2詳解】設(shè),變換后可得,設(shè),建立w關(guān)于x的回歸方程,,所以所以w關(guān)于x的回歸方程為,所以,當(dāng)時(shí),,即該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為4023.87miu/mL.【小問(wèn)3詳解】由表格數(shù)據(jù)可知,第5,6天的y值大于50,故x的可能取值為0,1,2,,,,X的分布列為012.20、(1)且(2)【解析】(1)由條件可得,解出即可;(2)由條件可得,解出即可.【小問(wèn)1詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上橢圓,則,解得且【小問(wèn)2詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線(xiàn),則,解得21、(1)(2)4【解析】(1)求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)M的坐標(biāo),設(shè)直線(xiàn)l的方程為代入點(diǎn)M的坐標(biāo)可得答案;(2)設(shè),,因?yàn)闉榫€(xiàn)段AB的中點(diǎn),可得,由的面積為可得答案.【小問(wèn)1詳解】由,得,所以點(diǎn)M坐標(biāo)為,因?yàn)椋瑒t設(shè)直線(xiàn)l的方程為,又l過(guò)點(diǎn),代入得,故直線(xiàn)l方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè),,因?yàn)闉榫€(xiàn)段AB的中點(diǎn),則,所以,故,,則的面積為.22、(1);詳見(jiàn)解析;(2)5.【解析】(1)由題可得,

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