專題2.27 軸對稱圖形中的折疊問題（直通中考）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題2.27軸對稱圖形中的折疊問題（直通中考）【要點回顧】初中數(shù)學有關于折疊的問題，是初中數(shù)學幾何內容中比較特殊的一種類型。同時也是圖形變化當中比較容易出考點的類型。想要解決初中數(shù)學中存在的折疊問題，那么我們對折疊的性質要有比較清楚的認識。首先要明白圖形折疊前后圖形的大小，形狀都不發(fā)生改變，其次折痕是折疊前后對應點連線的垂直平分線。而且折疊前后及對應邊相等，對應角相等，這是我們解決折疊問題中最核心的內容。另外，對于折疊問題，我們一般還有其重要的性質，就是將其轉化為軸對稱的問題，比如對稱點的連線被對稱軸垂直平分，我們連接兩對稱點，就可以得到相等的兩條線段，一、單選題1．（2018·四川內江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在F處，BF交AD于點E．若∠BDC＝62°，則∠DEF的度數(shù)為（

）A．31° B．28° C．62° D．56°2．（2011·甘肅天水·中考真題）把一張長方形的紙片按如圖所示的方式折疊，EM、FM為折痕，折疊后的C點落在B′M或B′M的延長線上，那么∠EMF的度數(shù)是（

）A．85° B．90° C．95° D．100°3．（2013·湖北十堰·中考真題）如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合．已知AC=5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為（

）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm4．（2018·寧夏·中考真題）將一個矩形紙片按如圖所示折疊，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．60° D．70°5．（2019·四川內江·統(tǒng)考中考真題）如圖，將沿著過的中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第一次操作，折痕到的距離為；還原紙片后，再將沿著過的中點的直線折疊，使點落在邊上的處，稱為第二次操作，折痕到的距離記為；按上述方法不斷操作下去……經過第次操作后得到折痕，到的距離記為．若，則的值為（）A． B． C． D．6．（2018·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在AB邊上的點E處，若∠AGE=32°，則∠GHC等于（）A．112° B．110° C．108° D．106°7．（2015·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知D為△ABC邊AB的中點，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點落在BC上的F處．若∠B=65°，則∠BDF等于（）A．65° B．50° C．60° D．57．5°8．（2015·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，點E、F分別在AB、AC邊上，把△ABC沿EF折疊，使點A與點D恰好重合，則△DEF的周長是（）A．14 B．15 C．16 D．179．（2014·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和△BC′F的周長之和為（）A．3 B．4 C．6 D．810．（2014·廣西南寧·中考真題）如圖所示把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形二、填空題11．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，則的大小為度．

12．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．點，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點的對應點為點．若點剛好落在邊上，，則的長為．

13．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一張平行四邊形紙片，，，將這張紙片折疊，使得點落在邊上，點的對應點為點，折痕為，若點在邊上，則長的最小值等于．14．（2021·四川資陽·統(tǒng)考中考真題）將一張圓形紙片（圓心為點O）沿直徑對折后，按圖1分成六等份折疊得到圖2，將圖2沿虛線剪開，再將展開得到如圖3的一個六角星．若，則的度數(shù)為．15．（2012·浙江麗水·中考真題）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，點C沿EF折疊后與點O重合，則∠CEF的度數(shù)是．16．（2009·山東淄博·中考真題）如圖，等邊△ABC的邊長為2cm，D，E分別是AB，AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點處，且點在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為cm17．（2016·湖南婁底·中考真題）如圖，將△ABC沿直線DE折疊，使點C與點A重合，已知AB=7，BC=6，則△BCD的周長為．18．（2015·浙江舟山·統(tǒng)考中考真題）如圖，一張三角形紙片ABC，AB=AC=5.折疊該紙片使點A落在邊BC的中點上，折痕經過AC上的點E，則線段AE的長為.

三、解答題19．（2022·河南鄭州·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，D為BC邊上一點，將△ABD沿AD折疊，點B落在AC邊上的點E處．（1）若∠C=30°，求證：△ADE≌△CDE；（2）對于任意一個直角三角形，能否按照此種折疊方式將其分成三個全等的小三角形？請說明理由．20．（2022·江蘇徐州·一模）如圖，長方形ABCD中，AB＞AD，把長方形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．（1）圖中有個等腰三角形；（請直接填空，不需要證明）（2）求證：△ADE≌△CED；（3）請證明點F在線段AC的垂直平分線上．21．（2020·山西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，，點是的中點，將沿折疊后得到，過點作交的延長線于點.求證：．22．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，回答問題．如圖1，小明將三角形紙片折疊，使點和重合，折痕為，連接，展開紙片后小明認為和的面積相等．理由如下：由折疊知，．過點作于點，，，所以．請你根據以上信息，利用無刻度的直尺和圓規(guī)將圖2中的三角形分為面積相等的兩個三角形．23．（2023·山東青島·一模）一個角的余角的兩倍稱為這個角的倍余角．（1）若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；（用的代數(shù)式表示）（2）如圖1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截?。笞C：∠ABC是∠EDB的倍余角；（3）如圖2，在（2）的情況下，作交AC于點F，將△BFC沿BF折疊得到，交AC于點P，若，設，求∠CPB的度數(shù)．24．（2020·浙江杭州·模擬預測）如圖所示，將筆記本活頁兩角向內折疊，使角的頂點A落在處，頂點D落在處，BC，BE為折痕．（1）如圖1，使邊與邊重合，若，求_______，_______．（2）如圖2，使邊BD沿著BE折疊后的邊落在內部，若，設，，求與之間的數(shù)量關系，并直接寫出，的取值范圍．參考答案1．D【分析】先利用互余計算出∠BDE＝28°，再根據平行線的性質得∠CBD＝∠BDE＝28°，接著根據折疊的性質得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性質計算∠DEF的度數(shù)，于是得到結論．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°，∵，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝28°，∵矩形ABCD沿對角線BD折疊，∴∠FBD＝∠CBD＝28°，∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．故選：D．【點撥】本題考查了矩形的性質，平行線和折疊的性質，綜合運用以上性質是解題的關鍵．2．B【分析】根據折疊性質可得∠EMB′=∠EMB＝∠BMC′，∠FMB′＝∠FMC＝∠CMC′，再根據平角定義即可解答．解：∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°，故選：B．【點撥】本題考查折疊的性質、平角定義，熟練掌握折疊的性質求角度是解答的關鍵．3．C解：根據折疊可得：AD=BD，∵△ADC的周長為17cm，AC=5cm，∴AD+DC=17﹣5=12（cm）.∵AD=BD，∴BD+CD=12cm.故選C.4．D【分析】根據折疊的知識和直線平行判定即可解答.解：解：如圖可知折疊后的圖案∠ABC=∠EBC，又因為矩形對邊平行，根據直線平行內錯角相等可得∠2=∠DBC，又因為∠2+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.所以∠2=70°.【點撥】掌握折疊圖形的過程中有些角度是對稱相等的是解答本題的關鍵.5．C【分析】根據中點的性質及折疊的性質可得DA=DA'=DB，從而可得∠ADA'=2∠B，結合折疊的性質可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，繼而判斷DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，證得AA⊥BC，得到AA=2，求出=2-1，同理，于是經過第n次操作后得到的折痕解：∵是的中點，折痕到的距離為∴點到的距離，∵是的中點，折痕到的距離記為，∴點到的距離，同理：，……故選C．【點撥】此題考查翻折變換（折疊問題），解題關鍵在于找到規(guī)律6．D【分析】由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根據AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．解：∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折疊可得：∠DGH=∠DGE=74°．∵AD∥BC，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．故選D．【點撥】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補．7．B【分析】先根據圖形翻折不變性的性質可得AD＝DF，根據等邊對等角的性質可得∠B＝∠BFD，再根據三角形的內角和定理列式計算即可求解．解：∵△DEF是△DEA沿直線DE翻折變換而來，∴AD＝DF，∵D是AB邊的中點，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝65°，∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．考點：翻折變換（折疊問題）【點撥】本題考查的是圖形翻折變換的圖形能夠重合的性質，以及等邊對等角的性質，熟知折疊的性質是解答此題的關鍵．8．B【分析】根據折疊的性質可得EF為△ABC的中位線，△AEF≌△DEF，分別求出EF、DE、DF的長度，即可求得周長．解：由折疊的性質可得，△AEF≌△DEF，EF為△ABC的中位線，∵AB=10，AC=8，BC=12，∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6，∴△DEF的周長=5+4+6=15．故選B．【點撥】本題考查了翻折變換，解答本題的關鍵是掌握折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．9．C【分析】由折疊特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根據△ABE和△BC′F的周長=2△ABE的周長求解．解：將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在C′處，折痕為EF，由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周長=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周長=2△ABE的周長=2×3=6．故選C．【點撥】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角邊相等．10．D解：試題分析：對于此類問題，只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)．試題解析：由第二個圖形可知：∠AOB被平分成了三個角，每個角為60°，它將成為展開得到圖形的中心角，那么所剪出的平面圖形是360°÷60°=6邊形．故選D．考點：剪紙問題．11．【分析】根據題意求得正五邊形的每一個內角為，根據折疊的性質求得在中，根據三角形內角和定理即可求解．解：∵正五邊形的每一個內角為，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應點為點，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質，正多邊形的內角和的應用，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．12．【分析】根據折疊的性質以及含30度角的直角三角形的性質得出，即可求解．解：∵將沿折疊，點的對應點為點．點剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了折疊的性質，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．13．2【分析】根據題意，，當點與點重合時，符合題意，據此即可求解．解：∵將這張紙片折疊，使得點落在邊上，點的對應點為點，∴，而,當點與點重合時，，此時的長最小，∴．故答案為：2．【點撥】本題考查了折疊的性質，理解當點與點重合時的長最小是解題的關鍵．14．135°【分析】利用折疊的性質，根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理解題．解：連接OC，EO由折疊性質可得：∠EOC=，EC=DC，OC平分∠ECD∴∠ECO=∴∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即的度數(shù)為135°故答案為：135°【點撥】主要在考查折疊的性質，學生動手操作的能力，也考查了等腰三角形的性質及內角和定理，掌握折疊及等腰三角形的性質正確推理計算是解題關鍵．15．50°【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折變換的性質得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進而求出即可；解：連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線．∴BO＝CO．∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點O，∴∠OAB＝∠OAC＝25°．∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°．∴∠OBC＝65°－25°＝40°．∴∠OBC＝∠OCB＝40°．∵點C沿EF折疊后與點O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO．∴在△OEC中，∠CEF＝∠FEO＝（180°－2×40°）÷2＝50°．故答案為：50°．【點撥】本題考查了三線合一，中垂線的性質，折疊的性質，三角形的內角和，角平分線等知識點．16．6解：將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，所以AD=A′D，AE=A′E．則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=6cm．17．13解：∵將△ABC沿直線DE折疊后，使得點A與點C重合，∴AD=CD，∵AB=7，BC=6，∴△BCD的周長=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．18．2.5解：試題分析：解：如圖所示，∵D為BC的中點，AB=AC，∴AD⊥BC，∵折疊該紙片使點A落在BC的中點D上，∴折痕EF垂直平分AD，∴E是AC的中點，∵AC=5∴AE=2．5．考點：翻折變換（折疊問題）．．19．（1）見詳解；（2）不能，理由見詳解【分析】（1）由折疊的性質，得∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED=90°，結合∠C=30°，利用AAS即可證明結論成立；（2）運用全等三角形的性質和三角形的內角和定理進行判斷，即可得到結論．（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，∴∠BAC=60°，由折疊的性質，則∠BAD=∠EAD=∠BAC=，∠B=∠AED=90°，∴，∵，，∴△ADE≌△CDE；（2）解：不能；理由如下：若△ADB≌△ADE≌△CDE，∴，∵，∴，即，∴；∴若一個直角三角形能按照此種折疊方式將其分成三個全等的小三角形，那么該直角三角形應含有一個30°的銳角；∴對于任意一個直角三角形，不能按照此種折疊方式將其分成三個全等的小三角形．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，折疊的性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定．20．（1）2；（2）證明見分析；（3）證明見分析【分析】（1）由題意知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC=∠DCA，有△ACF為等腰三角形；在和中，，知，有∠DEA=∠EDC，有△DEF為等腰三角形；（2）在和中，，可得；（3）由于，，，有，，故，進而可得出結果．（1）解：有△ACF和△DEF共2個等腰三角形證明如下：由折疊的性質可知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC∵∴∠EAC=∠DCA∴△ACF為等腰三角形；在和中∵∴∴∠DEA=∠EDC∴△DEF為等腰三角形；故答案為：2．（2）證明：∵四邊形ABCD是長方形∴，由折疊的性質可得：，∴，在和中，∴．（3）證明：由（1）得∴，即∴又∵∴∴∴點F在線段AC的垂直平分線上．【點撥】本題考查了幾何圖形折疊的性質，矩形，等腰三角形的判定與性質，三角形全等，垂直平分線等知識．解題的關鍵在于靈活運用知識．21．證明見分析．【分析】根據折疊的性質、平行線的性質、直角三角形全等的判定和性質進行推理即可得證結論．解：證明：連接，如圖：∵是的中點∴∵將沿折疊后得到∴，∴，∵，∴∴在和中，∴∴．【點撥】本題考查了折疊的性質、平行線的性質、兩直角三角形全等的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解決問題的關鍵．22．作圖見分析【分析】作（或）的垂直平分線交（或）于，連接（），即可求解．解：如圖，即為所作【點撥】本題考查了三角形的中線的性質，作線垂直平分線，熟練掌握基本作圖以及三角形中線的性質是解題的關鍵．23．（1）；；（2）證明見分析；（3）【分析】（1）由倍余角的定義可求解即可；（2）